2024年成都市新津區(qū)高二數(shù)學(xué)3月份檢測試卷附答案解析

2024年成都市新津區(qū)高二數(shù)學(xué)3月份檢測試卷試卷滿分150分．考試時間120分鐘．2024.03一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知等差數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前兩項分別為1，－2，則該數(shù)列的第4項為（

）A．4 B．－4 C．8 D．－83．在數(shù)列中，已知，，且（），則（

）A．13 B．9 C．11 D．74．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且，則（

）A．B．C． D．5．在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為（

）A．50 B．70 C．90 D．1106．“數(shù)列和都是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知數(shù)列的首項，且滿足，則中最小的一項是（

）A． B． C． D．8．謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個實心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個小三角形中又挖去一個“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是（

）A． B．C． D．二、多選題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，錯選或不選得0分，少選得部份分.9．下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（

）．A．1，，，，…，，…B．，，，，…，，…C．，，，…，，…D．1，，，…，，…10．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀诺男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖1，圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，如圖2，圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)為數(shù)列，正方形數(shù)為數(shù)列，則（

）A． B． C． D．11．普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”（Lookandsaysequence），該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項是前一項的“外觀描述”.例如：取第一項為1，將其外觀描述為“1個1”，則第二項為11；將11描述為“2個1”，則第三項為21；將21描述為“1個2，1個1”，則第四項為1211；將1211描述為“1個1，1個2，2個1”，則第五項為，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項即可依次推出數(shù)列后面的項.則對于外觀數(shù)列，則（

）A．若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字2；B．若，則的最后一個數(shù)字均為；C．可能既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；D．若，則均不包含數(shù)字4.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12．在等差數(shù)列中，，則．13．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，且前項和為，則實數(shù)．14．習(xí)近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化.某師范大學(xué)學(xué)生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教.原計劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.按新數(shù)列的各項依次派遣支教學(xué)生.記為派遣70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為.四、解答題：本大題共6個小題，共計70分.15．在等比數(shù)列中.(1)若它的前三項分別為5，－15，45，求；(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求；(3)若a4＝2，a7＝8，求an.16．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求的最小值及此時的值.17．已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，的前項和為，求.18．王先生今年初向銀行申請個人住房貸款80萬元購買住房，按復(fù)利計算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清．銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)．(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應(yīng)還12000元，最后一個還貸月應(yīng)還5000元，試計算王先生該筆貸款的總利息；(2)若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3％，銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為17000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批(不考慮其他因素)．參考數(shù)據(jù)19．隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．1．B【分析】求出等差數(shù)列的公差，即可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故.故選：B.2．D【分析】由題可得數(shù)列的首項和公比，即可得答案.【詳解】依題意可得該等比數(shù)列的公比為，首項為1，所以該數(shù)列的第4項為．故選：D3．C【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合，通過賦值，即可求得.【詳解】由題意可知，.故選：C.4．B【分析】由題目條件可得，再利用余弦定理代入求解即可.【詳解】因為，，滿足成等比數(shù)列，得，且，得，由余弦定理，，故選：B.5．B【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式計算即可.【詳解】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.6．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式可證明充分性成立，舉例說明可證明必要性不成立，即可求解.【詳解】若數(shù)列都是等比數(shù)列，設(shè)其公比分別為為常數(shù))，則，所以當(dāng)時，，為常數(shù)，由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)，當(dāng)，時，滿足，但都不是等比數(shù)列，故必要性不成立.所以“數(shù)列、都是等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A7．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，即，所以有，顯然當(dāng)時，，因此中最小的一項是，故選：B8．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求得正確答案.【詳解】由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是：.故選：C9．BD【分析】按已知條件逐一分析各個選項即可得解.【詳解】對于A，1，，，，…，，…為遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B，，，，，…，，…為遞增數(shù)列，且是無窮數(shù)列，故B正確；對于C，，，，…，，…中，故不是遞增數(shù)列，故C錯誤；對于D，1，，，…，，…既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的，故D正確.故選：BD.10．ACD【分析】利用觀察歸納法，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求出，再逐項判斷即得.【詳解】依題意，，，AD正確；，，B錯誤；，，C正確.故選：ACD11．BCD【分析】由外觀數(shù)列的定義可判斷A和②；舉例子可判斷③；由反證法，結(jié)合外觀數(shù)列的定義可判斷④.【詳解】對于A，當(dāng)時，由外觀數(shù)列的定義可得：，，，故A錯；對于B，由外觀數(shù)列的定義可知，每次都是從左向右描述，所以第一項的始終在最右邊，即最后一個數(shù)字，故B正確；對于C，取，則，此時既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故C正確；對于D，當(dāng)時，由外觀數(shù)列的定義可得：，，，.設(shè)第一次出現(xiàn)數(shù)字4，則中必出現(xiàn)了4個連續(xù)的相同數(shù)字.而的描述必須包含“個，個”，顯然的描述不符合外觀數(shù)列的定義.所以當(dāng)時，均不包含數(shù)字4，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義、根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式寫出數(shù)列中的項及利用遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì).解題關(guān)鍵在于理解數(shù)列的新定義，明確數(shù)列的遞推關(guān)系式.12．6【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)計算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故答案為：613．【分析】由作差求出的通項，再由是等比數(shù)列，求出.【詳解】因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，則，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，解得.故答案為：14．390【分析】由題可得，然后根據(jù)條件可得數(shù)列的前70項含有前6項和64個3，進(jìn)而得解.【詳解】數(shù)列滿足，，在任意相鄰兩項與之間插入個3，其中之間插入2個之間插入4個之間插入8個之間插入16個，之間插入32個之間插入64個.又，數(shù)列的前71項含有前6項和65個3，故.故答案為：390.15．(1)405(2)5(3)an＝【分析】考查等比數(shù)列的通項公式，利用通項公式進(jìn)行計算即可.【詳解】（1）易知，，故.（2）由.（3）.所以.16．(1)(2)最小值為,【分析】（1）為等差數(shù)列，公差為2，根據(jù)題目條件得到方程，求出首項，得到通項公式；（2）求出，求出最小值及的值.【詳解】（1）由知為等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項公式為；（2）由(1)得，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡求解即可；（2）采用分組求和的方式計算即可.【詳解】（1）①②①-②整理得數(shù)列是正項數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，；（2）由題意知，，故.18．(1)元(2)能，理由見解析【分析】（1）每月還款金額構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，求和得到總金額，減去本金得到利息.（2）設(shè)王先生每月還款為元，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到方程，解得答案.【詳解】（1）每月還款金額構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，表示數(shù)列的前項和，則，，故，故總利息為：(元).（2）設(shè)王先生每月還款為元，則，即，解得，，故貸款能夠獲批.19．(1)不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列(2)(3)2【分析】（1）理清條件的新定義，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等進(jìn)行分類討論求解；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出，運(yùn)用均值不等式求解出的范圍，從而得出的最值.【詳解】（1）因為，所以，因為，，，故，，顯然，所以不是等差數(shù)列；因為，則，，所以是首項為12，公差為6的等差數(shù)列.（2）因為數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列是以公比為的正項等比數(shù)列，，所以，且對任意的，都存在，使得，即，所以，因為，所以，①若，則，解得（舍），或，即當(dāng)時，對任意的，都存在，使得.②若，則，對任意的，不存在，使得.綜上所述，.（3）因為為常數(shù)列，則是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，若，