微積分（第三版）課件：多元函數(shù)微積分

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分多元函數(shù)微積分第一節(jié)空間曲面第二節(jié)多元函數(shù)第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第四節(jié)全微分第五節(jié)多元函數(shù)微分法第六節(jié)多元函數(shù)極值第七節(jié)多元函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題第八節(jié)二重積分多元函數(shù)微積分一、空間直角坐標(biāo)系二、空間曲面與方程三、空間曲線及其在坐標(biāo)面投影四、平面區(qū)域與n維空間第一節(jié)空間曲面多元函數(shù)微積分

導(dǎo)言：多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的推廣.多元函數(shù)微積分的許多內(nèi)容與一元函數(shù)微積分相關(guān)內(nèi)容類(lèi)似或密切相關(guān)，主要包括：多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用、二重積分等內(nèi)容.在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與一元函數(shù)微積分的對(duì)比和聯(lián)系.

在討論多元函數(shù)微積分之前，首先要了解空間曲面的知識(shí).這些知識(shí)是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ).第一節(jié)空間曲面一、空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系(1)在空間任選一點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn),(3)在三個(gè)坐標(biāo)軸上選定長(zhǎng)度單位.(2)在O點(diǎn)處作三條兩兩互相垂直的軸Ox,Oy,Oz稱為坐標(biāo)軸，

三個(gè)坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz的次序和方向，規(guī)定為按右手法則排列，即右手握住z軸，四個(gè)手指從x軸的方向轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸方向時(shí)，拇指就指向z軸的正方向.xyzO

三個(gè)坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz兩兩決定三個(gè)互相垂直的平面Oxy,Ozx,Oyz,統(tǒng)稱為坐標(biāo)平面.即xOy坐標(biāo)面、yOz坐標(biāo)面、zOx坐標(biāo)面.xzyo

三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為八個(gè)部分,稱其每個(gè)部分為卦限,它們分別是：含x軸,y軸和z軸正向的卦限稱為第Ⅰ卦限,然后逆著z軸正向看時(shí),按逆時(shí)針順序依次為Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限，以及第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.ⅠⅡⅢⅣⅤⅧⅡ2.點(diǎn)的坐標(biāo)xyzOMPRQ

設(shè)M為空間的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面，與x軸、y軸、z軸的垂足分別為P,Q,R.在坐標(biāo)軸上對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別是x,y,z.這樣空間內(nèi)任一點(diǎn)就確定了惟一的一組有序的數(shù)組x,y,z,用(x,y,z)表示.

反之,任給出一組有序數(shù)組x,y,z它們分別在x軸,y軸和z軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,Q,R.過(guò)三點(diǎn)分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面相交于點(diǎn)M.因此1-1對(duì)應(yīng)

通過(guò)空間直角坐標(biāo)系,建立了空間點(diǎn)M與有序數(shù)組x,y,z之間的1-1對(duì)應(yīng)的關(guān)系.有序數(shù)組x,y,z就稱為點(diǎn)M的坐標(biāo),x為點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y為點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z為點(diǎn)M的豎坐標(biāo),記為M(x,y,z).x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z)，oxy面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,0)，oyz面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y,z)，ozx面上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,z)，特殊點(diǎn)的坐標(biāo)3.空間兩點(diǎn)間的距離

設(shè)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M1

，M2各作三個(gè)分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面.yzOy1xz1z2y2x2x1QPM1M2R上式稱為M1,M2兩點(diǎn)間的距離公式.由勾股定理可得

例在y軸上求一點(diǎn)M,使其到兩點(diǎn)M1(2,0,–1)與M2(1,–1,3)的距離相等.

解

由于點(diǎn)M在y軸上,設(shè)其坐標(biāo)為(0,y,0),由題意有等式即解此方程得y=–3，因此所求點(diǎn)為M(0,–3,0).二、空間曲面的方程1.曲面方程的概念

定義

若曲面

上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程

F(x,y,z)=0而不在曲面

上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程,則稱該方程為曲面

的方程.而曲面

就稱為該方程的圖形.zxyO而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程,所以該方程為球面方程.

特殊地,球心在原點(diǎn),半徑為R的球面方程為

例求球心在

M0

(x0,y0,z0),半徑為R

的球面方程.

解設(shè)M(x,y,z)為球面上任意一點(diǎn),則M在球面上的充要條件為即2.平面的方程

例求與兩定點(diǎn),等距離的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解由題意有由兩點(diǎn)間的距離公式，得兩邊平方，化簡(jiǎn)得三元一次方程

由幾何學(xué)知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分面，因此上述三元一次方程是平面方程.此結(jié)論對(duì)空間一般平面也成立.空間平面的一般方程為三元一次方程其中A、B、C、D均為常數(shù)，且不全為零.

對(duì)于平面當(dāng)A、B、C、D均不為零時(shí)，平面圖形用連接平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的三角形表示.zxyO（1）若，則平面過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）若，則平面平行于Oz軸（3）若，則平面過(guò)Oz軸（4）若，則平面平行于yOz平面3.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面

柱面的概念動(dòng)直線

L沿給定曲線

C

平行移動(dòng)形成的曲面稱為柱面.動(dòng)直線

L稱為柱面的母線,定曲線

C

稱為柱面的準(zhǔn)線.C

（1）以xOy

坐標(biāo)面上曲線

C:f(x,y)=0為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面方程為柱面方程f(x,y)=0特點(diǎn)是方程中不含有變量z.xyzC

必在準(zhǔn)線

C上.所以

的坐標(biāo)滿足曲線

C

的方程

f(x,y)=0.

設(shè)

M(x,y,z)為柱面上的任一點(diǎn),過(guò)M作平行于

z

軸的直線交

xoy

坐標(biāo)面于點(diǎn)由柱面定義知點(diǎn)

M(x,y,z)也滿足方程

f(x,y)=0.由于方程

f(x,y)=0不含

z，所以

而不在柱面上的點(diǎn)作平行于

z

軸的直線與

xoy

坐標(biāo)面的交點(diǎn)必不在曲線

C

上,也就是說(shuō)不在柱面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程

f(x,y)=0.xyz

（2）以yOz

坐標(biāo)面上曲線

C:g(y,z)=0為準(zhǔn)線,母線平行于x軸的柱面方程為

（3）以zOx

坐標(biāo)面上曲線

C:h(x,z)=0為準(zhǔn)線,母線平行于y軸的柱面方程為

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz下，含兩個(gè)變量的方程為柱面方程，并且方程中缺少哪個(gè)變量，該柱面的母線就平行于哪一個(gè)坐標(biāo)軸.yzxyz幾種常用的柱面方程及圖形（1）圓柱面（2）橢圓柱面（4）拋物柱面（3）雙曲柱面zyxO

平面曲線

C

繞同一平面上定直線

L

旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.

定直線

L

稱為旋轉(zhuǎn)軸.4.旋轉(zhuǎn)曲面

設(shè)yoz

平面上曲線

C:f(y,z)

=0繞

z

軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面.則旋轉(zhuǎn)曲面方程為CC

設(shè)yoz

平面上曲線

C:f(y,z)

=0繞

z

軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面.點(diǎn)

M(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)

M

作平面垂直于

z軸,交

z

軸于點(diǎn)

P(0,0,z),交曲線

C于點(diǎn)M0(0,y0,z0).由于點(diǎn)

M可以由點(diǎn)

M0

繞

z軸旋轉(zhuǎn)得到,因此有又因?yàn)?/p>

M0

在曲線

C

上，所以f(y0

,z0)=0即得旋轉(zhuǎn)曲面方程:

設(shè)

yoz

坐標(biāo)面上的直線

z=ay(a

0),繞

z

軸旋轉(zhuǎn),確定旋轉(zhuǎn)曲面方程.因?yàn)閷⒅本€z=ay

繞z軸旋轉(zhuǎn),故z保持不變,將

y換成則得此曲面稱為圓錐面.即例圓錐面方程旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面.

當(dāng)

a<0時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面的開(kāi)口向下.

將yz

坐標(biāo)面上的拋物線

z=ay2(a

>0)，繞

z

軸當(dāng)

a>0時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面的開(kāi)口向上.例旋轉(zhuǎn)拋物面xyzO

定義

三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.討論二次曲面形狀的截痕法：

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線（即截痕）的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的全貌,這種方法稱為截痕法.5.二次曲面（1）橢球面由方程得即曲面介于平面之間曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線為：橢球面與平行坐標(biāo)平面的交線為橢圓，且橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.（與同號(hào)）（4）橢圓拋物面（2）單葉雙曲面（3）雙葉雙曲面（2）單葉雙曲面（3）雙葉雙曲面（與同號(hào)）（4）橢圓拋物面（與同號(hào)）（5）雙曲拋物面三、空間曲線及其在坐標(biāo)面上的投影

空間兩平面相交為直線.因此，可以把空間直線看作是兩平面的交線.相應(yīng)地，可以把空間曲線看作是兩曲面的交線.所表示的曲線方程稱為空方程組特殊地，直線方程間曲線的一般方程.zxyO

z=3是平行于

xy

坐標(biāo)面的平面，

因而它們的交線是在平面

z=3上的圓.

解因?yàn)?/p>

x2+y2+z2=25是球心在原點(diǎn),半徑為5的球面.表示什么曲線?例方程組xyzO例曲線方程表示上半球面與柱面相交構(gòu)成的空間曲線方程過(guò)曲線C上的每一點(diǎn)作xOy坐標(biāo)面的垂線,這些垂線形成了一個(gè)母線平行于z軸且過(guò)曲線C的柱面,稱其為曲線C關(guān)于xOy坐標(biāo)面的的投影柱面.這個(gè)柱面與面的交線稱為曲線在面上的投影曲線,簡(jiǎn)稱投影.投影柱面方程的確定：由方程組消去變量z，所得方程為投影柱面方程.設(shè)空間曲線C的方程為xOy坐標(biāo)面上的投影曲線方程

例求曲線在

xoy坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.解方程就是

關(guān)于xoy

坐標(biāo)面的投影柱面方程，因而曲線

在

xy

坐標(biāo)面上的投影曲線是圓.四、平面區(qū)域與n維空間例

連通：如果點(diǎn)集E內(nèi)任意兩點(diǎn)都能用全屬于E的折線或曲線連接起來(lái)，則稱E為連通的.

區(qū)域：連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域.區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域.

有界與無(wú)界區(qū)域：對(duì)于平面點(diǎn)集E，如果存在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓盤(pán)D

，使，則稱E為有界區(qū)域，否則稱E為無(wú)界區(qū)域.例區(qū)域?yàn)殚_(kāi)區(qū)域.例區(qū)域?yàn)橛薪玳]區(qū)域.

n維空間由元有序?qū)崝?shù)組的全體組成的集合稱為n維空間，記作，即其中每個(gè)有序數(shù)組稱為

中的一個(gè)點(diǎn)，也稱該點(diǎn)的坐標(biāo)，n個(gè)實(shí)數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的分量.

n維空間中任意兩點(diǎn)與間的距離定義為多元函數(shù)微積分一、二元函數(shù)二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)三、多元函數(shù)第二節(jié)多元函數(shù)

導(dǎo)言：多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學(xué)研究的對(duì)象，同一元函數(shù)類(lèi)似對(duì)于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)等基本概念.這些內(nèi)容作為一元函數(shù)在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容類(lèi)似且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與一元函數(shù)的對(duì)比.在研究方法上把握一般與特殊之間辯證關(guān)系.第二節(jié)多元函數(shù)一、二元函數(shù)例矩形面積S與長(zhǎng)x，寬y之間關(guān)系為

S=xy(x>0,y>0)其中長(zhǎng)x和寬y是兩個(gè)獨(dú)立的變量,在它們變化范圍內(nèi),當(dāng)x,y的值取定后,矩形面積S有惟一確定值對(duì)應(yīng).

例在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，著名的生產(chǎn)函數(shù)為，這里為常數(shù)，分別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，Q表示產(chǎn)量，Q是一個(gè)依賴于K和L的變化而變化的量．當(dāng)K,L的值取定后,Q就

有惟一確定的值相對(duì)應(yīng).

定義設(shè)D為中的一個(gè)非空點(diǎn)集，若有一個(gè)映射f，使得對(duì)于D中每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，都有惟一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱映射f為定義在D上的二元函數(shù)，記為f：D→R

，又記為，其中稱為自變量，z稱為因變量，的變化范圍D稱為函數(shù)的定義域，記為實(shí)數(shù)z的取值范圍稱為值域，記為.zDyxzf

二元函數(shù)的定義域

當(dāng)用某個(gè)解析式表達(dá)二元函數(shù)時(shí)，凡是使解析式有意義的自變量所組成的平面點(diǎn)集為該二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域.例解要使函數(shù)有意義須滿足所以函數(shù)的定義域?yàn)閤y例解要使函數(shù)有意義須滿足所以函數(shù)的定義域?yàn)槔庖购瘮?shù)有意義須滿足函數(shù)的定義域?yàn)槔庖购瘮?shù)有意義須滿足所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

二元函數(shù)的幾何圖形

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈.對(duì)于任意取定的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為.這樣,就確定空間一點(diǎn).當(dāng)(x,y)取遍D上的一切點(diǎn)時(shí),得到空間點(diǎn)集這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.該幾何圖形通常是一張曲面.而定義域D正是這曲面在Oxy平面上的投影.例例二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在該鄰域內(nèi)以任意方式趨于定點(diǎn)

時(shí),函數(shù)值f(x,y)趨于一個(gè)確定常數(shù)A,則稱A為函數(shù)z=f(x,y),當(dāng)時(shí)的極限，記作或(1)對(duì)于二元函數(shù)極限的存在是指當(dāng)P(x,y)以任意方式與方向趨于定點(diǎn)P0(x0,y0),函數(shù)都無(wú)限接近于A.即極限趨近方式具有任意性特征.二元函數(shù)極限的說(shuō)明：(2)對(duì)于二元函數(shù)極限的不存在,則有若當(dāng)點(diǎn)P(x,y)以不同路徑趨于點(diǎn)時(shí),函數(shù)趨于不同的值;或在某一路徑上點(diǎn)P(x,y)趨于點(diǎn)的極限不存在,則可以斷定函數(shù)在點(diǎn)的極限不存在.xy-1.0-0.5-0.200.20.51.0-1.00.000.600.921.000.920.600.00-0.5-0.600.000.721.000.720.00-0.60-0.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920.5-0.600.000.721.000.720.00-0.601.00.000.600.921.000.920.600.00

例考察函數(shù)在處的極限是否存在.做出函數(shù)在點(diǎn)附近的函數(shù)值表，如下函數(shù)在處的極限不存在.

例證明函數(shù)在處的極限不存在.

證讓沿直線而趨于，則有它將隨k的不同而具有不同的值.因此，極限不存在.

二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類(lèi)似的性質(zhì)與運(yùn)算法則.例求極限解例求極限解由有界變量與無(wú)窮小乘積為無(wú)窮小知2.二元函數(shù)的連續(xù)性

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù).

定義若在點(diǎn)P0(x0,y0)處,自變量x,y各取增量△x,△y時(shí)，函數(shù)隨之取得增量△z，即若則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)

如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的不連續(xù)點(diǎn)，或稱間斷點(diǎn).(1)在點(diǎn)P0(x0,y0)沒(méi)有定義，(2)極限不存在，(3)則點(diǎn)P0(x0,y0)為函數(shù)的z=f(x,y)的間斷點(diǎn).如果函數(shù)z=f(x,y)有下列情形之一：

二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜,它除了有間斷點(diǎn)外,還可能有間斷線.例此函數(shù)對(duì)于x軸與y軸上的點(diǎn)均間斷.此函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處間斷.二元函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)

由變量x，y的基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合步驟而構(gòu)成的，且用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為二元初等函數(shù).

定理二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域(是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域)內(nèi)是連續(xù).

定理連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)與復(fù)合仍連續(xù).

定理在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有最大值和最小值.例求極限解三、多元函數(shù)

一般地，稱函數(shù)為上的n元函數(shù)．

若n元有序?qū)崝?shù)組用點(diǎn)表示，這樣n元函數(shù).也可以表示為稱其為點(diǎn)函數(shù).

例如，一個(gè)公司用n種原料制造食品，每種原料i的單價(jià)為，在食品的制造中，有數(shù)量為的原料i被使用，因此總費(fèi)用是受原料影響的函數(shù)：

二元函數(shù)及二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)，同二元函數(shù)類(lèi)似，可以定義多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念.并將其統(tǒng)一為點(diǎn)函數(shù)形式.多元函數(shù)的極限定義多元函數(shù)的連續(xù)定義

由于這種形式上的統(tǒng)一，使得多元函數(shù)的一些主要概念、性質(zhì)與二元函數(shù)類(lèi)似.因此，對(duì)于多元函數(shù)微積分的研究主要以二元函數(shù)為主，多元函數(shù)微積分可以由二元函數(shù)微積分類(lèi)似推廣.多元函數(shù)微積分一、偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用一、偏導(dǎo)數(shù)

引例在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為，這里為常數(shù)，分別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，Q表示產(chǎn)量.

當(dāng)勞力投入不變時(shí)產(chǎn)量對(duì)資本投入的變化率

當(dāng)資本投入不變時(shí)產(chǎn)量對(duì)勞力投入的變化率

該問(wèn)題說(shuō)明有時(shí)需要求二元函數(shù)在某個(gè)變量不變的條件下，對(duì)另一個(gè)變量的變化率.1.偏導(dǎo)數(shù)概念

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0,而x在x0處有增量△x時(shí),相應(yīng)函數(shù)有增量如果極限存在,則稱其值為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).記為一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)即類(lèi)似地,函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為也可記為函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)

由偏導(dǎo)數(shù)定義可知,求偏導(dǎo)數(shù)，就是在函數(shù)中視y為常數(shù)，只對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，因此有2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算類(lèi)似地這樣求偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題.對(duì)于固定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解

例

求函數(shù)在點(diǎn)(1,3)處對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù).解將點(diǎn)(1,3)代入上式，得或由可得所以例設(shè)求解因?yàn)樗远陨隙嘣瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類(lèi)似地定義和計(jì)算例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

解對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)就是視y,z為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)同理3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形表示空間一張曲面.當(dāng)y=y0時(shí),曲面z=f(x,y)與平面y=y0的交線方程為在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：fx(x0,y0)幾何意義是曲線的切線關(guān)于x軸的斜率.即同理4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系對(duì)于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系如何？一元函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：連續(xù)可導(dǎo)例解由偏導(dǎo)數(shù)定義所以，函數(shù)在(0,0)處對(duì)變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)存在.讓沿直線而趨于（0,0），則有它將隨k的不同而具有不同的值，因此極限不存在.所以函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).結(jié)論：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在未必連續(xù).結(jié)論：二元函數(shù)連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在.

例說(shuō)明二元函數(shù)，在點(diǎn)(0,0)處是連續(xù)的,但在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在.解因?yàn)樗?，函?shù)在點(diǎn)處(0,0)連續(xù).又因?yàn)闃O限不存在，所以偏導(dǎo)數(shù)不存在.

這是因?yàn)檫B續(xù)只保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí),函數(shù)f(x,y)趨于f(x0,y0).但不能保證點(diǎn)(x,y)沿著平行坐標(biāo)軸方向趨于(x0,y0)時(shí),變化率的極限存在.二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系：連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

反之,偏導(dǎo)數(shù)存在.只能保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿著平行坐標(biāo)軸的方向趨于(x0,y0)點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x,y)變化率極限存在,此時(shí)沿著平行坐標(biāo)軸的方向f(x,y)趨于f(x0,y0),但不能保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí),f(x,y)趨于f(x0,y0).二、高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)與.且其偏導(dǎo)數(shù)仍存在,則稱其偏導(dǎo)數(shù)為二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)

同樣可定義三階、四階以至n階偏導(dǎo)數(shù).一個(gè)多元函數(shù)的n–1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來(lái)函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)原則是逐階求導(dǎo).例

求的二階偏導(dǎo)數(shù).解解例

求的二階混合偏導(dǎo)數(shù).

此例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等.但是由于求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的次序不同，兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)也未必一定相等在什么條件下兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等？

定理如果函數(shù)z=f(x,y)在開(kāi)區(qū)域D上二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則在該區(qū)域上任一點(diǎn)處必有三、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與，分別稱為函數(shù)對(duì)變量x與y的邊際函數(shù)，邊際函數(shù)概念也可以推廣到多元函數(shù)上.（1）邊際產(chǎn)量

設(shè)某企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量取決于投資的資本數(shù)量及可獲得的勞動(dòng)力數(shù)量．通常假定滿足庫(kù)柏──道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)資本的邊際產(chǎn)量為與勞力的邊際產(chǎn)量函數(shù)分別為

例某工廠的生產(chǎn)函數(shù)是，其中Q是產(chǎn)量(單位:件)，K是資本投入(單位:千元)，L是勞力投入(單位:千工時(shí))．求當(dāng)時(shí)的邊際產(chǎn)量.解資本的邊際產(chǎn)量勞力的邊際產(chǎn)量為邊際產(chǎn)量為（2）邊際成本與邊際利潤(rùn)

當(dāng)廠商生產(chǎn)A,B兩種不同的產(chǎn)品時(shí)，總成本、總收入和總利潤(rùn)均為兩種產(chǎn)品產(chǎn)量的二元函數(shù).這些函數(shù)分別對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)就是兩種不同產(chǎn)品的邊際成本、邊際收益和邊際利潤(rùn).總成本函數(shù)為總收入函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)為

例某工廠生產(chǎn)兩種不同的產(chǎn)品，其數(shù)量為，總成本為(1)求兩種不同產(chǎn)品的邊際成本；(2)確定當(dāng)時(shí)，對(duì)的邊際成本；(3)當(dāng)出售兩種產(chǎn)品的單價(jià)分別為30元和20元時(shí)，求每種產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)．解(1)對(duì)產(chǎn)品的邊際成本為

對(duì)產(chǎn)品的邊際成本為

(3)利潤(rùn)函數(shù)邊際利潤(rùn)分別為多元函數(shù)微積分一、全微分的定義二、函數(shù)可微的充分與必要條件第四節(jié)全微分則函數(shù)微分為當(dāng)很小時(shí)第四節(jié)全微分問(wèn)題導(dǎo)言：一元函數(shù)微分回顧例正方形面積改變量.

的線性主部高階無(wú)窮小微分定義若函數(shù)改變量

由兩部分組成.一部分是關(guān)于的線性主部,另一部分是比高階的無(wú)窮小.一、全微分的定義

引例設(shè)矩形金屬薄板長(zhǎng)為x,寬為y,則面積S=xy.薄板受熱膨脹,長(zhǎng)自x0增加,寬自y0增加,其面積相應(yīng)增加即其中

定義設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,如果z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量可表示為其中A,B與無(wú)關(guān)，是比高階的無(wú)窮小,則稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分,記作dz.即也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.

問(wèn)題:(1)函數(shù)在什么下可微？(2)全微分表達(dá)式中的A，B

如何？

定理

若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,則f(x,y)在該點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,并且A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).證因?yàn)閒(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則有取，此時(shí)，則有兩邊同除以，再令取極限，得二、函數(shù)可微的必要與充分條件這樣,二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分可以表達(dá)為若規(guī)定.于是全微分又可寫(xiě)成

若函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處都可微,則稱f(x,y)在域D內(nèi)可微.且

定理如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)點(diǎn)可微,則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).證根據(jù)函數(shù)可微的定義，有當(dāng)時(shí)，有，所以z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).因此二元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間關(guān)系

前述定理說(shuō)明二元函數(shù)全微分存在一定連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)一定存在.反之則不然.例函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在.且但在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù),故在(0,0)點(diǎn)是不可微的.下面的定理給出了函數(shù)z=f(x,y)可微的充分條件.

例函數(shù),在點(diǎn)(0,0)處是連續(xù)的,但在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在.故在(0,0)點(diǎn)是不可微的.

定理設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微.函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的關(guān)系例

求的全微分.解例

求在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解由于是連續(xù)函數(shù).所以在點(diǎn)(2,1)處的全微分為且三、全微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用函數(shù)值的近似公式例計(jì)算的近似值解由公式得近似公式

例某企業(yè)的成本C與產(chǎn)出的商品A和B的數(shù)量之間的關(guān)系為

現(xiàn)A的產(chǎn)量從100增加到105，而B(niǎo)的產(chǎn)量由50增加到52，求成本大約增加多少？解即成本大約增加975．多元函數(shù)微積分一、復(fù)合函數(shù)微分法二、一階全微分形式不變性三、隱函數(shù)的微分法第五節(jié)多元函數(shù)微分法第五節(jié)多元函數(shù)微分法

導(dǎo)言：復(fù)合運(yùn)算是函數(shù)的一種最基本運(yùn)算，同一元復(fù)合函數(shù)類(lèi)似,多元函數(shù)也可以進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算.多元函數(shù)復(fù)合時(shí)，由于中間變量的增多，使得多元復(fù)合函數(shù)的形式要比一元復(fù)合函數(shù)的形式復(fù)雜的多.

同一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相同，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在多元函數(shù)微分學(xué)中起著重要作用，它是多元函數(shù)微分學(xué)的核心.但是由于多元復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)雜性，也使得多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則形式具有多變性，學(xué)習(xí)中要注意把握函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與法則之間的聯(lián)系.一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)z=f(u,v),而,則有復(fù)合函數(shù)（中間變量為一元函數(shù)）

定理設(shè)函數(shù)u=

(x)

與v=

(x)

在x處均可導(dǎo),二元函數(shù)z=f(x,y)在x

對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)對(duì)x

的導(dǎo)數(shù)存在,且zuvx求導(dǎo)公式函數(shù)結(jié)構(gòu)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則yux證由于函數(shù)z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以當(dāng)所以

設(shè)函數(shù)z=f(u,v),而,則有復(fù)合函數(shù)(中間變量為二元函數(shù))

類(lèi)似的可以得到多元復(fù)合函數(shù)的中間變量為二元函數(shù)的求導(dǎo)法則.

定理設(shè)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù),而z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在,且求導(dǎo)公式函數(shù)結(jié)構(gòu)zuvxy項(xiàng)數(shù)等于路徑條數(shù)因子數(shù)等于連線數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則特征說(shuō)明zuvxy

公式與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的聯(lián)系:①公式中偏導(dǎo)數(shù)由兩項(xiàng)組成,對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中有兩條x到達(dá)z的路徑.②公式中每項(xiàng)為兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積,這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)形式與結(jié)構(gòu)圖中相連接的兩個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)相對(duì)應(yīng).基本規(guī)律:分路向加,連線相乘,分清變量,逐層求導(dǎo).

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則雖然是多種多樣,但是把握了其規(guī)律就可以直接寫(xiě)出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.(2)設(shè)z=f(u,v,w),其復(fù)合函數(shù)為zuvwxyxyzuvw(1)設(shè)z=f(u,v,w),其復(fù)合函數(shù)為(3)設(shè)w=f(u,v),其復(fù)合函數(shù)為uvzxyz(4)設(shè)z=f(x,v),復(fù)合函數(shù)為zxvxy

注意:這里的與是代表不同的意義.解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得例設(shè)求全導(dǎo)數(shù)zuvtt例設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得zuvx例

設(shè)求解法1

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得解法2

由復(fù)合函數(shù)直接求偏導(dǎo)數(shù)

例

設(shè)求偏導(dǎo)數(shù).解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得zxvxy

例設(shè),其中f(u,v)可微,求偏導(dǎo)數(shù).解令，可得其中不能再具體計(jì)算了,這是因?yàn)楹瘮?shù)f僅是抽象的函數(shù)記號(hào)，沒(méi)有具體給出函數(shù)表達(dá)式.

例設(shè),其中f(u,v,t)可微,求偏導(dǎo)數(shù).解令可得wuvtxyz例設(shè)

解在這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式中,乘法中有復(fù)合函數(shù)所以先用乘法求導(dǎo)公式.這里分別表示對(duì)第一、二個(gè)變量求導(dǎo).例設(shè)解令其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得zuvxyuvxy因?yàn)閒具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以，故類(lèi)似地，二、一階全微分形式不變性

設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),當(dāng)u,v是自變量時(shí),有

如果u,v是中間變量,即,且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)的全微分為其中

由此可見(jiàn),不論u,v是自變量還是中間變量,函數(shù)z=f(u,v)的全微分的形式具有同一形式.所以這個(gè)性質(zhì)稱為全微分的形式不變性.例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.解由二元函數(shù)一階微分形式不變性，得所以

例設(shè),其中f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解設(shè)由二元函數(shù)一階微分形式不變性，得三、隱函數(shù)的微分法

設(shè)方程在區(qū)域D內(nèi)確定隱函數(shù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，將函數(shù)代入方程得此式兩端對(duì)x求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得因?yàn)?，所?/p>

定理設(shè)函數(shù)在包含點(diǎn)的某區(qū)域D

內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)和且則(1)方程在內(nèi)能惟一確定隱函數(shù)使得(2)函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且（隱函數(shù)的求導(dǎo)公式）（定理證明從略）

類(lèi)似地，設(shè)方程確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)，且將z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式將上式兩端對(duì)x和y求導(dǎo)，得所以，得（隱函數(shù)求導(dǎo)公式）Fxyzxy例

設(shè)解1

令，則有由求導(dǎo)公式,得解2

方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得所以,得例

設(shè)由方程確定求偏導(dǎo)數(shù)解1（公式法）令，則有由求導(dǎo)公式得解2（求導(dǎo)法）方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得所以類(lèi)似可得解3

（全微分法）方程兩邊求全微分，得即所以

例設(shè)G(x–az,y–bz)=0(a,b為常數(shù)),G(u,v)可微,證明由方程所確定的z(x,y)滿足方程證令u=x–az，v=y–bz，F(xiàn)(x,y)=G(x–az,y–bz)所以從而有練習(xí)：分別用求導(dǎo)法與全微分法求解該題.多元函數(shù)微積分一、二元函數(shù)的極值二、條件極值第六節(jié)多元函數(shù)的極值第六節(jié)多元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)該鄰域內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值恒有f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0))，則稱點(diǎn)(x0,y0)為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).函數(shù)值f(x0,y0)稱為極大值(或極小值).極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

例

(1)函數(shù)，在原點(diǎn)(0,0)處取得極小值1.因?yàn)?，?duì)于任何點(diǎn)(x,y)≠(0,0)，都有f(x,y)>f(0,0)=1,(2)函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處取得極大值0.因?yàn)閷?duì)于任何(x,y)≠(0,0)，都有f(x,y)<f(0,0)=1xyzxyz

定理(極值存在的必要條件)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值,且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在,則必有

證由于z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值,所以當(dāng)y保持常量y0時(shí),對(duì)一元函數(shù)z=f(x,y0)在點(diǎn)x0

也必有極值.所以同理可證

使得等式同時(shí)成立的點(diǎn)(x0,y0),稱為函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn).

注意：由定理知偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)必定為駐點(diǎn)但反之，駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).

極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn).因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).

如錐面的頂點(diǎn)(0,0,1)偏導(dǎo)數(shù)不存在,但頂點(diǎn)是極值點(diǎn).但駐點(diǎn)(0,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn).

例函數(shù)

,在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零,即xyzoxyz問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？

定理(極值的充分條件)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù),且(x0,y0)是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn),即,若記

,則(1)當(dāng)B2–AC<0,且A<0時(shí),f(x0,y0)為極大值；當(dāng)B2–AC<0,且A>0時(shí),f(x0,y0)為極小值.(2)當(dāng)B2–AC>0時(shí),f(x0,y0)非極值.(3)當(dāng)B2–AC=0時(shí),f(x0,y0)可能為極值也可能非極值.

對(duì)于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)求函數(shù)z=f(x,y)極值的步驟：2.求出二階偏導(dǎo)數(shù),并對(duì)每一駐點(diǎn),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ),B,C.1.求方程組的解,得到所有駐點(diǎn).3.對(duì)每一駐點(diǎn)(x0,y0),定出B2–AC的符號(hào),按照定理的結(jié)論,判定f(x0,y0)是否為極值,是極大值還是極小值.4.求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值.求極值

求駐點(diǎn)

計(jì)算極值不定

非極值

極值

極大值

極小值求函數(shù)極值流程圖例求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)，又

在駐點(diǎn)(1,1)處，所以，函數(shù)有極值

在駐點(diǎn)(0,0)處，所以，點(diǎn)不是極值點(diǎn)；例求函數(shù)的極值.得駐點(diǎn)(0,0),(–4,–2).解解方程組求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，由極值的充分條件知,點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)(–4,–2)處,有而A<0,由極值的充分條件,知點(diǎn)(–4,–2)為極大值點(diǎn),f(–4,–2)=–8e–2是函數(shù)的極大值.在點(diǎn)(0,0)處.有A=2,B=0,C=–4.B2–AC=8>0二、條件極值具有某種約束條件的極值問(wèn)題稱為條件極值．條件極值無(wú)條件極值求函數(shù)極小值求函數(shù)在條件下的極小值xyzxyz極小值點(diǎn)為曲面上的最低點(diǎn)極小值為z=0極小值點(diǎn)為曲線上的最低點(diǎn)極小值為z=1

對(duì)于函數(shù)在條件下的條件極值問(wèn)題，稱為目標(biāo)函數(shù)，方程稱為約束條件.

幾何上看，目標(biāo)函數(shù)在條件下的極值是指當(dāng)點(diǎn)在xOy坐標(biāo)面上的曲線上變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值的極值.也即曲線上的極值點(diǎn).zyx

對(duì)于條件極值的求解可以將其化為無(wú)條件極值或者用下面拉格朗日乘數(shù)法求解求解條件極值的拉格朗日乘數(shù)法

問(wèn)題：求函數(shù)在滿足條件時(shí)的條件極值.

分析設(shè)方程確定隱函數(shù)，將其代入目標(biāo)函數(shù)有

若函數(shù)在點(diǎn)處取得條件極值，則函數(shù)在處也取得極值，由極值的由隱函數(shù)求導(dǎo)公式有代入上式得必要條件知即令則上述必要條件可寫(xiě)成為此引入拉格朗日函數(shù)其中為待定常數(shù)，稱為拉格朗日乘數(shù).

這樣有下述拉格朗日乘數(shù)法.拉格朗日乘數(shù)法（1）構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)將原條件極值化為求函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題（2）由無(wú)條件極值問(wèn)題必要條件有解方程組，求出可能的極值點(diǎn)（3）判別是否取得極值.

例設(shè)周長(zhǎng)為2p的矩形,繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成圓柱體,求矩形的邊長(zhǎng)各為多少時(shí),圓柱體的體積最大.其中矩形邊長(zhǎng)x,y滿足的約束條件是2x+2y=2p，即x+y=p.求函數(shù)在條件x+y–p=0下的最大值.

解設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為x和y,且繞邊長(zhǎng)為y的邊旋轉(zhuǎn),得到旋轉(zhuǎn)圓柱體的體積為zyx構(gòu)造輔助函數(shù)求F(x,y)的偏導(dǎo)數(shù),并建立方程組求F(x,y)的偏導(dǎo)數(shù),并建立方程組由方程組中的第一、二兩個(gè)方程消去λ,得2y=x,代入第三個(gè)方程,得

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題意義知最大值一定存在,且有惟一的可能極值點(diǎn),所以最大值存在.即當(dāng)時(shí),圓柱體體積最大值為多元函數(shù)微積分一、函數(shù)的最值二、實(shí)際問(wèn)題中的最值三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最值問(wèn)題第七節(jié)多元函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題第七節(jié)多元函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題一、二元函數(shù)的最值

最值存在定理：若函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),則一定存在最大值與最小值.

閉區(qū)域D上可微函數(shù)的最值求法：

(1)先求出函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)的一切駐點(diǎn)處的函數(shù)值

(2)求出函數(shù)在區(qū)域邊界上的最值.(3)比較這些函數(shù)值的大小,最大的就是函數(shù)在D上的最大值,最小的就是函數(shù)在D上的最小值.駐點(diǎn)值最點(diǎn)值

例求函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大值與最小值.解

函數(shù)在D內(nèi)處處可導(dǎo)，且解方程組，得D內(nèi)駐點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在邊界x=0及y=0上的函數(shù)z的值恒為零．在邊界上，函數(shù)成為的一元函數(shù)函數(shù)求導(dǎo)有所以在[0,4]上的駐點(diǎn)為相應(yīng)的函數(shù)值為所以函數(shù)在閉域D上的最大值為,在點(diǎn)處取得；最小值為，它在D的邊界x=0及y=0上取得．二、實(shí)際問(wèn)題的最值

實(shí)際問(wèn)題最值的求法

(1)有實(shí)際意義建立函數(shù)模型及其定義域；

(2)求函數(shù)的駐點(diǎn)；

(3)結(jié)合實(shí)際意義，利用駐點(diǎn)的惟一性及最值的存在性進(jìn)行判斷.

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的最值，若從問(wèn)題本身能斷定它的最大值或最小值一定存在，且在定義區(qū)域的內(nèi)部取得，這時(shí)，若可微函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)有惟一的駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或最小值．

例要用鋼板制作一個(gè)容積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容器，若不計(jì)鋼板的厚度，怎樣制作材料最省?

解1設(shè)容器的長(zhǎng)為x，寬為y

，高為z，容器所需鋼板的面積為且所以求偏導(dǎo)數(shù)求駐點(diǎn)得于是駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)與寬為，高取時(shí)，所需的材料最?。?

設(shè)拉格朗日函數(shù)為

將方程組的第一個(gè)方程乘以x，第二個(gè)方程乘以y，所以有，代入第四個(gè)方程得可能極值點(diǎn)第三個(gè)方程乘以z，再兩兩相減得

解

設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積傾角為

,

例

有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來(lái)做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,問(wèn)怎樣折法才能使斷面面積最大.x24令解得

由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最值問(wèn)題

例（最大利潤(rùn)）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其銷(xiāo)售單價(jià)分別為(單位:元)總成本函數(shù)(單位:元)是兩種產(chǎn)品產(chǎn)量和(單位:件)的函數(shù)，當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲利潤(rùn)最大？解收益函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)分別為解得惟一駐點(diǎn)，而由由題意知，生產(chǎn)120件產(chǎn)品A，80件產(chǎn)品B利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為320元．

例（最小成本）某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為和(單位:件)，總成本(單位:元)函數(shù)為商品的限額為，求最小成本？解約束條件為，設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得惟一駐點(diǎn)(25,17)，故最小成本元

例(最大利潤(rùn))銷(xiāo)售某產(chǎn)品需作兩種方式的廣告宣傳，當(dāng)宣傳費(fèi)分別為x和y(單位:千元)時(shí)，銷(xiāo)售量為S(單位:件)是x和y的函數(shù)若銷(xiāo)售產(chǎn)品所得利潤(rùn)是銷(xiāo)售量的1/5減去總的廣告費(fèi)，兩種方式廣告費(fèi)共25(千元)．應(yīng)怎樣分配兩種方式的廣告費(fèi)，能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解根據(jù)題意，利潤(rùn)函數(shù)為約束條件為，作拉格朗日函數(shù)求其偏導(dǎo)數(shù)，得方程組解得，因駐點(diǎn)惟一，所以當(dāng)兩種宣傳方式廣告費(fèi)分別為15和10(千元)時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為例解多元函數(shù)微積分一、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算三、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算四、二重積分的幾何應(yīng)用第八節(jié)二重積分

導(dǎo)言：本節(jié)我們將一元函數(shù)定積分的概念和思想擴(kuò)展到二元函數(shù)的二重積分上，由于二重積分是一元函數(shù)定積分在二元函數(shù)中的進(jìn)一步推廣.因此，二重積分概念、性質(zhì)與定積分類(lèi)似，二重積分的計(jì)算方法也是將其轉(zhuǎn)化為定積分.學(xué)習(xí)中要注意與定積分的對(duì)比，把握兩者之間的共性與區(qū)別.第八節(jié)二重積分

求由直線x=a,x=b,y=0與曲線y=f(x)≥0

所圍成的曲邊梯形的面積.方法：整體分割—局部近似—求和積累—無(wú)限逼近回顧：曲邊梯形面積的求解過(guò)程及思想方法xyo(1)分割化整為零(2)近似以常代變(3)求和積零為整(4)極限無(wú)限累加一、二重積分的概念與性質(zhì)1.求曲頂柱體的體積

曲頂柱體:以xOy平面上的有界閉區(qū)域D為底,其側(cè)面為以D的邊界線為準(zhǔn)線,而母線平行z軸的柱面，其頂是連續(xù)曲面所圍成的幾何體.xzy下面討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積V.(1)分割對(duì)區(qū)域D用兩組曲線網(wǎng)任意分割成n個(gè)小區(qū)域其中既表示第i個(gè)小區(qū)域也表示其對(duì)應(yīng)的面積.

(2)近似在中任取一點(diǎn),以為高而底為的平頂柱體體積為以此作為小曲頂柱體體積的近似值.xzy方法：整體分割—局部近似—求和積累—無(wú)限逼近即有(4)

取極限記為的直徑的最大值(表示中任意兩點(diǎn)間距離的最大值），則曲頂柱體的體積為(3)

求和將小曲頂柱體積求和，可得曲頂柱體的近似值為xzy2.二重積分的概念

定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上有定義且有界.用任意兩組曲線分割D成n個(gè)小塊既表示第i小塊,也表示第i小塊的面積.在上任取一點(diǎn),作和式記,若極限存在稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分.記為xyD稱f(x,y)為被積函數(shù)，D為積分區(qū)域，x,y為積分變量,

為面積微元.積分和積分區(qū)域面積微元被積函數(shù)積分號(hào)

二重積分作幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）二重積分的積分值與區(qū)域的分割方式與取點(diǎn)無(wú)關(guān)，即分割與取點(diǎn)具有任意性；（2）二重積分的積分值是一數(shù)值，該值與區(qū)域及被積函數(shù)相關(guān)，與積分變量無(wú)關(guān)；（3）若被積函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)則一定可積.3.二重積分的幾何意義(1)若在D上f(x,y)≥0,則表示以區(qū)域D為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積.(3)若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的,在D的另一些子區(qū)域上為負(fù)的，則