第5講一次方程（組）及其應用（講義）（原卷版）-2024年浙江中考數(shù)學一輪復習學案

第二單元方程（組）與不等式（組）第5講一次方程（組）及其應用課標要求課標要求1.了解方程、一元一次方程、二元一次方程組等相關概念，理解等式的性質(zhì)，并能應用等式的性質(zhì)進行等式變形。2.掌握解一元一次方程的步驟，能夠運用代入或加減消元法解二元一次方程組，理解方程（組）的解的意義。3.會應用方程（組）解決生活實際問題，掌握列方程（組）解應用題的一般步驟。備考指南備考指南考點分布考查頻率命題趨勢考點1等式的基本性質(zhì)☆一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數(shù)學中因為未知數(shù)的最高次數(shù)都是一次，且都是整式方程,所以統(tǒng)稱為“一次方程”.中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數(shù)部分結(jié)合型較強的一類考點.預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．考點2一次方程（組）的概念☆考點3一次方程（組）的解法☆☆考點4一次方程（組）的應用☆☆☆知識網(wǎng)絡知識網(wǎng)絡知識清單知識清單1．一次方程（組）的相關概念：(1)方程是指含有未知數(shù)的．(2)只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是，這樣的方程叫做一元一次方程．（3）二元一次方程：含有兩個未知數(shù)且含有未知數(shù)的項的次數(shù)只有一次的整式方程.(4)二元一次方程組：由兩個一次方程組成，并且含有的方程組，叫做二元一次方程組．(5)方程的解：使方程左右兩邊的值的未知數(shù)的值叫做方程的解．2.等式的性質(zhì)：（1）等式的兩邊都加上(或減去)，所得結(jié)果仍是等式；（2）等式的兩邊都乘或都除以，所得結(jié)果仍是等式．3．解一元一次方程的步驟：(1)：在方程兩邊都乘各分母的，注意不要漏乘．(2)：注意括號前的系數(shù)與符號．(3)：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，其他項移到另一邊，注意移項要．(4)：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得x＝eq\f(b,a)．4.解二元一次方程組的一般方法解二元一次方程組的基本思想是消元，有消元法與消元法，還有一種常用的解法是換元法．(1)代入法：將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，最后求得方程組得解.（2）加減法：通過將方程組中兩個方程的某一未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為相同或相反數(shù)，再把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數(shù)，從而將二元一次方程組化為一元一次方程，最后求得方程組得解.5．一次方程（組）的應用：列方程組解應用題的步驟：①；②；③找出能夠包含未知數(shù)的；④列出；⑤；⑥．深度講練深度講練■考點一等式的基本性質(zhì)?

典例1：（2023?陽谷縣三模）在下列式子中變形一定正確的是（）A．如果2a＝1，那么a＝2 B．如果a＝b，那么 C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a﹣b+c＝0，那么a＝b+c【變式訓練】1．（2023?衢江區(qū)三模）已知a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．5a＝5b B．a(chǎn)+4＝b+4 C．b﹣2＝a﹣2 D．2．（2021?安徽）設a，b，c為互不相等的實數(shù)，且b＝a+c，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞b＞cB．c＞b＞aC．a(chǎn)﹣b＝4（b﹣c） D．a(chǎn)﹣c＝5（a﹣b）■考點二一次方程（組）的相關概念?

典例2：1．（2023?安吉縣一模）已知3是關于x的方程2x﹣a＝1的解，則a的值為（）A．﹣5 B．5 C．7 D．﹣72．（2022?上城區(qū)一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（）A．B．C． D．【變式訓練】1．（2021?杭州一模）已知﹣2是關于x的方程2x+a＝1的解，則a＝．2．（2021?涼山州）已知是方程ax+y＝2的解，則a的值為．3．（2023?舟山模擬）已知是方程ax+by＝3的解，則代數(shù)式2a+4b﹣2023的值為．■考點三一次方程（組）的解法?

典例3：1．（2023?杭州一模）解方程：．2．（2021?嘉興二模）解方程組：．小海同學的解題過程如下：判斷小海同學的解題過程是否正確，若不正確，請指出錯誤的步驟序號，并給出正確的解題過程．【變式訓練】1．（2023?溫州一模）將方程去分母，結(jié)果正確的是（）A．3（x+3）+6＝2（x﹣2） B．3（x+3）+1＝2（x﹣2） C．3x+3+1＝2x﹣2 D．3x+3+6＝2x﹣22．（2023?浙江模擬）以下是欣欣解方程：的解答過程：解：去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1；……①去括號：2x+2﹣6x+3＝1；…………………②移項，合并同類項得：﹣4x＝﹣4；………………③解得：x＝1．…………④（1）欣欣的解答過程在第幾步開始出錯？（請寫序號即可）（2）請你完成正確的解答過程．3．（2022?臺州）解方程組：．■考點四一次方程（組）的應用?

典例4：1．（2023?龍游縣一模）一家商店某種衣服按進價提高50%后標價，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件衣服獲利100元，則這件衣服的進價是元．2．（2023?浙江模擬）某商場第1次用39萬元購進A，B兩種商品，銷售完后獲得利潤6萬元，它們的進價和售價如表（總利潤＝單件利潤×銷售量）：價格商品進價（元/件）售價（元/件）A12001350B10001200（1）該商場第1次購進A，B兩種商品各多少件？（2）商場第2次以原進價購進A，B兩種商品，購進A商品的件數(shù)不變，而購進B商品的件數(shù)是第1次的2倍，A商品按原售價銷售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經(jīng)營活動獲得利潤等于5.4萬元，則B種商品是按幾折銷售的？【變式訓練】1．（2023?余姚市二模）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題；今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？設雞x只，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A．4x+2（35﹣x）＝94 B． C．2x+4（35﹣x）＝94 D．2．（2023?柯橋區(qū)一模）甲、乙兩個足球隊連續(xù)進打?qū)官悾?guī)定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，共賽10場，甲隊保持不敗，得22分，甲隊勝場．3．（2022?椒江區(qū)二模）李師傅從杭州駕車到椒江辦事，汽車在高速路段平均油耗為6升/百公里（100公里油耗為6升），在非高速路段平均油耗為7.5升/百公里，從杭州到椒江的總油耗為16.5升，總路程為270公里．（1）求此次杭州到椒江高速路段的路程；（2）若汽油價格為8元/升，高速路段過路費為0.45元/公里，求此次杭州到椒江的單程交通費用（交通費用＝油費+過路費）．真題演練真題演練1．（2022?下城區(qū)二模）下列說法正確的是（）A．若a＝b，則a+c＝b﹣c B．若a＝b，則ac2＝bc2 C．若＝，則a＝b D．若ac2＝bc2，則a＝b2．（2023?衢州）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y＝8的是（）A． B． C． D．3．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x4．（2021?蒼南縣模擬）若x、y滿足方程組，則x﹣y的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2023?錢塘區(qū)三模）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數(shù)和車數(shù)各多少？設車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+96．（2023?紹興）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總?cè)萘繛?斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（）A．B．C． D．7．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）關于x，y的方程組（其中a，b是常數(shù)）的解為，則方程組的解為（）A．B．C． D．8．（2023?麗水模擬）已知關于x的方程2x+m﹣8＝0的解是x＝3，則m的值為．9．（2023?長興縣校級一模）若關于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一個解是，則a＝．10．（2021?浙江）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數(shù)解．11．（2021?溫州三模）某商品的買入價為a元，出售價為50元，則毛利率為p＝（0＜a＜50）．若用p的代數(shù)式表示a＝．12．（2022?黃巖區(qū)一模）方程組的解是．13．（2023?永康市一模）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了6小時，則戴宗的速度為里/小時．14．（2021?蕭山區(qū)模擬）設M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，則P＝．15．（2021?余杭區(qū)二模）已知x＝﹣2是關于x的方程（1﹣2ax）＝x+a的解，求a的值．16．（2023?衢州）小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…（1）請在相應的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處．（2）寫出你的解答過程．17．（2023?臺州）解方程組：．18．（2021?臺州）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標有“15滴/毫升”．輸液開始時，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時，瓶中的藥液余量為160毫升．（1）求輸液10分鐘時瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時間．19．（2023?金華模擬）如圖，由三種不同的正方形（共6個）與一個有缺角的矩形（陰影部分）拼接成矩形ABCD，已知EF＝EG＝1，最小正方形的邊長為x．（1）用x的代數(shù)式表示AB，BC的長；（2）若陰影部分的周長與長方形ABCD的周長比為9：14，求x的值．20．（2023?甌海區(qū)一模）如何分配工作，使公司支付的總工資最少素材1某包裝公司承接到21600個旅行包的訂單，策劃部準備將其任務分配給甲、乙兩個車間去完成．由于他們的設備與人數(shù)不同，甲車間每天生產(chǎn)的總數(shù)是乙車間每天生產(chǎn)總數(shù)的2倍，甲車間單獨完成這項工作所需的時間比乙車間單獨完成少18天．素材2經(jīng)調(diào)查，甲車間每人每天生產(chǎn)60個旅行包，乙車間每人每天生產(chǎn)40個旅行包．為提高工作效率，人事部到甲、乙兩