四川省成都市南開為明學(xué)校高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試卷

絕密★啟用前為明2021屆高三第一次調(diào)研考試題數(shù)學(xué)（文史類）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號填寫在答題卡相應(yīng)位置上。2.請在答題卡上作答，寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,5}，則A∩B=A.{0,1,2,3,4,5}B.{0,2,4}C.{1,2,3}D.{1,3,5}2.若復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，且α∩γ=m，β∩γ=n，則“m∥n”是“α∥β”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知點P是拋物線C:y2=16x上的一點，若點P到y(tǒng)軸的距離是12，則點P到C的焦點的距離是A.12B.14C.16D.185.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年—1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式，該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下，我國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家明安圖(1692年—1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平，從乾隆初年(1736年)開始，歷時近30年，證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式，同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若輸入n=5，則輸出P的表達(dá)式為A.B.C.D.6.“稻花香里說豐年，聽取蛙聲一片”.每到夏天，荷塘里的青蛙總是和諧、有節(jié)奏感地鳴唱.殊不知，青蛙叫的頻率（每小時鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：°C）有著很大的關(guān)系.某觀測人員根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)(如下表)，建立了關(guān)于的線性回歸方程，（°C）2930313436（次數(shù)/小時）188200212237263則當(dāng)溫度為35°C時，青蛙叫的頻率的預(yù)報值為A.240B.250C.262D.2607.函數(shù)的大致圖象是8.函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則有A.B.C.D.9.甲、乙、丙、丁、戊5個人都是教師，其中甲擅長教授語文和數(shù)學(xué)，乙擅長教授語文，丙擅長教授語文、思政和體育，丁擅長教授數(shù)學(xué)和音樂，戊擅長教授思政和音樂.若他們要組成一個班級的任課教師，且在這個班級的任課教師中每人只能教授一科擅長的科目，則丙、丁、戊教授的科目分別是A.語文、數(shù)學(xué)、思政B.體育、音樂、思政C.體育、數(shù)學(xué)、音樂D.思政、體育、音樂10.在三棱錐P—ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，底面ABC和側(cè)面PAC都是以AC為斜邊的直角三角形，且AC=2，∠PAC=45°，∠BAC=30°，則三棱錐P—ABC外接球的表面積為A.πB.2πC.4πD.8π11.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4=－3，S12=24，若ai+aj=0(i,j∈,且1≤i<j)，則i的取值集合是A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}12.設(shè)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量，且，，，則x=_____.14.若數(shù)列從第一項起，每一項都是它后一項的2倍，若，則_____.15.2019年北京世園會的吉祥物“小萌芽、小萌花”，是一對代表著生命與希望、勤勞與美好、活潑可愛的園藝小兄妹.造型創(chuàng)意來自東方文化中百子圖的“吉祥娃娃”，通過頭飾、道具、服裝創(chuàng)意的巧妙組合，被賦予了普及園藝知識、傳播綠色理念的特殊使命.現(xiàn)從4張分別印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”、“菊花”圖案的卡片(卡片的形狀和大小相同，質(zhì)地也相同)中隨機選取2張，則“小萌芽”和“小萌花”卡片至少有一張在內(nèi)的概率為_______.16.已知雙曲線的左焦點為F(－c,0)，圓F:(x+c)2+y2=c2與x軸的負(fù)半軸交于點P，與C的一條漸近線交于點Q，若|PQ|=，則C的離心率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.(12分)我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡。使用四年來，已發(fā)現(xiàn)146顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有102顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星.脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)是一定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某一天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了102顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并寫出自轉(zhuǎn)周期的眾數(shù)的估計值；(2)在102顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，估計自轉(zhuǎn)周期在8至12秒的大約有多少顆？(所求值按四舍五入取整數(shù))(3)根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值和中位數(shù)(所求值保留一位小數(shù))．18.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)求B的大??；(2)若，ac=4，求△ABC的周長.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面，二面角的大小為，，，.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.20.（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(2)若f(x)≥0對任意的x∈[0,+∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：的焦距為2，點P(1,)是E上一點.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l與OP平行且與E交于A,B兩點，且△PAB的面積為，求直線l的方程.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題號后的方框涂黑。22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)原點O在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C交于M、N兩點；以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程，并求a的取值范圍；(2)求證：|OM|2+|ON|2為定值.23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)f(x)=|x|+|x－1|.(1)解不等式f(x)≥3.(2)設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：f(a)+f(b)+f(ab)≥3.數(shù)學(xué)（文史類）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1.【答案】D.2.【答案】D.【解析】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1,－1)，故選D.3.【答案】B.【解析】若m∥n相交，則α與β可能相交或平行；若α∥β，則m∥n，故選B.4.【答案】C.【解析】點P到C的焦點的距離是12+4=16.故選C.5.【答案】B.【解析】此時i=6>5，輸出P=4S5，故選B.6.【答案】B.【解析】，代入，解得，則.當(dāng)t=35時，，故選B.7.【答案】A.【解析】首先，f(x)為奇函數(shù)，則可排除B；當(dāng)x<0時，f(x)<0，則可排除D；又，則可排除C，故選A.8.【答案】B.【解析】由題意，得取解得，故選B.9.【答案】B.【解析】由乙擅長教授語文且甲擅長教授語文和數(shù)學(xué)，則安排甲教授數(shù)學(xué)，乙教授語文；由丁擅長教授數(shù)學(xué)和音樂，則可安排丁音樂；由戊擅長教授思政和音樂，則可安排戊教授思政；余下體育只有安排丙，故選B.10.【答案】C.【解析】如圖，取AC的中點O，則OA=OB=OC=OP=1，所以O(shè)為三棱錐P—ABC外接球的球心，于是三棱錐P—ABC外接球的表面積為.故選C.11.【答案】C.【解析】設(shè)公差為d，由a1+3d=－3及，解得a1=－9，d=2，所以數(shù)列為－9，－7，－5，－3，－1，1，3，5，7，9，11，……，故i∈{1,2,3,4,5}，故選C.12．【答案】A.【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，且．結(jié)合圖像可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，則不等式的解為；當(dāng)時，單調(diào)遞減，，則不等式的解為．所以不等式的解集為．故選A．二、填空題13.【答案】－1.【解析】由，解得x=－1.14.【答案】8.【解析】由題意，得,即，則,解得.15.【答案】.【解析】將“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”、“菊花”圖案的卡片分別記為a,b,C,D，從4張中隨機選取2張的基本事件分別為{a,b},{a,C},{a,D},{b,C},{b,D},{C,D}，共計6種，所以所求概率為.16.【答案】2.【解析】如圖，取OQ的中點H，則點F(－c,0)到漸近線bx+ay=0的距離為|FH|=b，又F為OP的中點，所以|PQ|=2|FH|，從而=2b，即3c2=4(c2－a2)，解得，于是C的離心率為2.三、解答題17．解：(1)由頻率分布直方圖，得2×(0.050+a+0.150+a+0.075+0.025)=1，解得a=0.1；……2分因為眾數(shù)的估計值就是最高矩形的中點橫坐標(biāo)的值，所以自轉(zhuǎn)周期的眾數(shù)的估計值是5秒.……4分(2)因為2(0.075+0.025)×102=20.4≈20，所以自轉(zhuǎn)周期在8至12秒的估計大約有20顆.……6分(3)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為2×(0.050×1+0.1×3+0.150×5+0.1×7+0.075×9+0.025×11)=5.5，所以新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.……9分由2(0.050+0.1)+(x－4)×0.15=0.5，解得x≈5.3，自轉(zhuǎn)周期的中位數(shù)的估計值為5.3秒.……12分18.解：(1)由正弦定理，得，……2分由，得，………………4分由，得，所以，所以，……6分由，得.……8分(2)由余弦定理及，得，……10分即.由ac=4，解得a+c=4，所以△ABC周長為.……12分19．（1）證明：因為底面，底面，所以，…………………1分又，PA∩PD=P，所以平面，…………………2分又平面，所以，…………………3分又，平面,所以,…………………4分又平面，平面,所以平面.…………………6分（2）解：由及，得就是二面角的大小為，即； 7分在直角三角形中，由，得. 8分由AD∥BC，BC⊥CD，得四邊形ABCD為直角梯形，其面積為. 10分所以四棱錐的體積為. 12分20.解：(1)當(dāng)a=2時，f(x)=ex－2x－1，則f(0)=0；………………1分由，得，………………2分所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y－0=－(x－0)，即y=－x.………………4分(2).………………5分由x≥0，得ex≥1.………………6分當(dāng)a≤1時，，則f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)，所以f(x)≥f(0)=0，此時適合題意.………8分當(dāng)a>1時，由，得.………………9分當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，………………10分所以當(dāng)x∈(0,lna)時，f(x)<f(0)=0，此時不適合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞,1].…12分21.解:(1)法一：設(shè)左、右焦點分別為F1,F2，由|F1F2|=2，得F1(－1,0),F2(1,0)，則2a=|PF1|+|PF2|=，………2分即，從而，…………………3分故求橢圓E的方程為.…………………4分法二：設(shè)2c=2，則；…………………1分由點P在E上，得，…………………2分以上兩式聯(lián)立，解得a2=2,b2=1，故橢圓E的方程為.…………………4分(2)，…………………5分由OP∥l，可設(shè)直線的方程為,代入,并整理得.…………………6分由直線與E交于、兩點，得,結(jié)合∥，解得.…………………7分由韋達(dá)定理，得..…………………9分點到直線的距離.…………………10分.……………11分解得n=±1，適合適合，所以直線的方程為.……………12分22