2019版高中全程練習方略配套資料：幾個著名的不等式及利用不等式求最大值

第三節(jié)幾個著名的不等式及利用不等式求最大(小)值…………高考指數(shù):★★內(nèi)容要求ABC算術(shù)－幾何平均不等式、柯西不等式及排序不等式√利用不等式求最大(小)值√1.幾個著名的不等式(1)柯西不等式①柯西不等式的代數(shù)形式:

設a,b,c,d均為實數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)≥________，其中等號當且僅當_________時成立.②柯西不等式的向量形式:

設為平面上的兩個向量，則_____________，其中等號當且僅當兩個向量共線時成立.(ac+bd)2ad=bc③柯西不等式的一般形式：設n為大于1的自然數(shù)，ai,bi(i=1，2，…，n)為任意實數(shù)，則≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，其中等號當且僅當時成立(當ai=0時，約定bi=0，i=1，2，…，n).(2)三角形不等式：設x1,y1,x2,y2,x3,y3為任意實數(shù)，則≥________________.(3)排序不等式：設兩組實數(shù)a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn,且它們滿足：a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,若c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一個排列，則和數(shù)a1c1+a2c2+…+ancn在a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn同序時最大，反序時最小，即：________________≥a1c1+a2c2+…+ancn≥__________________,等號當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時成立.(4)n個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式：如果a1,a2,…,an為正數(shù),n>1且n∈N*，則這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)是_______________,這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)是__________，基本不等式是________________________.等號當且僅當a1=a2=…=an時成立.它表明：n個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．【即時應用】(1)已知x,y,z均為正數(shù)且x+y+z=1.若，則：x=_________,y=__________,z=____________.(2)設a、b、c都是正數(shù)，試用不等號連接:______a＋b＋c.【解析】(1)∵(x+1+y+1+z+1)(12+12+12)≥(

)2,∴4×3≥(

)2，∴

,當且僅當

,即x=y=z=

時,上式取到等號.由已知

，∴x=y=z=

.

(2)不妨設a≥b≥c>0，∴ab≥ac≥bc，

.由排序不等式，知

，即

≥a＋b＋c.答案:

(1)

(2)≥2.利用不等式求最大(小)值(1)運用算術(shù)-幾何平均不等式求最大(小)值;(2)運用柯西不等式求最大(小)值.【即時應用】(1)設a，b∈R，若a2＋b2＝5，則a＋2b的最大值為________，最小值為_________.(2)已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為__________．【解析】(1)由柯西不等式知(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，∴(a＋2b)2≤5×5＝25，∴－5≤a＋2b≤5.即a＋2b的最大值為5，最小值為-5.(2)2x＋

＝2(x－a)＋

＋2a≥2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.答案:(1)5-5(2)

運用著名不等式證明不等式【方法點睛】利用幾個著名不等式證明不等式的思路(1)用算術(shù)－幾何平均不等式與柯西不等式證明不等式時，可直接應用其結(jié)論，也可將要證的不等式拆成若干個不等式的和或積．(2)利用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是找出符合條件的兩組數(shù)，只要找到了這兩組數(shù)，問題就迎刃而解了.

【例1】設a，b，c為正實數(shù)，求證：.

【解題指南】從本題特征分析,不能直接運用平均不等式或柯西不等式證明,可將其分成兩式之和,先對前三項運用平均不等式,再與第四項結(jié)合,又一次運用平均不等式證明.本題也可綜合利用排序不等式與平均不等式證明.【規(guī)范解答】方法一：因為a,b,c為正實數(shù)，由平均不等式可得即,所以，而,所以

.當且僅當a=b=c且abc=,即a=b=c=時等號成立.方法二：設a≤b≤c,則,,=.當且僅當a=b=c=時等號成立.【反思·感悟】在證明不等式時,如果兩次運用了平均不等式,那么必須考慮其等號是否同時成立.【變式訓練】已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，證明：a3+b3+c3≥.【證明】

利用柯西不等式(a2+b2+c2)2=()2≤［］(a+b+c)=(a3+b3+c3)(a+b+c)2(∵a+b+c=1),又因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca,在此不等式兩邊同乘以2，再加上a2+b2+c2得：(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2).∵(a2+b2+c2)2≤(a3+b3+c3)(a+b+c)2≤(a3+b3+c3)·3(a2+b2+c2).故a3+b3+c3≥.當且僅當a=b=c=時，等號成立.【變式備選】設△ABC的三邊長分別為a,b,c，(1)判定b+c-a,a+b-c,c+a-b的符號；(2)求證：≥a+b+c．【解析】(1)因為a,b,c為三角形的三邊，所以b+c-a>0,c+a-b>0,a+b-c>0.(2)=·［(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)］≥＝(a+b+c)2=a+b+c. 運用著名不等式求最值【方法點睛】運用著名不等式求最值的注意問題(1)用算術(shù)—幾何平均不等式求最大(小)值，要注意“一正、二定、三相等”．(2)用柯西不等式求最大(小)值，一要創(chuàng)造使用定理的條件，二要注意等號成立的條件．【例2】已知正數(shù)x，y,z滿足x+y+z=1.(1)求證：;(2)求4x+4y+的最小值.【解題指南】本例第(1)題等價于求

的最小值,因其分母分別為y+2z,z+2x,x+2y,其和恰為3(x+y+z),故運用柯西不等式證之;第(2)題的特征是正數(shù)x，y、z均在指數(shù)上,根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則,才能轉(zhuǎn)化成和的形式,故運用平均不等式求之.【規(guī)范解答】(1)因為x>0,y>0,z>0，所以由柯西不等式得［(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)()≥(x+y+z)2,又因為x+y+z=1，所以

≥.(2)由平均不等式得4x+4y+

≥3因為x+y+z=1,所以x+y+z2=1-z+z2=

,故4x+4y+

≥

,

當且僅當x=y=

,z=

時等號成立，所以4x+4y+

的最小值為

.【反思·感悟】1.使用算術(shù)—幾何平均不等式，必須正確把握不等式的結(jié)構(gòu)：一端為和式，另一端為積式；2.柯西不等式是非常重要的不等式，其結(jié)構(gòu)可簡述為“平方和的積”不小于“積的和的平方”.【變式訓練】已知正數(shù)x,y,z滿足5x+4y+3z=10.(1)求證:≥5;(2)求的最小值.【解析】(1)根據(jù)柯西不等式，得［(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)］()≥(5x+4y+3z)2,因為5x+4y+3z=10,所以=5.當且僅當時取等號.(2)根據(jù)平均不等式,得

,當且僅當x2=y2+z2時,等號成立.根據(jù)柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)≥2,當且僅當時,等號成立.綜上,≥2·32=18.當且僅當x=1,時,等號成立.所以

的最小值為18.【變式備選】用柯西不等式推導點到直線的距離公式.【證明】