江蘇省泰州市靖江市高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月試題數(shù)學(xué)

江蘇省靖江高級中學(xué)20232024學(xué)年第二學(xué)期階段考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點，，則（）A.1 B. C.0.5 D.2.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.3.已知，且不共面，若，則（）A. B. C.8 D.134.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有（）個A.150個 B.156個 C.144個 D.300個5.如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為A. B. C. D.6.菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（）A. B. C. D.7.小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（）種練習(xí)的方案.A.31 B.18 C.21 D.338.如圖，正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面上的動點，且平面，則與平面所成角的正切值t構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.關(guān)于空間向量，以下說法正確是（）A.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間一個基底，則這兩個向量共線B.已知向量，若，則鈍角．C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角為D.若直線的方向向量為，平面α的法向量為，則直線10.（多選題）如圖，點是正方體棱的中點，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線始終是異面直線B.存在點，使得C.四面體的體積為定值D.當(dāng)時，平面平面11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）．把三片這樣的達芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體，若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A. B.若M為線段上的一個動點，則的最大值為2C.點P到直線的距離是 D.異面直線與所成角的正切值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.不等式，其中的解集為__________；13.如圖，平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，則異面直線與所成角的正切值為__________．14.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知空間中三點，，.（1）若四邊形ABCD是平行四邊形，求點D坐標(biāo)；（2）若，且，求向量；（3）若點在平面內(nèi)，求的值.16.某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、英語共6節(jié)課．（1）如果數(shù)學(xué)和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？（2）語文必須排第一課，物理和數(shù)學(xué)不能排一起，則不同的排法有多少種？（3）如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排法？（4）如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續(xù)上），則共有多少種不同的排法？（5）原定的6節(jié)課已經(jīng)排好，學(xué)校臨時通知要增加生物、化學(xué)、地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）17.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，分別為?的中點，，.（1）求點到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值（3）已知是平面內(nèi)一點，點為中點，且平面，求線段的長.18.如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．（1）求到平面的距離．（2）線段上是否存在一個點D，使直線與平面所成角為？若存在，求出的長；若不存在說明理由．19.如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點E在母線上，且，.（1）求證：平面平面；（2）若點M為線段上的動點，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離.江蘇省靖江高級中學(xué)20232024學(xué)年第二學(xué)期階段考試高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點，，則（）A.1 B. C.0.5 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.【詳解】如圖，連接.因為，分別是，的中點，，所以，，，則.故選：B.2.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】依題意，向量在向量方向上的投影向量為：，故選：D3.已知，且不共面，若，則（）A. B. C.8 D.13【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共線定理和空間向量基本定理求解即可.【詳解】因為，所以，又不共面，所以，解得，所以.故選：B4.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有（）個A.150個 B.156個 C.144個 D.300個【答案】B【解析】【分析】當(dāng)末位是數(shù)字0時，可以組成個數(shù)字；當(dāng)末位不是0時，共有種結(jié)果，根據(jù)計數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】本題需要分兩類來解，當(dāng)末位是數(shù)字0時，可以組成個四位偶數(shù)，當(dāng)末位不是0時，末位可以是2、4，有兩種選法，首位有4種選法，中間兩位可以從余下的4個數(shù)字中選兩個，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果.故選：B.5.如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】以B為坐標(biāo)原點,分別以BC、BA、BP所在直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴設(shè)平面BED的一個法向量為，則，取z=1,得，平面ABE的法向量為，∴.∴平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為.故選B.點睛：用向量法求二面角大小的兩種方法：（1）分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小即為二面角的大?。唬?）分別求出二面角的兩個半平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角大小，解題時要注意結(jié)合圖形判斷出所求的二面角是銳角還是鈍角.6.菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可證得平面，平面，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，因為E為AB的中點，所以，所以，因為，平面，所以平面，因為菱形的邊長為4，所以，所以直角梯形的面積為，設(shè)四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A7.小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（）種練習(xí)的方案.A.31 B.18 C.21 D.33【答案】B【解析】【分析】根據(jù)練習(xí)唱歌的課間個數(shù)進行分類討論，利用列舉法來求得正確答案.【詳解】七個課間編號為，如果僅有一個課間練習(xí)，則每個課間都可以，有7種方案，若有兩個課間練習(xí)，選法有，共種方案，三個課間練習(xí)，選法為，共種，故總數(shù)為種.故選：B8.如圖，正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)是側(cè)面上的動點，且平面，則與平面所成角的正切值t構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記的中點分別為，先證平面平面，從而可知點F在線段GH上，然后作出所求角即可求解.【詳解】記的中點分別為，連接，設(shè)，由正方體性質(zhì)可知，，又分別為的中點，所以，所以，又平面，平面，所以平面，由正方體性質(zhì)知，，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以點F在線段GH上，由正方體性質(zhì)可知，平面，所以即為與平面所成角，，易知，當(dāng)F為的中點時，取得最小值，當(dāng)F與（或）重合時，取得最大值，即，所以.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線B.已知向量，若，則為鈍角．C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角為D.若直線的方向向量為，平面α的法向量為，則直線【答案】AC【解析】【分析】A.由空間向量基底的判斷；B.由時，向量共線且反向判斷；C.由l與平面α所成的角為判斷；D.由和直線與平面的位置關(guān)系判斷.【詳解】A.由空間向量基底的概念知：兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線，故A正確；B.當(dāng)時，向量共線且反向，但不是鈍角．故B錯誤；C.由題意直線l與平面α所成的角為，故C正確；D.直線的方向向量為，平面α的法向量為，且，則直線或，故D錯誤；故選：AC10.（多選題）如圖，點是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線始終是異面直線B.存在點，使得C.四面體的體積為定值D.當(dāng)時，平面平面【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，當(dāng)位于中點時，與共面；對于選項B和D可采用空間向量計算，對于C選項，連接,交于，此時//，易證所以四面體的體積為定值.【詳解】解：對于A選項，連接交與，當(dāng)點在點時，直線與直線相交，故A選項不正確；對于C.選項，連接,交于，此時//，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故C選項正確；以為坐標(biāo)原點，建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，，，，，，對于B選項，存在點，使得，則，，，所以，得，故當(dāng)滿足時，，故B選項正確；對于D選項，當(dāng)滿足時，，，，故平面的法向量可求得為：，，，故平面的法向量可求得為：，所以，即平面平面，故D選項.故選：BCD.【點睛】本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系判斷，考查空間平面與平面的位置關(guān)系判斷，以及幾何體的體積計算等，難度一般.11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）．把三片這樣的達芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體，若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A. B.若M為線段上的一個動點，則的最大值為2C.點P到直線的距離是 D.異面直線與所成角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)運算可判斷A；利用坐標(biāo)表示出，即可判斷B；根據(jù)點到直線的向量公式可判斷C；利用向量夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，可判斷D.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，A錯誤；記，則，所以，當(dāng)時，取得最大值2，B正確；記同向的單位向量為，則點P到直線的距離，C正確；記異面直線與所成角為，則，所以，所以，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.不等式，其中的解集為__________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式化簡，即可求解.【詳解】由題知，，且，又，即，解得，故或，所以，原不等式的解集為.故答案為：13.如圖，平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，則異面直線與所成角的正切值為__________．【答案】【解析】【分析】記，以為基底表示出，然后利用數(shù)量積性質(zhì)求出，由夾角公式求出，然后可得.【詳解】記，則，，因為，所以，，，記異面直線與所成角為，則，所以，所以.故答案為：14.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種【答案】67【解析】【分析】根據(jù)特殊元素特殊處理的原則，以丙進行分類，排完丙后，由甲不當(dāng)語文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，還要進行分類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得.【詳解】因為丙當(dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，以丙進行分類：第一類，當(dāng)丙當(dāng)物理課代表時，丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，再根據(jù)甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當(dāng)英語和語文中的任一課，有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能當(dāng)英語課代表，乙只能當(dāng)語文課代表，戊當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，有種，共計種；第二類，當(dāng)丙不當(dāng)物理課代表時，分四類：①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種種，②丙為數(shù)學(xué)課代表時，甲只能從英語、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表時，其他三位同學(xué)任意當(dāng)有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課,乙只能從語文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有種，共計種，④丙為化學(xué)課代表時，同③的選法一樣有種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的選法共有種.故答案為：67.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知空間中三點，，.（1）若四邊形ABCD是平行四邊形，求點D坐標(biāo)；（2）若，且，求向量；（3）若點在平面內(nèi)，求的值.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再代入坐標(biāo)，即可求解；（2）根據(jù)向量平行的定理可知，，再代入向量模的公式，即可求解；（3）利用空間向量共面可知，，再代入坐標(biāo)運算，即可求解.【小問1詳解】設(shè)點，由題意可知，，所以，得，所以點的坐標(biāo)為；【小問2詳解】，因為，所以，因為，所以，得，所以向量或；【小問3詳解】因為點在平面上，故存在實數(shù)使得，又，,所以，解得.故.16.某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、英語共6節(jié)課．（1）如果數(shù)學(xué)和語文必須排在一起，則有多少種不同的排法？（2）語文必須排第一課，物理和數(shù)學(xué)不能排一起，則不同的排法有多少種？（3）如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排法？（4）如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，語文比英語先上（三課不一定連續(xù)上），則共有多少種不同的排法？（5）原定的6節(jié)課已經(jīng)排好，學(xué)校臨時通知要增加生物、化學(xué)、地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，那么共有多少種不同的排法？（答題要求：寫上必要的文字說明，先列式，后計算）【答案】16.240；1772；18.484；19.120；20.504.【解析】【分析】（1）利用捆綁法可解；（2）利用插空法可解；（3）對數(shù)學(xué)是否排在第一節(jié)分類討論即可；（4）定序問題利用除法可得；（5）分步將3科插入空位可解.小問1詳解】第一步，先將數(shù)學(xué)和語文排在一起，有種排法；第二步，將數(shù)學(xué)和語文看成一個整體，與歷史、物理、體育、英語一起全排，有種排法，所以，數(shù)學(xué)和語文必須排在一起共有種排法.【小問2詳解】第一步，先排語文，有1種排法；第二步，將歷史、體育、英語排成一排，有種排法；第三步，在第二步產(chǎn)生的4個空位中插入物理和數(shù)學(xué)，有種排法.所以，總的排法有種排法.【小問3詳解】第一類，第一節(jié)排數(shù)學(xué)，其余五節(jié)任意排，有種排法；第二類，第1步，從歷史、語文、物理、英語中選一科排在第一節(jié)，有4種排法，第2步，再從剩下的4個學(xué)科（不包括數(shù)學(xué)）中選一科排在最后一節(jié)，有4種排法，第3步，中間4節(jié)任意排，有種排法，所以，總排法有.綜上，滿足條件的排法有種.【小問4詳解】數(shù)學(xué)、語文、英語的上課順序共有種，滿足條件的順序只有1種，故滿足條件的排法有種.【小問5詳解】第一步，先在7個空位中選擇一個空位排生物，有7種；第二步，在排入生物之后產(chǎn)生的8個空位選擇一個空位排化學(xué)，有8種；第三步，在排入化學(xué)之后產(chǎn)生的9個空位選擇一個空位排地理，有9種.所以，總的排法有種.17.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，分別為?的中點，，.（1）求點到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值（3）已知是平面內(nèi)一點，點為中點，且平面，求線段的長.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通過題中關(guān)系可推出△為等邊三角形，進而可得解；（2）通過證明，，可得即為所求，進而可得解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用可得坐標(biāo)，進而得距離.【小問1詳解】（1）,為中點，所以，平面平面，平面平面，所以平面，因為，所以，，所以,連接，則，所以，所以△為等邊三角形，所以點到直線的距離為；【小問2詳解】平面平面，，平面平面，所以平面，所以易知，滿足，所以，又，平面，所以平面，平面，所以.所以即為平面與平面夾角，，所以；【小問3詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，是平面內(nèi)一點，設(shè)，，點為中點，，，，由平面，可得，解得.所以，.所以18.如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，二面角的大小是．（1）求到平面的距離．（2）線段上是否存在一個點D，使直線與平面所成角為？若存在，求出的長；若不存在說明理由．【答案】（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）記的中點分別為，作于點，先證平面平面，然后計算可得；（2）以的方向