數(shù)學(xué)物理方程

數(shù)學(xué)物理方程ppt出版：電子科技大學(xué)出版社(成都市建設(shè)北路二段四號(hào)，郵編：610054)責(zé)任編輯：徐守銘發(fā)行：電子科技大學(xué)出版社印刷：成都蜀通印務(wù)有限責(zé)任公司開本：787mm×1092mm1/16印張16.625字?jǐn)?shù)425千字版次：2006年4月第一版印次：2007年8月第二次印刷書號(hào)：ISBN978

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9印數(shù)：2001—5000冊(cè)定價(jià)：28.00元數(shù)學(xué)物理方程李明奇田太心主編

■版權(quán)所有侵權(quán)必究■◆郵購本書請(qǐng)與本社發(fā)行科聯(lián)系。電話：

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第九章保角變換法第十章非線性數(shù)學(xué)物理方程簡介目錄第一章緒論第一章緒論1.1常微分方程基礎(chǔ)1.2積分方程基礎(chǔ)1.3場(chǎng)論基本概念1.4常用算符與函數(shù)

1.5常用物理規(guī)律第一章緒論1.1常微分方程基礎(chǔ)一、一階微分方程一階常微分方程典則形式與對(duì)稱形式分別為:1.1常微分方程基礎(chǔ)一、一階微分方程一階常微分方程典則形1．可分離變量的一階微分方程1．可分離變量的一階微分方程2．齊次方程2．齊次方程3．一階線性微分方程3．一階線性微分方程4．Bernoulli方程4．Bernoulli方程二、高階微分方程1．可降階的二階微分方程二、高階微分方程1．可降階的二階微分方程2．n階常系數(shù)齊次線性微分方程2．n階常系數(shù)齊次線性微分方程定理1

的特解可以通過方程的特解之和求得。定理1的特解可以通過方程（1）特征方程有n個(gè)不同的實(shí)根，則，為任意常數(shù)；

（2）特征方程有r個(gè)不同的實(shí)根，其重?cái)?shù)分別為，，則其中，為任意常數(shù)。

（3）若，特征方程有r個(gè)不同的復(fù)根（），其重?cái)?shù)分別為，所有復(fù)根重?cái)?shù)之和為，則

定理2

n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為：定理2n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為：3．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解設(shè)為對(duì)應(yīng)的齊次方程的i()重根，其中，與分別是次多項(xiàng)式，為常數(shù)。則存在次多項(xiàng)式使非齊次方程有如下形式的特解：定理3:3．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解設(shè)為與分別是次多項(xiàng)式，

與為常數(shù)，

則

的特解為：定理4:與分別是二階非齊次線性微分方程定理5:的特解為通解為二階非齊次線性微分方程定理5:的特解為通解為三、Euler方程在微分方程中，我們還經(jīng)常遇到一類特殊的非常系數(shù)非齊次線性微分方程——Euler方程的求解：三、Euler方程在微分方程中，我們還經(jīng)常遇到一類特殊的非常四、Bessel方程定義2

二階線性微分方程

稱為Bessel方程，為非負(fù)常數(shù)。四、Bessel方程定義2二階線性微分方程稱為Bess定義4

二階線性微分方程

稱為半奇數(shù)階Bessel方程。(m為整數(shù))定義4二階線性微分方程稱為半奇數(shù)階Bessel方程。(定義5

二階線性微分方程

稱為虛宗量Bessel方程。定義5二階線性微分方程稱為虛宗量Bessel方程。五、Legendre方程與Sturm

Liouville方程定義6

二階線性微分方程

稱為n階Legendre方程。五、Legendre方程與SturmLiouville方程定義7

二階線性微分方程稱為Sturm

Liouville方程。定義7二階線性微分方程稱為SturmLiouville六、微分方程解的理論基礎(chǔ)定義8

對(duì)于一階微分方程，稱以下問題為Cauchy問題： 六、微分方程解的理論基礎(chǔ)定義8

對(duì)于一階微分定義9

對(duì)于二階微分方程，稱以下問題為邊值問題：定義9

對(duì)于二階微分方程，稱以下問題為邊值設(shè)為方程的平凡解，若，當(dāng)

時(shí)，對(duì)，有，則稱解穩(wěn)定。定義10:設(shè)為方程的平凡解定義11:設(shè)為方程的平凡解，若，當(dāng)時(shí)，，有，則

稱解不穩(wěn)定。定義11:設(shè)為方程1.2積分方程基礎(chǔ)定義1

積分號(hào)下含有未知函數(shù)的方程稱為積分方程。若方程關(guān)于未知函數(shù)是線性的，則稱之為線性積分方程；否則該積分方程稱為非線性積分方程。

定義2

若未知函數(shù)只出現(xiàn)在積分號(hào)下，稱為第一類線性積分方程；若未知函數(shù)不僅出現(xiàn)在積分號(hào)下，還出現(xiàn)在其他部分，則稱為第二類線性積分方程。1.2積分方程基礎(chǔ)定義1

積分號(hào)下含有未知函數(shù)的方程定義3

若含參數(shù)齊次方程，在有非零解，則稱為特征值，相應(yīng)的解為特征函數(shù)。特征函數(shù)構(gòu)成的空間稱為線性空間，其維數(shù)稱為的重?cái)?shù)。定義3

若含參數(shù)齊次方程定理1

若在，在內(nèi)都連續(xù)，且，，

。級(jí)數(shù)在一致絕對(duì)收斂，并且為方程

的唯一解。定理1

若在，定義4

若，與都線性無關(guān)，則稱為退化核。為退化核，則方程

變?yōu)榇朐匠痰枚x4

若，1.3場(chǎng)論基本概念一、散度與通量設(shè)S是一分片光滑的有向曲面，其單位側(cè)向量為，則向量場(chǎng)沿曲面S的第二類曲面積分稱為向量場(chǎng)通過曲面S向著指定側(cè)的通量。1.3場(chǎng)論基本概念一、散度與通量設(shè)S是一分片光滑的有向曲如果S是一分片光滑的閉曲面，為外法向，V為S所包圍的空間區(qū)域，由Gauss公式有其中，稱為向量場(chǎng)的散度，記為，即如果S是一分片光滑的閉曲面，為外法向，V為S所包圍的空間區(qū)域二、環(huán)流量與旋度對(duì)于給定向量場(chǎng)設(shè)L為場(chǎng)內(nèi)一有向閉曲線，L上與指定方向一致的單位切向量為，則稱積分為向量場(chǎng)沿有向閉曲線L的環(huán)流量。二、環(huán)流量與旋度對(duì)于給定向量場(chǎng)設(shè)L為場(chǎng)內(nèi)一有向閉曲線，L上與設(shè)S是以L為邊界的有向曲面，曲線L的方向與曲面S的側(cè)符合右手規(guī)則，由Strokes公式，有其中，向量為有向曲面S的單位法向量的方向余弦，向量場(chǎng)的旋度記為，且旋度是一個(gè)向量，它是由向量場(chǎng)產(chǎn)生的向量場(chǎng)，稱為旋度場(chǎng)。設(shè)S是以L為邊界的有向曲面，曲線L的方向與曲面S的側(cè)符合右手1.4常用算符與函數(shù)一、常用算符求導(dǎo)算子D：梯度算子與Laplace算子是兩個(gè)最基本的算符：1.4常用算符與函數(shù)一、常用算符求導(dǎo)算子D：梯度算子設(shè)為向量場(chǎng)，為數(shù)值函數(shù)，則有以下公式：設(shè)為向量場(chǎng)，定理1

設(shè)平面區(qū)域D由分段光滑的閉曲線L圍成，函數(shù)、在L上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有Green公式：式中，L的方向?yàn)閰^(qū)域D邊界曲線的正向。定理1

設(shè)平面區(qū)域D由分段光滑的閉曲線L圍成，函數(shù)定理2

設(shè)曲線L為分段光滑的空間有向閉曲線，S為以L為邊界的任意分片光滑的有向曲面。函數(shù)、、在包含S的某一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有Strokes公式定理2

設(shè)曲線L為分段光滑的空間有向閉曲線，S為以L為邊定理3

設(shè)分片光滑的有向閉曲面圍成空間區(qū)域V。函數(shù)、、在V上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有Gauss公式：式中，S為空間區(qū)域V的外側(cè)。定理3

設(shè)分片光滑的有向閉曲面圍成空間區(qū)域V。函數(shù)二、函數(shù)、

函數(shù)與誤差函數(shù)1．函數(shù)是指二、函數(shù)、函數(shù)與誤差函數(shù)1．函數(shù)是指2．

函數(shù)是指

函數(shù)的主要性質(zhì)有：2．函數(shù)是指函數(shù)的主要性質(zhì)有：3．誤差函數(shù)是指余誤差函數(shù)是指主要性質(zhì)有：3．誤差函數(shù)是指余誤差函數(shù)是指主要性質(zhì)有：三、常用結(jié)論命題1

，其球坐標(biāo)表示為。n為以原點(diǎn)為球心，半徑為r的球面的外側(cè)，則三、常用結(jié)論命題1

命題2命題21.5常用物理規(guī)律1．Newton第二定律。平動(dòng)規(guī)律：；轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律：。

2．Hooke定律。（1）在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力和彈簧的伸長成正比：。其中，k為彈簧的彈性系數(shù)。負(fù)號(hào)表示彈力的方向和形變量的方向相反。

（2）彈性體的應(yīng)力p與彈性體的相對(duì)伸長成正比：。其中，Y為楊氏模量，表示相對(duì)伸長。1.5常用物理規(guī)律1．Newton第二定律。平動(dòng)規(guī)律：3．Fourier實(shí)驗(yàn)定律（即熱傳導(dǎo)定律）。當(dāng)物體內(nèi)存在溫差時(shí)，會(huì)產(chǎn)生熱量的流動(dòng)。在dt時(shí)間內(nèi)，沿?zé)崃鞣较蛄鬟^面積微元dS的熱量為，其中k稱熱傳導(dǎo)系數(shù)，它與物體的材料有關(guān)；式中的負(fù)號(hào)表示熱量由高處流向低處；為溫度沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)。熱流密度q為3．Fourier實(shí)驗(yàn)定律（即熱傳導(dǎo)定律）。當(dāng)物體內(nèi)存在溫差4．Newton冷卻定律。設(shè)為周圍介質(zhì)的溫度，為物體的溫度。物體冷卻時(shí)單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積放出的熱量與物體和外界的溫度差（）成正比，即熱流密度q為。5．熱量守恒定律。物體內(nèi)部溫度升高所吸收的熱量，等于流入物體內(nèi)部的凈熱量與物體內(nèi)部的源所產(chǎn)生的熱量之和。4．Newton冷卻定律。設(shè)為周圍介質(zhì)的溫度，6．?dāng)U散實(shí)驗(yàn)定律。當(dāng)物體內(nèi)濃度分布不均勻時(shí)會(huì)引起物質(zhì)的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。沿粒子流方向流過面積微元dS的粒子質(zhì)量為，其中k稱為擴(kuò)散系數(shù)，它與材料有關(guān)；負(fù)號(hào)表示粒子流由濃度高處流向低處，為溫度沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)。粒子流密度q為。7．電荷守恒定律。電荷既不能創(chuàng)造，也不能消滅，它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。6．?dāng)U散實(shí)驗(yàn)定律。當(dāng)物體內(nèi)濃度分布不均勻時(shí)會(huì)引起物質(zhì)的擴(kuò)散運(yùn)8．Coulomb定律。放置于坐標(biāo)原點(diǎn)的電量為e的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生電場(chǎng)（介電常數(shù)為）的電位勢(shì)為。9．Gauss定律。通過一個(gè)任意閉合曲面的電通量，等于這個(gè)閉曲面所包圍的自由電荷的電量的倍。即。其中，為介電常數(shù)，為體電荷密度。8．Coulomb定律。放置于坐標(biāo)原點(diǎn)的電量為e的點(diǎn)電荷所產(chǎn)10．Joule

Lenz定律。電流通過純電阻的一導(dǎo)體時(shí)所放出的熱量跟電流強(qiáng)度的平方、導(dǎo)線的電阻和通電的時(shí)間成正比。即。11．Kirchhoff定律。（1）第一定律。會(huì)合在節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和為零，即。（2）第二定律。沿任一閉合回路的電勢(shì)增量的代數(shù)和為零，即。10．JouleLenz定律。電流通過純電阻的一導(dǎo)體時(shí)所放12．Faraday電磁感應(yīng)定律。不論任何原因使通過回路面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁通量對(duì)時(shí)間的變化率的負(fù)值成正比，即

式中，N為感應(yīng)回路串聯(lián)線圈的匝數(shù)。此即Faraday電磁感應(yīng)定律。由該定律知，當(dāng)閉合回路（或線圈）中的電流發(fā)生變化而引起自身回路的磁通量改變而產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)為式中，L為自感系數(shù)。

12．Faraday電磁感應(yīng)定律。不論任何原因使通過回路面積2.1波動(dòng)方程及定解條件2.2熱傳導(dǎo)方程及定解條件2.3穩(wěn)態(tài)方程的定解問題2.4方程的化簡與分類2.5二階線性偏微分方程理論2.6

函數(shù)笫二章定解問題與偏微分方程理論2.1波動(dòng)方程及定解條件笫二章定解問題與偏微分方程理2.1波動(dòng)方程及定解條件一、波動(dòng)方程的建立細(xì)弦線橫振動(dòng)問題。設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦線，一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，另一端沿x軸拉緊固定在x軸上的L處，受到擾動(dòng)，開始沿x軸（平衡位置）上下作微小橫振動(dòng)（細(xì)弦線上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向垂直于x軸）。試建立細(xì)弦線上任意點(diǎn)位移函數(shù)所滿足的規(guī)律。2.1波動(dòng)方程及定解條件一、波動(dòng)方程的建立細(xì)弦線橫振動(dòng)問二、定解條件1．初始條件波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)。因此，一般要給出兩個(gè)初始條件。對(duì)于做機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物體，其初始條件可以從系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移和初速度考慮，即二、定解條件1．初始條件波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)。因此2．邊界條件描述物理問題在邊界上受約束的狀態(tài)，

歸結(jié)為三類邊界條件。（1）第一類邊界條件：給出未知函數(shù)u在邊界上的分布值。例如，長為L的細(xì)弦線橫振動(dòng)，細(xì)弦線的兩端固定在原點(diǎn)和x軸的L處，其邊界條件為，稱固定端。（2）第二類邊界條件：給出未知函數(shù)u在邊界上的法向?qū)?shù)值。

（3）第三類邊界條件：第一類和第二類邊界條件的線性組合。2．邊界條件描述物理問題在邊界上受約束的狀態(tài)，

歸結(jié)為三類邊2.2熱傳導(dǎo)方程及定解條件一、熱傳導(dǎo)方程細(xì)桿的橫截面積為常數(shù)A，又設(shè)它的側(cè)面絕熱，即熱量只能沿長度方向傳導(dǎo)，由于細(xì)桿很細(xì)，以致在任何時(shí)刻都可以把橫截面積上的溫度視為相同，密度為

。試求細(xì)桿的溫度分布規(guī)律。2.2熱傳導(dǎo)方程及定解條件一、熱傳導(dǎo)方程細(xì)桿的橫截面積二、擴(kuò)散方程的建立*設(shè)半導(dǎo)體材料每點(diǎn)的橫截面積相等，其值為A；在這塊材料中，有一種雜質(zhì)正在擴(kuò)散，我們用u表示雜質(zhì)濃度，即單位體積內(nèi)所含雜質(zhì)的質(zhì)量；由于各個(gè)橫截面上雜質(zhì)的濃度不一樣，而且它又是隨時(shí)間改變的（設(shè)同一時(shí)間同一橫截面上各點(diǎn)處的濃度是相同的），所以濃度u既是位置x的函數(shù)，又是時(shí)間t的函數(shù)，即。求滿足的規(guī)律。二、擴(kuò)散方程的建立*設(shè)半導(dǎo)體材料每點(diǎn)的橫截面積相等，其值為A三、定解條件1．初始條件熱傳導(dǎo)方程含有對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，故只要一個(gè)初始條件——初始時(shí)刻的溫度分布。2．邊界條件（1）第一類邊界條件，給定溫度在邊界上的值。若細(xì)桿在x=0端保持為零度，端保持為度，則有：

，。

（2）第二類邊界條件，給定溫度在邊界上的法向?qū)?shù)值。

（3）第三類邊界條件，給定邊界上溫度與溫度的法向?qū)?shù)的線性關(guān)系。三、定解條件1．初始條件熱傳導(dǎo)方程含有對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，故2.3穩(wěn)態(tài)方程的定解問題一、靜電場(chǎng)的電位方程設(shè)空間有一分布電荷，其體密度為，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度，表示電位，在國際單位制下，靜電場(chǎng)滿足：（1）靜電場(chǎng)的發(fā)散性：；（2）靜電場(chǎng)的無旋性：；（3）靜電場(chǎng)存在場(chǎng)勢(shì)函數(shù)：2.3穩(wěn)態(tài)方程的定解問題一、靜電場(chǎng)的電位方程設(shè)空間有一分二、自由電磁波方程設(shè)空間中沒有電荷，且和分別表示電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。由電磁場(chǎng)理論，描述介質(zhì)中電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的Maxwell方程組的微分形式為二、自由電磁波方程設(shè)空間中沒有電荷，且和分別表示電場(chǎng)強(qiáng)度和磁三、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)定解條件的提法1．邊界條件邊界條件共分三類，第一類、第二類、第三類邊界條件也是分別給出邊界上未知函數(shù)值、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值或兩者的線性關(guān)系。穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程加上第一類、第二類、第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題分別稱為第一類、第二類、第三類邊值問題，也依次稱為Dirichlet問題、Neumann問題和Robin問題。三、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)定解條件的提法1．邊界條件邊界條件共分三類，第一類2．銜接條件性質(zhì)1在兩種介質(zhì)的分界面上，靜電場(chǎng)電勢(shì)的邊值關(guān)系為

式中，與分別為界面兩側(cè)介質(zhì)的電勢(shì)和介電常數(shù)；n是界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法向單位向量；是界面上的自由電荷面密度。2．銜接條件性質(zhì)1性質(zhì)2

若為導(dǎo)體的電勢(shì)，為絕緣介質(zhì)的電勢(shì)，

為封閉面S所包圍的電量的代數(shù)和，則在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上電勢(shì)u的邊值關(guān)系為性質(zhì)2

若為導(dǎo)體的電勢(shì)，為絕緣介質(zhì)的電勢(shì)，

3．有限性條件

例如，在靜電場(chǎng)中常利用在坐標(biāo)原點(diǎn)電勢(shì)有限的條件

（當(dāng)原點(diǎn)無點(diǎn)電荷時(shí)）。4．周期性條件由于物理量在同一點(diǎn)、在同一時(shí)刻有確定值，在采用球坐標(biāo)系（或柱坐標(biāo)系）時(shí)，就必然導(dǎo)致周期性條件，因?yàn)?/p>

與均表示空間同一點(diǎn)，由電勢(shì)的唯一性可得

3．有限性條件

例如，在靜電場(chǎng)中常利用在坐標(biāo)原點(diǎn)電勢(shì)有限的2.4方程的化簡與分類一、方程的化簡、特征方程二、方程的分類若在區(qū)域D中某點(diǎn)，有（或），我們就稱方程式在點(diǎn)為雙曲型（或拋物型，或橢圓型）。若方程在某個(gè)區(qū)域中的每一點(diǎn)均為雙曲型（或拋物型，或橢圓型），我們就稱方程在區(qū)域D上是雙曲型（或拋物型，或橢圓型）。2.4方程的化簡與分類一、方程的化簡、特征方程二、方程的2.5二階線性偏微分方程理論一、疊加原理定義1

泛定方程是線性的，而且定解條件也是線性的，這種定解問題稱為線性定解問題。2.5二階線性偏微分方程理論一、疊加原理定義1

泛定定義2

對(duì)于一個(gè)算子T，若滿足則稱算子T為線性算子。定義2

對(duì)于一個(gè)算子T，若滿足疊加原理1

設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件）

（）那么這些解的線性組合必滿足方程

（或定解條件）：。疊加原理2

設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件）

（）且級(jí)數(shù)收斂，并滿足算子中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與求和記號(hào)交換次序所需要的條件，那么滿足線性方程（或定解條件）疊加原理1設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件）疊加原理3

設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件）

其中，M表示自變量組；M0為參數(shù)組。且積分

收斂，并滿足中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與積分運(yùn)算交換次序所需要的條件，那么滿足方程（或定解條件）

特別地，當(dāng)滿足齊次方程（或齊次定解條件）時(shí)，也滿足此齊次方程（或齊次定解條件）。疊加原理3設(shè)滿足線性方程（或線性定解條件）

二、齊次化原理齊次化原理1設(shè)滿足齊次方程的Cauchy問題（這里，M是自變量組為參數(shù)）

二、齊次化原理齊次化原理1設(shè)齊次化原理2設(shè)滿足Cauchy問題則Cauchy問題齊次化原理2設(shè)滿足Cau三、解的適定性一個(gè)定解問題提得是否符合實(shí)際情況，當(dāng)然必須靠實(shí)踐來證實(shí)。然而從數(shù)學(xué)角度來看，可以從三方面加以檢驗(yàn)：（1）解的存在性：研究所歸結(jié)出來的定解問題是否有解。（2）解的唯一性：研究定解問題是否只有一個(gè)解。（3）解的穩(wěn)定性：即看當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解也相應(yīng)地只有微小的變動(dòng)，則稱解具有穩(wěn)定性。在具體問題中解的穩(wěn)定性是必需的，否則所得的解就無實(shí)用價(jià)值。三、解的適定性一個(gè)定解問題提得是否符合實(shí)際情況，當(dāng)然必須靠實(shí)2.6

函數(shù)（1）對(duì)稱性。，即是偶函數(shù)。形式地作變量代換，對(duì)于任何連續(xù)函數(shù)，有

這就說明了等式的合理性。更一般地，有對(duì)稱性

，即對(duì)任何連續(xù)函數(shù)，有把上式中的與變換位置，得。

（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，則由定義的算符稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這個(gè)定義的合理性可由下面形式的分部積分看出：2.6函數(shù)（1）對(duì)稱性。3.1齊次弦振動(dòng)方程的分離變量法3.2熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法3.3二維定解問題分離變量法3.4高維混合問題的分離變量法3.5非齊次方程定解問題的解3.6非齊次邊界條件定解問題的解3.7Sturm

Liouville固有值問題第三章分離變量法3.1齊次弦振動(dòng)方程的分離變量法第三章分離變量法3.1齊次弦振動(dòng)方程的分離變量法一、求解弦振動(dòng)方程的混合問題其中為已知函數(shù)。3.1齊次弦振動(dòng)方程的分離變量法一、求解弦振動(dòng)方程的混合1．當(dāng)時(shí)，方程的通解為2．當(dāng)時(shí)，方程的通解為

。其中A,B為兩個(gè)任意常數(shù)。代入邊界條件，得3．當(dāng)時(shí)，方程的通解為1．當(dāng)時(shí)，方程的通解為二、級(jí)數(shù)解的物理意義是由一系列頻率不同、相位不同、振幅不同的駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波振幅的大小和相位的差異，由初始條件決定，而圓頻率

與初始條件無關(guān)，所以也稱為弦的固有頻率。二、級(jí)數(shù)解的物理意義是由一三、解的適定性1．解的存在性可以驗(yàn)證上述Fourier解，既滿足方程，又滿足邊界條件和初始條件。為了保證解的存在性，我們需要以下兩個(gè)充分條件：三、解的適定性1．解的存在性可以驗(yàn)證上述Fourier解，既2．能量積分和解的唯一性弦振動(dòng)的動(dòng)能為，而位能為，弦振動(dòng)的總能量

稱為一維波動(dòng)方程的能量積分。在沒有外力作用的情況下，總能量

應(yīng)該是守恒的。

2．能量積分和解的唯一性弦振動(dòng)的動(dòng)能為3.2熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法在討論熱傳導(dǎo)方程混合問題的求解時(shí)，如果所取的邊界條件是第一類的，當(dāng)使用分離變量法時(shí)，它與上節(jié)所運(yùn)用過的求解方法相類似，這里就不再重復(fù)了。如果所取的邊界條件其一端點(diǎn)上是第一類的，另一端點(diǎn)上是第二類的，那么當(dāng)使用分離變量法時(shí)，其基本思路和步驟與上節(jié)所運(yùn)用過的求解方法也是一致的，只是特征值問題有所不同。3.2熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量法在討論熱傳導(dǎo)方程混合問定理1（極值原理）

區(qū)域R為，Г為區(qū)域R的邊界。假設(shè)函數(shù)在閉域：上連續(xù)，在上滿足熱傳導(dǎo)方程，則該函數(shù)在區(qū)域上的最大值、最小值必在其邊界曲線Г上取得，即定理2

熱傳導(dǎo)混合問題的解具有唯一性和穩(wěn)定性。定理1（極值原理）

區(qū)域R為3.3二維定解問題分離變量法求解下列定解問題：其中，A為常數(shù)。3.3二維定解問題分離變量法求解下列定解問題：3.4高維混合問題的分離變量法例1求邊長分別為的長方體中的溫度分布，設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為例2求解三維靜電場(chǎng)的邊值問題：3.4高維混合問題的分離變量法例1求邊長分別為3.5非齊次方程定解問題的解I：這里，及分別是關(guān)于及的二階常系數(shù)線性偏微分算子，都是非負(fù)常數(shù)，

。當(dāng)是一階算子時(shí)，問題I中的初始條件只有：。求解這類定解問題的一般方法有兩種：固有函數(shù)法和齊次化原理法。3.5非齊次方程定解問題的解I：這里，及分別3.6非齊次邊界條件定解問題的解現(xiàn)將解定解問題的主要步驟小結(jié)如下：1．根據(jù)邊界的形狀選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，選取的原則是使在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡單。圓、圓環(huán)、扇形等域用極坐標(biāo)系較方便，圓柱形域與球域分別用柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系較方便。2．若邊界條件是非齊次的，又沒有其他條件可以用來定固有函數(shù)，則不論方程是否為齊次，必須先作函數(shù)的代換使之化為具有齊次邊界條件的問題，然后再求解。3．非齊次方程、齊次邊界條件的定解問題（不論初始條件如何）可以分為兩個(gè)定解問題，其一是具有原來初始條件的齊次方程的定解問題，其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題。第一個(gè)問題用分離變量法求解，第二個(gè)問題按固有函數(shù)法求解或用齊次化原理求解。3.6非齊次邊界條件定解問題的解現(xiàn)將解定解問題的主要步驟3.7Sturm

Liouville固有值問題一、Sturm

Liouville方程定理1

對(duì)于第三類邊值問題在條件k(x)及其一階導(dǎo)數(shù)和在上連續(xù)，k(x)，，在區(qū)間內(nèi)為正，在內(nèi)連續(xù)，且在端點(diǎn)a和b上至多有一級(jí)極點(diǎn)，而k(x)與

至多有一級(jí)零點(diǎn)，3.7SturmLiouville固有值問題一、Stu（1）固有值具有可數(shù)性。存在無窮多個(gè)實(shí)的固有值遞增序列；

與其對(duì)應(yīng)的固有函數(shù)。（2）固有值的非負(fù)性。。（3）固有函數(shù)系的正交性。設(shè)是任意兩個(gè)不同固有值，則對(duì)應(yīng)的固有函數(shù)與

在區(qū)間以權(quán)函數(shù)正交，即有（1）固有值具有可數(shù)性。存在無窮多個(gè)實(shí)的固有值遞增序列4．展開定理。定義在區(qū)間上并滿足固有值問題的邊界條件的任意個(gè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x)和二階逐段連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)可按固有函數(shù)系展成絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)其中稱為展開式的系數(shù)或廣義Fourier系數(shù)。4．展開定理。定義在區(qū)間上并滿足固有值問4.1一維波動(dòng)方程的d

Alembert公式4.2半無界弦振動(dòng)問題4.3高維波動(dòng)方程Cauchy問題4.4非齊次波動(dòng)方程解法第四章行波法4.1一維波動(dòng)方程的dAlembert公式第四章行4.1一維波動(dòng)方程的d

Alembert公式定義1

由過點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在x軸所截得的區(qū)間稱為點(diǎn)的依賴區(qū)間。定義2

區(qū)間的決定區(qū)域是指過點(diǎn)作斜率為

的直線，過點(diǎn)作斜率為的直線

，它們和區(qū)間一起構(gòu)成的三角形區(qū)域。4.1一維波動(dòng)方程的dAlembert公式定義1由數(shù)學(xué)物理方程ppt4.2半無界弦振動(dòng)問題一、端點(diǎn)固定端點(diǎn)固定的半無界弦振動(dòng)定解問題是為了把半無界問題作為保持的無界問題來處理，必須把、和延拓到整個(gè)無界區(qū)域。4.2半無界弦振動(dòng)問題一、端點(diǎn)固定端點(diǎn)固定的半無界弦振動(dòng)二、端點(diǎn)自由定解問題是同理，將d

Alembert解代入，得又由于初始位移和初始速度獨(dú)立，得可見，及均應(yīng)為正?；呐己瘮?shù)。二、端點(diǎn)自由定解問題是同理，將dAlembert解代入，得4.3高維波動(dòng)方程Cauchy問題一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解將波函數(shù)u用空間球坐標(biāo)（）表示。球?qū)ΨQ就是指u與都無關(guān)。在球坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程變?yōu)?.3高維波動(dòng)方程Cauchy問題一、三維波動(dòng)方程二、三維波動(dòng)方程Cauchy問題平均值法平均值法可以將三維無界空間的自由振動(dòng)轉(zhuǎn)化成球?qū)ΨQ情形，把一維的d

Alembert公式推廣到三維。設(shè)

在以為中心、r為半徑的球面上的平均值為。則二、三維波動(dòng)方程Cauchy問題平均值法平均值法可以將三維無三、二維波動(dòng)方程Cauchy問題的降維法二維波動(dòng)方程Cauchy問題是三、二維波動(dòng)方程Cauchy問題的降維法二維波動(dòng)方程Cauc四、波動(dòng)方程Cauchy問題一維、二維、三維的比較考查二維和三維波動(dòng)方程Cauchy問題四、波動(dòng)方程Cauchy問題一維、二維、三維的比較考查二維和1．是一個(gè)任意函數(shù)。令

則是函數(shù)在區(qū)間上的算術(shù)平均值，積分的大小依賴于區(qū)間的中點(diǎn)x和區(qū)間的半徑長。2．函數(shù)，總滿足方程。3．如果要求還滿足初始條件，則只需將被積函數(shù)

換成。如果還要求滿足初始條件，只需將換成。兩者都換了以后，就成為波動(dòng)方程一維初值問題的解。1．是一個(gè)任意函數(shù)。令

五、Poisson公式的物理意義五、Poisson公式的物理意義4.4非齊次波動(dòng)方程解法為了求解無界空間中非齊次波動(dòng)方程定解問題將定解問題化為4.4非齊次波動(dòng)方程解法為了求解無界空間中非齊次波動(dòng)方程5.1Fourier變換5.2Fourier變換的應(yīng)用5.3Laplace變換5.4Laplace變換的應(yīng)用5.5其他的積分變換第五章積分變換5.1Fourier變換第五章積分變換5.1Fourier變換一、Fourier變換的定義定理1

若,且在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)與極值點(diǎn)，則其中

5.1Fourier變換一、Fourier變換的定義定理定義1

稱為f(x)的Fourier變換，f(x)稱為

的Fourier逆變換。Fourier變換有多種形式。這些形式的差異主要體現(xiàn)在積分號(hào)前的系數(shù)以及被積函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的指數(shù)符號(hào)。本書采用工程應(yīng)用中典型的定義形式，這樣的Fourier變換許多性質(zhì)也可以從物理上得到解釋。定義1稱為f(x)的Fourier變二、正（余）弦變換的定義定義2Fourier余弦變換是指定義3Fourier逆余弦變換是指二、正（余）弦變換的定義定義2Fourier余弦變換是指定義4Fourier正弦變換是指定義5Fourier逆正弦變換是指定義4Fourier正弦變換是指三、Fourier變換的基本性質(zhì)性質(zhì)1

Fourier變換是一個(gè)線性變換：對(duì)于任意常數(shù)、與任意函數(shù)、有定義6

設(shè)都滿足Fourier變換的條件，則稱

為的卷積。記為三、Fourier變換的基本性質(zhì)性質(zhì)1

Fourier變性質(zhì)2

的卷積的Fourier變換等于的Fourier變換的乘積：性質(zhì)2

的卷積的Four性質(zhì)3

乘積的Fourier變換等于它們各自的Fourier變換的卷積再乘以系數(shù)，即性質(zhì)4性質(zhì)3

乘積的Fouri性質(zhì)5性質(zhì)6

設(shè)為任意常數(shù)，則性質(zhì)7

設(shè)為任意常數(shù)，則性質(zhì)8性質(zhì)5性質(zhì)6

設(shè)為任意常數(shù)，則性質(zhì)7

設(shè)性質(zhì)9性質(zhì)10性質(zhì)11性質(zhì)12性質(zhì)9性質(zhì)10性質(zhì)11性質(zhì)12四、n維Fourier變換四、n維Fourier變換n維Fourier變換具有的性質(zhì)n維Fourier變換具有的性質(zhì)五、Fourier變換在常微分方程中的應(yīng)用例3求解五、Fourier變換在常微分方程中的應(yīng)用例3求解5.2Fourier變換的應(yīng)用Fourier變換法求解步驟為：（1）對(duì)定解問題作Fourier變換；（2）求解像函數(shù)；（3）對(duì)像函數(shù)作Fourier逆變換。5.2Fourier變換的應(yīng)用Fourier變換法求解步5.3Laplace變換一、Laplace變換的定義定義1

積分變換稱為的Laplace變換，記作稱為Laplace逆變換，記

作5.3Laplace變換一、Laplace變換的定義定義二、Laplace變換的存在定理定理1

若f(x)函數(shù)滿足下述條件：（1）當(dāng)x<0時(shí),f(x)=0；當(dāng)時(shí)，f(x)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)。（2）當(dāng)時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù)M及，使得

，則在半平面上存在且解析。

二、Laplace變換的存在定理定理1若f(x)函數(shù)滿足三、常用函數(shù)的Laplace變換1．若（a為復(fù)數(shù)），則2．若或（），則三、常用函數(shù)的Laplace變換1．若3．若，，

則分別令，則即3．若，四、Laplace變換的性質(zhì)1．線性定理若為任意常數(shù)，則四、Laplace變換的性質(zhì)1．線性定理若2．延遲定理2．延遲定理3．位移定理設(shè)a為復(fù)數(shù)，則有3．位移定理設(shè)a為復(fù)數(shù)，則有4．相似定理4．相似定理5．微分定理設(shè)分段連續(xù)，則5．微分定理設(shè)6．積分定理6．積分定理7．像函數(shù)的微分定理7．像函數(shù)的微分定理8．像函數(shù)的積分定理8．像函數(shù)的積分定理9．卷積定理9．卷積定理10．10．五、展開定理1．Jordan引理設(shè)L為平行于虛軸的固定直線,為一族以原點(diǎn)為中心并在L左邊的圓弧，的半徑隨而趨于無窮。若在上，函數(shù)滿足，則對(duì)任一正數(shù)x，均有五、展開定理1．Jordan引理設(shè)L為平行于虛軸的固定直線,2．展開定理設(shè)解析函數(shù)滿足條件：（1）在開平面內(nèi)只有極點(diǎn)為其奇點(diǎn)

，且這些極點(diǎn)都分布在半平面上；

（2）存在一族以原點(diǎn)為圓心，以（）為半徑的圓周，在這族圓周上，；

（3）對(duì)任意一個(gè)，積分絕對(duì)收斂。則的原像f(x)為2．展開定理設(shè)解析函數(shù)滿足條件：（1）在開平面5.4Laplace變換的應(yīng)用例1用Laplace變換求解5.2節(jié)例4的定解問題5.4Laplace變換的應(yīng)用例1用Laplace變5.5其他的積分變換定義1Hankel變換是指，為Bessel函數(shù)。

定義2Hankel逆變換是指

定義3Mellin變換是指

定義4Mellin逆變換是指5.5其他的積分變換定義1Hankel變換是指6.1Poisson方程與Laplace方程的邊值問題6.2Green公式及調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)6.3Dirichlet與Neumann問題解的適定性6.4Poisson方程Dirichlet問題Green函數(shù)法6.5幾種特殊區(qū)域上Dirichlet問題的Green函數(shù)6.6Laplace方程與熱傳導(dǎo)方程的基本解6.7波動(dòng)方程的基本解6.8Poisson方程邊值問題近似求法簡介第六章Green函數(shù)法6.1Poisson方程與Laplace方程的邊值問題第6.1Poisson方程與Laplace方程的邊值問題Dirichlet問題（第一類邊值問題）：在空間中某一區(qū)域V的邊界S上給定了一個(gè)連續(xù)函數(shù)，要求找出一個(gè)函數(shù)滿足以下定解問題稱這兩個(gè)定解問題分別為Laplace方程Dirichlet問題與Poisson方程Dirichlet問題。6.1Poisson方程與Laplace方程的邊值問題DNeumann問題（第二類邊值問題）：在空間中某光滑的閉曲面S上給出連續(xù)函數(shù)，要求找出一個(gè)函數(shù)，在V內(nèi)滿足這里是S的外法線方向。則稱這兩個(gè)定解問題分別為Laplace方程N(yùn)eumann問題與Poisson方程N(yùn)eumann問題。Neumann問題（第二類邊值問題）：在空間中某光滑的閉曲面Robin問題（第三類邊值問題）：若

在V內(nèi)滿足稱這兩個(gè)定解問題分別為Laplace方程Robin問題與Poisson方程Robin問題。Robin問題（第三類邊值問題）：若

在V內(nèi)滿足稱這兩個(gè)定解6.2Green公式及調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)一、Green公式設(shè)V是以分片光滑的曲面S為邊界的有界區(qū)域，

在上連續(xù),在V內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則成立如下的Gauss公式6.2Green公式及調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)一、Green公式設(shè)數(shù)學(xué)物理方程ppt定理1Poisson方程Robin問題的解為其中，側(cè)向量為曲面外側(cè)。定理1Poisson方程Robin問題的解為其中，側(cè)向量推論1Laplace方程Robin問題的解為其中，側(cè)向量為曲面外側(cè)。推論1Laplace方程Robin問題的解為其中，側(cè)向量二、調(diào)和函數(shù)性質(zhì)定義1

如果函數(shù)在區(qū)域（S是區(qū)域V的邊界）上連續(xù)，具有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足Laplace方程：則稱為區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)。二、調(diào)和函數(shù)性質(zhì)定義1如果函數(shù)性質(zhì)1

設(shè)是區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)，則有其中，是n沿V的邊界面S的外法線方向。性質(zhì)1

設(shè)是區(qū)域V上的調(diào)推論2Laplace方程N(yùn)eumann問題：有解的必要條件為。推論2Laplace方程N(yùn)eumann問題：有解的必要條性質(zhì)2

設(shè)是區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)，則有其中，n是沿V的邊界面S的外法線方向。性質(zhì)2

設(shè)是區(qū)域上的調(diào)和函性質(zhì)3

設(shè)是區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)，則

在球心的值等于它在球面上的算術(shù)平均值，即其中，是以為球心、R為半徑的球面，且完全落在V中。性質(zhì)3

設(shè)是區(qū)域V上的調(diào)和函性質(zhì)4（極值原理）

假設(shè)在有界區(qū)域V內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域上連續(xù)，若不為常數(shù)，則的最大值和最小值只能在邊界面S上達(dá)到。性質(zhì)4（極值原理）

假設(shè)在有界區(qū)域V內(nèi)是調(diào)推論4

設(shè)在有界區(qū)域V內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域

上為連續(xù)，如果還在V的邊界面S上恒為零，則它在V內(nèi)各點(diǎn)處的值都等于零。推論4

設(shè)在有界區(qū)域V內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域

推論5

設(shè)在有界區(qū)域V內(nèi)的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域上為連續(xù)，如果它們還在區(qū)域V的邊界面S上取相等的值，則它們?cè)赩內(nèi)所取的值也彼此相等。推論5

設(shè)在有界區(qū)域V內(nèi)的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域6.3Dirichlet與Neumann問題解的適定性定義1

設(shè)定解問題由邊界條件得到的解為，由邊界條件得到的解為，如果在所討論的區(qū)域中，對(duì)于任給的，總可以找到，使得當(dāng)時(shí)，，稱解對(duì)邊界條件是穩(wěn)定的。6.3Dirichlet與Neumann問題解的適定性定定理1

方程的Dirichle問題的解是唯一的，對(duì)邊界條件是穩(wěn)定的。定理2

方程的Neumann問題的解，若不計(jì)任意常數(shù)的差別，也仍然是唯一的。定理3

方程的Neumann問題的解對(duì)邊界條件不穩(wěn)定。定理1

方程的Dirichle問題的6.4Poisson方程Dirichlet問題Green函數(shù)法一、空間Dirichlet問題Green函數(shù)法Green函數(shù)的性質(zhì)主要有：（1）Green函數(shù)在有一個(gè)奇點(diǎn)，其中

（2）Green函數(shù)是以下Poisson方程Dirichlet問題的解6.4Poisson方程Dirichlet問題Green（3）定解問題的Green函數(shù)僅依賴于區(qū)域，與邊界條件無關(guān)。只要求得了區(qū)域的Green函數(shù)，就可以解決一類Poisson方程Dirichlet問題。（4）對(duì)于一些特殊區(qū)域，如球與半空間、圓與半平面等，Green函數(shù)都可用簡單的物理方法求得。（5）Green函數(shù)有對(duì)稱性：（3）定解問題的Green函數(shù)僅定理1

Poisson方程Dirichlet問題的解為定理1

Poisson方程Dirichlet問題的解為定理2

Laplace方程Dirichlet問題的解為定理2

Laplace方程Dirichlet問題的解為二、平面中Dirichlet問題的Green函數(shù)法定理3

平面Poisson方程Robin問題的解為二、平面中Dirichlet問題的Green函數(shù)法定理3定理4

平面Laplace方程Robin問題的解為式中n為曲線L的外法向量。定理4

平面Laplace方程Robin問題的解為式中n定理5

平面Poisson方程Dirichlet問題的解為定理5

平面Poisson方程Dirichlet問題的解定理6

平面Laplace方程Dirichlet問題的解為定理6

平面Laplace方程Dirichlet問題的解定義2

若滿足以下定解問題，則稱之為平面區(qū)域上Poisson方程Dirichlet問題的Green函數(shù)：其中，封閉曲線L為區(qū)域D的邊界。定義2

若滿足以下定解問題，三、Poisson方程初始邊界問題的Green函數(shù)法定義3

定解問題的解稱為時(shí)邊問題的Green函數(shù)。三、Poisson方程初始邊界問題的Green函數(shù)法定義3定理7

時(shí)邊問題的解為定理7時(shí)邊問題的解為6.5幾種特殊區(qū)域上Dirichlet問題的Green函數(shù)一、球和半空間上的Green函數(shù)定理1Poisson方程Dirichlet問題在球域上的解為6.5幾種特殊區(qū)域上Dirichlet問題的Green函推論1Laplace方程Dirichlet問題在球域上的解為推論1Laplace方程Dirichlet問題在球域上的定理2Poisson方程Dirichlet問題在半空間z>0上的解為定理2Poisson方程Dirichlet問題在半空間z推論2Laplace方程Dirichlet問題在半空間z>0上的解為推論2Laplace方程Dirichlet問題在半空間z二、圓和半平面上的Green函數(shù)定理3

平面Poisson方程Dirichlet問題的解為二、圓和半平面上的Green函數(shù)定理3平面Poisson推論3

平面Laplace方程Dirichlet問題的解為推論3平面Laplace方程Dirichlet問題的解為定理4

上半平面Poisson方程Dirichlet問題的解的表達(dá)式為定理4上半平面Poisson方程Dirichlet問題的推論4

上半平面Laplace方程Dirichlet問題的解的表達(dá)式為推論4上半平面Laplace方程Dirichlet問題的三、第一象限上的Green函數(shù)平面第一象限上的Green函數(shù)相當(dāng)于求解定解問題三、第一象限上的Green函數(shù)平面第一象限上的Green函數(shù)6.6Laplace方程與熱傳導(dǎo)方程的基本解一、Lu=0型方程的基本解定義1

方程的解稱為方程的Green函數(shù)，又稱為基本解。放置于坐標(biāo)原點(diǎn)的電量為的點(diǎn)電荷的場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)滿足Poisson方程：6.6Laplace方程與熱傳導(dǎo)方程的基本解一、Lu=0定義2

方程的解稱為Poisson方程的基本解。定理1

若U是一個(gè)基本解，u是相應(yīng)齊次方程的任一解，則仍是基本解，而且方程的全體基本解都可以表示成這種形式。定理2

若是連續(xù)函數(shù)，滿足方程，則卷積定義2

方程二、Poisson方程的基本解定理3

空間Poisson方程的特解為其中，

二、Poisson方程的基本解定理3

空間Poisson三、熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的基本解定理4

設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且存在

，則定解問題的解為三、熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的基本解定理4

設(shè)定理5（

1）一維熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的基本解為（2）二維熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的基本解為（3）三維熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的基本解為定理5（1）一維熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題的基本解為四、熱傳導(dǎo)方程邊值問題的基本解定義3

定解問題的解稱為的基本解。四、熱傳導(dǎo)方程邊值問題的基本解定義3定解問題的解定理7

熱傳導(dǎo)方程邊值問題的解為定理7熱傳導(dǎo)方程邊值問題的解為6.7波動(dòng)方程的基本解一、波動(dòng)方程Cauchy問題的基本解定義1

定解問題的解稱為Cauchy問題6.7波動(dòng)方程的基本解一、波動(dòng)方程Cauchy問題的基本定理1

設(shè)都是連續(xù)函數(shù)，

都存在，則Cauchy問題的解為定理1

設(shè)二、波動(dòng)方程邊值問題的基本解定義2

定解問題的解稱為邊值問題的基本解。二、波動(dòng)方程邊值問題的基本解定義2定解問題的解定理3

設(shè)都是連續(xù)函數(shù)，則邊值問題的解為定理3

設(shè)都6.8Poisson方程邊值問題近似求法簡介一、Ritz法定義1

稱為

極值問題的Euler

Lagrange方程。6.8Poisson方程邊值問題近似求法簡介一、Ritz二、Ritz法Dirichlet定理定理1（Dirichlet）

Laplace方程第三邊值問題

的解，使泛函取得最小值；反之，使泛函取得最小值的函數(shù)，一定是Laplace方程第三邊值問題的解。二、Ritz法Dirichlet定理定理1（Dirichle7.1Bessel方程及其冪級(jí)數(shù)解7.2Bessel函數(shù)的母函數(shù)及遞推公式7.3Bessel函數(shù)的正交性及其應(yīng)用7.4Bessel函數(shù)的其他類型第七章Bessel函數(shù)7.1Bessel方程及其冪級(jí)數(shù)解第七章Bessel7.1Bessel方程及其冪級(jí)數(shù)解一、Bessel方程的引出例1設(shè)有一個(gè)半徑為的薄圓盤，其側(cè)面絕緣，若圓盤邊界上的溫度恒保持為零度，且初始溫度為已知

。求圓盤內(nèi)的瞬時(shí)溫度分布規(guī)律。例2在圓柱內(nèi)傳播的電磁波問題。設(shè)沿方向均勻的電磁波在底半徑為1的圓柱域內(nèi)傳播，在側(cè)面沿法向方向?qū)?shù)為零，從靜止?fàn)顟B(tài)開始傳播，初始速度為

。求其傳播規(guī)律（假設(shè)對(duì)極角對(duì)稱）。7.1Bessel方程及其冪級(jí)數(shù)解一、Bessel方程的二、Bessel方程的求解定義1Neumann函數(shù)稱為第二類Bessel函數(shù)。這個(gè)無窮級(jí)數(shù)所確定的函數(shù)，稱為階第一類Bessel函數(shù)，記作二、Bessel方程的求解定義1Neumann函數(shù)稱為第7.2Bessel函數(shù)的母函數(shù)及遞推公式一、Bessel函數(shù)的母函數(shù)（生成函數(shù)）定義1

函數(shù)稱為Bessel函數(shù)的母函數(shù)。7.2Bessel函數(shù)的母函數(shù)及遞推公式一、Bessel二、Bessel函數(shù)的積分表達(dá)式二、Bessel函數(shù)的積分表達(dá)式三、Bessel函數(shù)的遞推公式第二類Bessel函數(shù)也具有與第一類Bessel函數(shù)相同的遞推公式：三、Bessel函數(shù)的遞推公式第二類Bessel函數(shù)也具有與四、漸近公式、衰減振蕩性和零點(diǎn)Bessel函數(shù)的漸近公式零點(diǎn)的近似公式的無窮多個(gè)實(shí)零點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布的，必有無窮多個(gè)正零點(diǎn)。四、漸近公式、衰減振蕩性和零點(diǎn)Bessel函數(shù)的漸近公式零1．有無窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無窮多個(gè)零點(diǎn)在軸上關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱分布的。因而，必有無窮多個(gè)正的零點(diǎn)；2．的零點(diǎn)與的零點(diǎn)是彼此相間分布的，即的任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間必存在一個(gè)且僅有一個(gè)的零點(diǎn)；3．以表示的正零點(diǎn)，則當(dāng)

時(shí)無限地接近于，即幾乎是以2為周期的周期函數(shù)。1．有無窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無窮多個(gè)零點(diǎn)在軸上關(guān)7.3Bessel函數(shù)的正交性及其應(yīng)用一、Bessel函數(shù)的正交性定理1

Bessel函數(shù)系具有正交性：7.3Bessel函數(shù)的正交性及其應(yīng)用一、Bessel函定義1

定積分的平方根，稱為Bessel函數(shù)

的模值。定理2

若在區(qū)間[0,R]至多有有限個(gè)跳躍型間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間（0,R）內(nèi)在連續(xù)點(diǎn)處的Bessel展開級(jí)數(shù)收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值，在間斷點(diǎn)收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值。定義1

定積分二、Bessel函數(shù)應(yīng)用舉例例1設(shè)是方程的所有正根，試將函數(shù)展開成Bessel函數(shù)的級(jí)數(shù)。例2半徑為b，高為h的均勻圓柱體，下底和側(cè)面保持為零度，上底溫度分布為。求圓柱內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布。二、Bessel函數(shù)應(yīng)用舉例例1設(shè)7.4Bessel函數(shù)的其他類型一、第三類Bessel函數(shù)第三類Bessel函數(shù)又名Hankel函數(shù)，它是由下列公式來定義的：，，7.4Bessel函數(shù)的其他類型一、第三類Bessel函二、虛宗量的Bessel函數(shù)關(guān)于第二類虛宗量Bessel函數(shù)定義如下：（1）當(dāng)是非整數(shù)時(shí)（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)

二、虛宗量的Bessel函數(shù)關(guān)于第二類虛宗量Bessel函數(shù)三、Kelvin函數(shù)（Thomson函數(shù)）三、Kelvin函數(shù)（Thomson函數(shù)）四、球Bessel函數(shù)不論是對(duì)熱傳導(dǎo)方程或?qū)Σ▌?dòng)方程分離變量，都會(huì)導(dǎo)出所謂的球Bessel方程四、球Bessel函數(shù)不論是對(duì)熱傳導(dǎo)方程或?qū)Σ▌?dòng)方程分離變量8.1Legendre方程及其冪級(jí)數(shù)解8.2Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)及遞推公式8.3Legendre多項(xiàng)式的展開及其應(yīng)用8.4連帶Legendre多項(xiàng)式第八章Legendre多項(xiàng)式8.1Legendre方程及其冪級(jí)數(shù)解第八章Lege8.1Legendre方程及其冪級(jí)數(shù)解一、Legendre方程的引出在球坐標(biāo)系中Laplace方程為8.1Legendre方程及其冪級(jí)數(shù)解一、Legendr二、Legendre方程的求解二、Legendre方程的求解三、Legendre多項(xiàng)式1．Legendre多項(xiàng)式其中三、Legendre多項(xiàng)式1．Legendre多項(xiàng)式其中2．Legendre多項(xiàng)式的微分表達(dá)式——Rodrigues公式定理1

滿足Rodrigues公式2．Legendre多項(xiàng)式的微分表達(dá)式——Rodrigues3．Legendre多項(xiàng)式的積分表達(dá)式定理2

滿足積分表達(dá)式3．Legendre多項(xiàng)式的積分表達(dá)式定理2

8.2Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)及遞推公式一、Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)稱為Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)。8.2Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)及遞推公式一、Leg二、Legendre多項(xiàng)式的遞推公式定理1Legendre多項(xiàng)式滿足以下的遞推公式：二、Legendre多項(xiàng)式的遞推公式定理1Legendr8.3Legendre多項(xiàng)式的展開及其應(yīng)用一、Legendre多項(xiàng)式的正交性定理1Legendre多項(xiàng)式序列

在區(qū)間[-1,1]上正交，即8.3Legendre多項(xiàng)式的展開及其應(yīng)用一、Legen二、Legendre多項(xiàng)式的歸一性定理2Legendre多項(xiàng)式滿足二、Legendre多項(xiàng)式的歸一性定理2Legendre三、展開定理的敘述定理3

若在區(qū)間[

1,1]