線性代數(shù)期中考試試卷答案

線性代數(shù)期中考試試卷&答案

一、單項(xiàng)選擇題供10小題，每小題3分，共30分）

1.在下列構(gòu)成5階行列式展開(kāi)式的各項(xiàng)中，取“一”的為（)

al5a23a32a44a5l(B)425a32。44453(C)G21a53115a42134(D)。51。32113。44425

a\\"12a\nannan,n-l…anl

flan-l,nan-l,n-l…0〃-1,1

2.設(shè)=~22-%=1,則將其左右、上下翻轉(zhuǎn)，得=)

anlan2anna\nal,n-la\\

(A)l(B)-1(C)(-1)〃(D)2

-1x-11

1100

3.設(shè)四階行列式。,則其中x的一次項(xiàng)的系數(shù)為（)

1-1-10

2-1-11

(A)l(B)-1(C)2(D)-2

4.行列式D?=0的一個(gè)必要條件是（)

（A）Dn中各行元素之和等于零（B）Dn中有一行（列）元素全為零

（C）Dn中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例（D）系數(shù)行列式為。"的齊次線性方程組有非零解

5.設(shè)皆為〃階方陣，且A可逆，則下列運(yùn)算一定正確的是（)

(A){AB)k=AkBk(B)|-A|=-|A|(C)B2-A2=(B+A)(B-A)(D)(A')=(A)1

6.設(shè)4,3皆為〃階方陣，則必有（)

(A)|4B=回|(B)|A-B\=|e-A|(C)A+B|=|A|+|B|(D)卜昨A

Ax0

7.設(shè)分塊矩陣4=，其中的子塊AI,A2為方陣，。為零矩陣，若A可逆，貝IJ（)

A342

(A)Ai可逆,A?不一定可逆（B）%2可逆，Ai不一定可逆（C）AIA2都可逆（D）A142都不一定可逆

021

&用初等矩陣03111,相當(dāng)于對(duì)4進(jìn)行如下何種初等變換（)

6）

lo1ol24

C「

(A)rxcr2(B)r2—r3(C)%一。2(D)2c3

f1

I22

9.設(shè)A為5X3矩陣，且R（A）=2,下三角矩陣尸=734，則我（以）等于（)

I7432

I2424J

(A)l(B)2(C)3(D)5

10.非齊次線性方程組A5X5X=b在以下哪種情形下有無(wú)窮多解.（)

(A)R(A)=4,R(A,b)=5(B)R(A)=3,R(A,b)=4(C)7?(A)=4,R(A,b)=4(D)R(A)=5,R(A,b)=5

1

二、填空題（共5小題，每空3分，共15分）

勺100

0%200

1.設(shè)孫為內(nèi)園是四次方程X4+ax3+bx2+c=0的根，則行列式

432%3

570

2.若〃階下三角行列式％=（〃之2）,則所有元素的代數(shù)余子式之和等于.

3.設(shè)4,3皆為〃階方陣，|4|=2,間=3，則卜.

'0100、

，、幾0020EI-1

4.設(shè)A=，貝lj4-1=

0003

、4000,

'岫alb2…a\bn

a2b2…a2bn

5.設(shè)4=引且人也…w0，貝.R（A）=

anb2…anbn,

三、計(jì)算題（共5小題，每小題6分，共30分）

1xyz

X1

1.已知四階爪形行列式=1,求x,y,z

y1

z1

x+1111

1x+111

2.設(shè)五次多項(xiàng)式/（%）=11x+111，求：①X5的系數(shù)；②%4的系數(shù)；③常數(shù)項(xiàng).

11x+l1

111x+l

」234、

2468

3.設(shè)四階矩陣A=,求499

36912

481216

I10°1

4.設(shè)A=i0-1-1IB=,利用矩陣的初等變換求矩陣X,使得4X=B.

1012J

23

(11-6口的秩等于2,求大的值.

5.已知矩陣A=|25k

[12-1d

2

四、證明題（共2小題，每小題6分，共12分）

fax^+bx2+ex2+d%4=0

1.設(shè)a,AC,a是不全為零的實(shí)數(shù)，證明：齊次線性方程組|"a一.2+辦3-54=°僅有零解.

ICX]—d%2-ax3+b%4=0

[dxi+ex2—匕叼—a%4=0

2

2.設(shè)A為〃階矩陣，KA=A,證明：R(A)+R(E-A)=n.

五、解答題（13分）

（%]+%2+九%3=4

當(dāng)視何值時(shí)，線性方程組J-A+寂2+七無(wú)解、有唯一解、無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出它的一般解.

[%]-X2+2%3=-4

3

一、單項(xiàng)選擇題(10X3=30分)

1.(D)；

解：選項(xiàng)(A)和(B)的行標(biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)次序，列標(biāo)排列的逆序數(shù)分別為8和4(偶排列)；選項(xiàng)(C)的行標(biāo)、列標(biāo)排列都不是標(biāo)

準(zhǔn)次序，調(diào)整相乘元素的次序，使行標(biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)次序，則列標(biāo)排列的逆序數(shù)為6(偶排列)；選項(xiàng)(D)的列標(biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)次

序，行標(biāo)排列的逆序數(shù)分別為7(奇排列)，故選項(xiàng)(D)正確。

2.(A)；

解：左右翻轉(zhuǎn)，相當(dāng)于對(duì)列進(jìn)行了為(小1)/2次相鄰對(duì)換；上下翻轉(zhuǎn)，相當(dāng)于對(duì)行進(jìn)行了/〃-1)/2次相鄰對(duì)換。故相鄰對(duì)換

的次數(shù)總共為〃(〃-1),每次對(duì)換，行列式反號(hào)，由于〃(小1)為偶數(shù)，所以行列式的值不變。選項(xiàng)(A)正確。

3.(A)；

100

解：行列式中只有一個(gè)x為(1,2)元，若將。按第一行展開(kāi)，則％的系數(shù)就是代數(shù)余子式42=(T)l+21-10=1

2-11

4.(D)；

解：前三個(gè)選項(xiàng)都是充分條件，即?！?0U(A)或(B)或(C)；只有(D)是充分必要條件，即?！?0=(D)

5.(D)；

解：選項(xiàng)(A)只有在A乃可交換時(shí)才成立；選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤，應(yīng)為卜選項(xiàng)(C)也是只有在A,3可交換時(shí)才成立；

選項(xiàng)(D)是逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，故選項(xiàng)(D)正確。

6.(A)；

解：選項(xiàng)(A)正確，因?yàn)榇瞬穦4卜|5|=卜卜4卜忸|；選項(xiàng)(D)錯(cuò)誤，應(yīng)該是||4卜6卜卜〃.同；選項(xiàng)(B)、(C)不一定成立，

例如,

設(shè)則B=1,而k+3卜0,|A—3卜4

7.(C)；

AO

解：由于閨=］，若A可逆心卜o4|Aj|■|A2o,即A卜o且|A20,故AiA2都可逆

P342

8.(B)；

解：用初等矩陣去左乘一個(gè)矩陣A,相當(dāng)于對(duì)A作相應(yīng)的初等行變換，故選項(xiàng)(C)(D)不正確；由于題設(shè)初等矩陣是由E作

初等行變換「2一「3得到的，因此選項(xiàng)(B)正確。

9.(B)；

解：顯然尸是可逆矩陣，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，有R(弱)=R(A)=2,選項(xiàng)(B)正確。

10.(C)

解：對(duì)于非齊次線性方程組AxH,①有解的充要條件R(A)=R(A,5),[等價(jià)命題為：無(wú)解的充要條件R(A)wR(A,〃)];

②有唯一解的充要條件是R(A)=R(A,b)=A的列數(shù)(即未知量的個(gè)數(shù))；

③有無(wú)窮多解的充要條件是R(A)=A的列數(shù)。

故選項(xiàng)(C)正確。

4

二、填空題（5X3=15分）

1.答案：一c

O02

,由于4,3為方陣，0為零矩陣，于是有叼=

0_-%］%2%384

BB川時(shí);It4

又由于11?%2，%3，%4是％4+ax3+bx2+C=0的根，即（%-％1）（%-%2）（%-叼）（％-％4）=0，由于兩式中f的系數(shù)皆為1,所以其

它項(xiàng)的系數(shù)也必然對(duì)應(yīng)相等，比較常數(shù)項(xiàng)，有/%2%3%4=Cf因此，題設(shè)行列式的值為—%1%2%3%4=~c,

2.答案：1

解：由于改變某行（列）元素的值，不會(huì)改變?cè)撛氐拇鷶?shù)余子式的值，故

1

1I

將功的第一列元素替換為1,根據(jù)行列式展開(kāi)定理，知第一列元素的代數(shù)余子式之和為1I11;將?！暗牡诙?/p>

111...1

11

11

列元素替換為1,得第二列元素的代數(shù)余子式之和為1110（因?yàn)閮闪邢嗤?；依次?lèi)推，其它列元素的代數(shù)余

1…1

子式之和為皆為0。因此，所有元素的代數(shù)余子式之和為1.

1

1-11

-1

【本題也可按如下方式求解：求出矩陣A11的伴隨矩陣4*=|A=A-1,由于

U11TU

A*中的元素就是卜|中各元素的代數(shù)余子式，將A*中的元素相加，亦得結(jié)果等于11

3?答案:6〃/

解：34*5t=3n4*5一］=3〃?卜*.1一［=3〃?卜尸?卜「=3"-2n-1-3-1=6n-1

?

<00011/4、

1

100；0

4.答案：J=1

01/20?3

1

01/3!0J

為A廠

解：將矩陣A分塊,，則逆矩陣為A-O

OO

其中—：001/4

00

4丁=（4尸=Q/4）,因此，A-1

〔3）〔1司1/20

01/3

5

5.答案：1

解：由題設(shè)條件知，矩陣A中的元素不等于零,因此A有1階非零子式；又，A的任意兩行（或兩列）元素對(duì)應(yīng)成比例，故

所有的2階子式都等于零。根據(jù)矩陣秩的定義,得R(A)=1

三、計(jì)算題（5X6=30分）

1.解:

由題設(shè)條件，有1-％2一,2一名2=],即—+,2+/=00因此，％=0,y=0,Z=0.

2.解：

2345

是關(guān)于％的5次多項(xiàng)式[即f(x)=c0+q%+c2x+c3x+c4x+c5x]

行列式中含％的一般項(xiàng)只有一個(gè)：（-1嚴(yán)2345%］。22。33。44。55=（%+l）K故，毛的系數(shù)為1；￡的系數(shù)5.

1111

1111

令X等于零，得常數(shù)項(xiàng)為八。）=1111=0

1111

1111

3.解:

[1234

2468

Ag234).

36912ill

481216

冉

I2|

T

若令a111a=(1234),有A=c?z

口3

于是，A99=(aaT)"=(??T)(aaT)(a?T(aaT)=a(aTa)(aTa)--(aTa)aT=a(ara)98aT

-99^--98^

"1234

由于"a=12+2?+3?+4?=30,因此，A99="。。產(chǎn)/=3()98如,=3()984=30982468

36912

、481216

4.解：

100

由于A|=。-1一1=一1工0,故A可逆，于是X=A5.

012

6

r3+r2

r2+丫3

U00j4-5rx(-1)<100;4-5[4

2X

又，(A.B)=0-1-1；12010；-4-70,4—%)。因此，X=A~B=|-4-7|

012：23001：35[35J

5.解:

p1-610I

A=|25kJr-10I

[12-13(3-司

根據(jù)以上初等變換所得到的矩陣，知太=3時(shí)，R(A)=2;后3時(shí)，R(A)=3.

根據(jù)題設(shè)條件(A)=2,得k=3。

【本題亦可利用矩陣秩的定義求解，即，R(A)=2O任意的3階子式都等于零。選擇一個(gè)含左的三階子式，并令其為零,

可求出k]

四、證明題(2X6=12分)

1.解:

’abcd

記系數(shù)矩陣A="一。d一°

c-d—ab

dc—b—a,

2222

【該矩陣的特點(diǎn)是各行元素的平方和皆為a+b+c+d,任意兩彳亍對(duì)應(yīng)元素的乘積之和皆為0]

p2+/?2+c2+d2]

rh工T\a2+b2+c2+d2

由于羽=12222

a+b+c+d

[a2+b2+c2+J2J

因此，“卜141=(J+/+J+d2)4

a,6,c,a不全為零，故kf*0o系數(shù)行列式|4卜0,根據(jù)克拉默法則，方程組只有零解。

【本題還可進(jìn)一步求出|A|=-(a2+b2+c2+d2)2.這是因?yàn)椋河?(a2+b2+c2+d2)4，可推出|A|=+(a2+b2+c2+d2)2,

因?yàn)?。只出現(xiàn)在|A|的主對(duì)角線上，容易看出，在|A的展開(kāi)式中，/的系數(shù)應(yīng)該是-1,所以帶正號(hào)的結(jié)果應(yīng)舍去】

2.解：

根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，有

R(A)+R(E-A)>R(A+E-A)=R(E)=n???①

A=A24A(E-A)=O4R(A)+R(E-A)<n…②

綜合①②兩式結(jié)果，n<R(A)+R(E-A)<?,故R(A)+R(E-A)=〃

【本題所用的兩個(gè)性質(zhì)分別是：1.R(A+B)<R(A)+R(B)；2.若Ab=O,R(A)+R(5)?A的列數(shù)】

7

五、解答題（13分）

解：

對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換

「2+rl

r3-rl

，

11X4>「2?%q1X4]

(A,b)=