易錯點7 平面向量-2022年高考數學考試易錯題（新高考專用）（教師版含解析）

易錯點07平面向量

易錯題【01】確定向量夾角時忽略向量的方向

在判斷兩向量的夾角大小時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤.特別要

注意在aABC中，的夾角不是角B,而是角8的補角，8ABe夾角是角8。

易錯題［02］不會通過建立坐標系把向量問題轉化為代數問題

平面向量中有很多與平面幾何交匯的問題，當所給平面圖形為等腰三角形、直角三角形、矩

形、直角梯形時常通過建立坐標系，把平面向量問題轉化為代數問題求解，特別是求平面向

量有關的最值與范圍問題，常通過建立坐標系，轉化為函數求最值，或利用基本不等式求最

值。另外若題中有互相垂直的單位向量，也可建立坐標系，利用向量的坐標運算把向量問題

轉化為代數問題。

易錯題［03］忽略向量共線致誤

在解決兩向量夾角問題時,一般地，向量“6為非零向量,a與b的夾角為仇則①6為銳角oa協＞0

且不同向，特別提醒：不要忽略“力不同向；②6為直角Q”彷=0；③6為鈍角oa為＜0

且a力不反向，特別提醒：不要忽略不反向。

易錯題［04］對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準確致誤

⑴對于兩個向量共線定理（皈洋0）與〃共線地在唯一實數力使得》=觴）中條件翔'’的理解：

當＜1=0時,a與任一向量b都是共線的；當a=0且厚0時力=福是不成立的，但a與b共線.因

此，為了更具一般性,且使充分性和必要性都成立，我們要求a翔.換句話說,如果不加條件

與b共線”是“存在唯一實數2使得b=〃”的必要不充分條件.

（2）平面向量的一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.用平面向量基本

定理可將平面中任一向量分解成形如。=九6|十及62（九726艮幻￡2為同一平面內不共線的兩

個向量）的形式，它是向量線性運算知識的延伸.如果6佇是同一平面內的一組基底，且2同

+義202=0（加工2GR）,那么九=力2=0.

易錯題01

已知等邊4ABC的邊長為1,則質1總+系屈+屈?求=.

【警示】本題出錯主要原因是誤以為向量屈、就、/間的夾角均為60。.得出前?不=2?屈

=港商:=；的錯誤結論.

3

【答案】--

2

【問診】反■與不的夾角應是/AC3的補角/ACD,即180。一乙4磁=120。.乂|反1=|/|=油

|=1,所以就?不=|就||"|cos120。=一;.同理得不.初=油.反'=一.故武.^A+N?輻+

露.病=-2

【叮囑】在判斷兩向量的夾角時，一定要注意向量的方向

變式練習〉〉

1.(2022屆陜西省西安高三上學期月考)已知NA5C=120。，AB=2,8c=1,則|A2-2BC|=

()

A.2石B.2粒C.2D.4

【答案】C

【解析】因為

.-一2..2.2...2]

|Afi-2BC|2=AB'-4AB-BC+4BC=AB~+4BA-BC+4BC=22+4x2xlx(--)+4=4,所

以IA8-2BC|=2.故選C

2.在AABC中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足AP=2PA/，則

PA(PB+PC)等于

4444

A.——B.——C.-D.-

9339

【答案】A

【解析】由=知，P為AABC的重心，根據向量的加法，PB+PC=2PM>則

PA-(PB+PC)^PA-2PM=2\PA^PM\cosn=一1.故選A.

易錯題02

(2020屆山東卷T7)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則APAB的取值

范圍是

A.(-2,6)B.(-6,2).C.(-2,4)D.(T,6)

【警示】本題主要失誤原因是沒有建立坐標系的意識，導致解題受阻。

【答案】A

【問診】如圖，建立平面宜角坐標系A_X,,由題意知A(O0)，3(20)，C(3V3)，

F(-1,V3),設尸(x,y)'則一l<x<3,APAB=(x,y)-M=2x'-2<2x<6>

4。26的取值范圍是(一2,6”

【叮囑】平面向量的坐標運算可把幾何圖形中的向量問題轉化為代數問題求解。

支式練習〉〉

1>(2022屆重慶市九龍坡區(qū)高三上學期期中)已知AB|_LAB?,|OBj=|OB2|=1,AP=ABt+AB2,

IU叫1uu

\OP\<-，則|OA|的取值范圍()

A.*點)B.咚，后

C.D.(當，我

【答案】B

【解析】由題設，四邊形用A82P為矩形，構建以A為原點的直角坐標系，如下圖，

若B[(0,72),B式m,0),則PQn,n),設0(%,y),

x2+(y-〃y=1,(x-m)2+y2=[K0<(x-w)2+(y-n)2<—,

4

2222

5L\OA^=x+y=2-[(x-m)+(y-n)]9

.,.-<|OA|2<2,即也<|OA區(qū)&.故選B

42

易錯題03

已知a=(2,l).b=Q』)/eR,a與b的夾角為。.若6為銳角，則7的取值范圍是

【警示】本題易錯之處是誤以為0為銳角ocosGO,忽略共線的情況

【答案】M號且扭2)

【問診】：6)為銳角,，0<cos.又「cos備

2T

2z+lr2z+l2A+l>0,

一°索丙兩百產'，解得

刀+i動7尸+1

.2#2.

?'.2的取值范圍是卜R>一,且￥2).

【叮囑】利用向量共線求參數的值或范圍，要注意排除共線情況。

變式練習〉〉

1.(2022屆河北省邢臺市“五岳聯盟”高三上學期12月聯考)己知向量。=(-2,1),b=則

下列說法不正確的是()

A.若〃//0，貝ijf的值為B.若|“+〃|=|。-方|,則，的值為2

C.|a+口的最小值為1D.若〃與b的夾角為鈍角，則/的取值范圍是

t<2

【答案】D

【解析】A選項，若;//1,則-2xf=lxlnf=-g,A選項說法正確.

B選項，若|。+6|=|。-切，兩邊平方并化簡得〃.0=(),即一2+，=0=r=2,B選項說法正確.

C選項，|^4-/?|=|(-l,l+r)|=^(/4-l)2+1,當，=-1時，有最小值為1,C選項說法正確.

—2+f<0[7<2

D選項，若〃與b的夾角為鈍角，則,n1=1,D選項說法不正

-2xr^ixit卡————

I2I2

確.故選D

2.(多選題)(2022屆福建省泉州高三上學期期中)已知平面向量。=(1,2)"=(-2,1),c=(2j),

下列說法正確的是()

A.若(a+b)〃c,則1=6

B.若(a+6),c，則￡=：

4

C.若/=1,貝ljcos<4,c>=g

D.若向量〃與向量c夾角為銳角，則￡>-1

【答案】BC

【解析】Qa=（l,2）,Z?=（-2,1）,:.a+h=（-1,3）,c=（2,r）a^c=2t+2

若（a+b）〃入,c=（2,r）/.-Ixr=2x3/.r=-6,故A不正確；

若（〃+〃）_Lc,.c=（2j）「.-1><2+/><3=0/.r=-1,故B正確；

若f=l,則c=（2,l）,.q.c=2r+2=4，卜卜石，卜卜石...c°s<a,c>=|^=石:石=，,

故C正確；若向量〃與向量2夾角為銳角，則a.c>0Qa=（l，2）,c=（2,r）^.c=lx2+2xr>0

t>—1

若向量”與向量c平行,則lx/=2x2,f=4,故向量”與向量c,夾角為銳角時:>一1且/#4.

故D不正確；故選BC

易錯題04

給出下列命題：（1）平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底；（2）平面向量的基底不唯一,

只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示；（3）若。力共線，則）=而

且4存在且唯一：（4）21“+〃16=42。+〃2力,則丸=22必=〃2.其中真命題的個數為

A.lB.2C.3D.4

【警示】本題出錯主要原因是對平面向量基本定理理解不準確，導致判斷失誤

【答案】A

【問診】平面內的兩個不共線的向量可以作為一組基底,（1）是假命題；（2）是真命題：對于（3）,

當a為均為零向量時4可以取任意實數，當。為零向量力為非零向量時4不存在,（3）是假命題；

對于（4）,只有a,b為不共線向量時才成立.

【叮囑】注意平面向量基本定理中的基底是兩個不共線的向量

變式練習〉）

1.給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②4w=0a為實數），則入

必為零；③心〃為實數，若則:與％共線?其中錯誤的命題的個數為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點.②錯誤，當：=0時，不論2為

何值，=0.③錯誤，當a=〃=0時，=此時，;與了可以是任意向量.

故錯誤的命題有3個.故選D

(2022屆上海市嘉定區(qū)高三上學期質量檢測)下列各組向量中.可以作為基底的是()

A.q=(0,0),02=(1,2)B.q=(3,4),e?=(1,2)

4

C.q=(3,4),02=(6,8)D.et=(3,-4),e2=(1,--)

【答案】B

【解析】對于A,因為備=(0,0),0與任何一個向量均為共線向量，不能做基底，故A錯誤；

1UU

對于C,因為4=；/，兩向量共線，不能做基底，故C錯誤；對于。，因為《=3自，兩

22

向量共線，不能做基底，故。錯誤；故選8.

易錯題通關

1.(2022屆廣東省江門市高三上學期調研)在邊長為3的等邊二A8C中，若BD=2DC,則

ADAB=()

Q

A.6-3A/3B.-C.3D.6

3

【答案】D

【解析】

如圖，由8r>=2￡>C?可得CO=gc5,

II1

又AO=AC+C￡>=AC+-C8=AC+-(A8-AC)=-AC+-AB,ABC為等邊三角形，

33、'33

^fy,/4D-.4B=^|AC+i/4ByAB=|AB-AC+^Afi2=||AB|-|Ac|cos60°+||Ac|2=6.故選D

2.(2022屆四川省攀枝花市高三統(tǒng)一考試)在^A8C中，BC=2,BA=C，3=(,CA=3D4,

且點E是8。的中點，則AE.EC=()

A.--B.|D

99c-|-1

【答案】A

【解析】由題設，AE^AB+BE=AB+-BD=AB+-(BC+CD)=AB+-BC+-CA=

2223

AB+-BC+-(CB+BA)=-AB+-BC,

2336

1.1~~.―.11一一1__1

EC=EB+BC=-DB+BC=-(DC+CB)^BC=-AC+-CB+BC=-(AB+BC)+3BC

=-BC+-AB.

63

AEEC=(，2C+]AB).(濃+h8)=>(778。48+隊2,又8CAB=-2，

63633olo9

51142

??.AEEC=-——+_=故選A

9999

3.(2021屆寧夏中衛(wèi)市高三聯考)已知川=M=2,且q,/,的夾角為60,若向量卜-。卜1,

則，；的取值范圍是()

A.[Y,4]B.[一26,26]C.[0,273]D.[0,4]

【答案】D

【解析】不妨設"=(2,0),c=(x,y),且cos(“,b)=(，

因為k-441,所以(彳一2)2+94I,設x=2+rcosa,y=rsina,

0<r<l,?GR,所以>c=x+Gy=2+rcosa+V^rsina=2+2rsina+—,

由于T4-r〈rsin[a+7j4r41,故6.ce[0,4].故選D.

4.己知C,。是以AB為直徑的圓。上的動點，且A3=4,則AC8O的最大值是()

A.2B.4x/5-4>/3C.25/2D.4后-4

【答案】A

【解析】如圖，以圓心。為原點，直徑的所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系,

則&-2,0),8(2,0),設C(2cos%2si〃a),D(2cos02,2sin02),

AC=(2cos+2,2sin^),BD-(2cos6,-2,2sin0,),

AC-BD=：(2cos^,+2)(2cos0,-2)+4sin61,sin0

=(4cosq+4)c"sg+4sin0^in02-4(cas^+1)

,,J(4cosq+4y+16sin2a-4(cos6?,+1)=4gcos^+l_4(cosq+1),

設Jcosq+1=t,re[0,^],則ACBDgiJ-4t?+4&t=Mt-等)+22,

即ACBD的最大值是2.故選A

5.(2022屆山西省懷仁市高三上學期期中)下列說法中正確的是()

A.已知。=(1,2),〃=(1,1),且。與“+勸的夾角為銳角，則實數彳的取值范圍是卜3,+8

B.向量4=(2,-3),/=(；,-；),可以作為平面內所有向量的一組基底

C.非零向量。和b，滿足|H>W，且兩個向量是同向，則

D.非零向量4和人滿足問=忖=卜-"，則d與4+0的夾角為30。

【答案】D

【解析】。+助=(1+42+為，因為。與4+勸的夾角為銳角，所以

c"+位霹曷小渭?oj）,解得：人1且石仇故A

錯誤；弓=4/,所以q〃q,不能作為平二面內所有向量的一組基底，B錯誤；兩個向量的

模長可以比較大小，但兩個向量是不能比較大小的，故C錯誤；不妨令同=1卜,-.=1則

p-/?|=(〃-/?)=a2-2ab+b2=2-2a-b=\所以。為則

2

,+4=(〃+/?)=a2+2a-b+b2=3,所以,+.=G

“?(a+B)/"[有

麗T".=否=彳

因為｛a,a+?e[0,句,所以（a,a+弓=看,D選項正確.故選D

6.（多選題）（[河北省邢臺市高三上學期聯考）已知點尸為43c所在平面內一點，且滿足

AP=AAB+^AC,則（）

A.當戶在，ABC內部時，2+〃<1B.當P在,ABC外部時，2//<0

C.當彳=〃時，直線"一定過ABC的重心D.當且僅當時，AP//BC

【答案】ACD

【解析】對A,取邊BC上的點。，且滿足二=%立）,當戶在AABC內部時，x<l.因為5QC

三點共線，所以存在唯一實數對y（o<y<i）,使得&>=J矗+（1->）/，于是

—>—>—>

AP=xyAB+x（\-y）AC<貝!M+〃=孫+工一沖=x<1.A正確；

對B,取邊BC的中點E,則成=^+公，設石>=2危，易知點尸在三角形外部，所以

AP=2A8+2AC，則'.〃=4>0.B錯誤；對C,2=〃時，AP=A8+Ai?，由答案B中的

推理，點P,E重合，則直線AP一定過ABC的重心.C正確；由題意，對D,

AP=-juAB+yAC=^BC'則A》//B々?故選ACD.

7.（多選題）（2022屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學期期中）已知向量”=（4,3-㈤，6=（1,⑼，則下

列說法正確的是（）

B.若，"=],則a〃b

A.若“l(fā)b，則根=4

C.卜，+2匕|的最小值為6D.若〃與匕的夾角為銳角，則一1＜相＜4

【答案】BC

【解析】A：若故可得4+加（3-m）=0,解得帆=—1或加=4,故A錯誤；

B：當，"=|時，a=（4,晟）,6=[1,|）,此時4x1-lx?=0,貝故B正確；

C：a+%＞=（6,，”+3）,故,+2力|=小6+（〃?+3）-26,當/?=—3時，取得最小值，故C止

確；D：若a與6的夾角為銳角，則a力=4+m（3-，”）＞0,解得一1＜加＜4：

當a與6共線時，4m=3-m,解得加=|,