（考黃金）高考數(shù)學(xué)一輪檢測 第24講 橢圓、雙曲線、拋物線精講 精析 新人教A版

2013年考題1.（2013浙江高考）過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【解析】選C.對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，，則有，因．2.（2013浙江高考）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸，直線交軸于點(diǎn)．若，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【解析】選D.對(duì)于橢圓，因?yàn)?，則.3.（2013安徽高考）下列曲線中離心率為的是（）（A）（B）（C）（D）學(xué)科網(wǎng)【解析】選B.由得.4.（2013福建高考）若雙曲線的離心率為2，則等于（）A.2B.C.D.1【解析】選D.由，解得a=1或a=-1（舍去）.5.（2013海南寧夏高考）雙曲線-=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）（A）（B）2（C）（D）1【解析】選A.雙曲線-=1的焦點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為.6.（2013山東高考）設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為().A.B.5C.D.【解析】選D.w.w.w.k雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,.7.（2013山東高考）設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為().A.B.C.D.【解析】選B.拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為,它與軸的交點(diǎn)為A,所以△OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為.u.c.o.m8.（2013天津高考）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）ABCD【解析】選C.由已知得到，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為.9.（2013全國Ⅰ）設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于()（A）（B）2（C）（D）【解析】選C.設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有又，解得:.10.（2013全國Ⅱ）雙曲線的漸近線與圓相切，則r=（）（A）（B）2（C）3（D）6【解析】選A.本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識(shí)，由圓心到漸近線的距離等于r，可求r=.11.（2013江西高考）過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為A．B．C．D．【解析】選B.因?yàn)?，再由時(shí)有從而可得.12.（2013江西高考）設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn),若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．3【解析】選B.由有,則.13.（2013四川高考）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在該雙曲線上，則=（）A.B.C.0D.4【解析】選C。方法一：由題知，故，∴.方法2：根據(jù)雙曲線漸近線方程可求出雙曲線方程，則左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，再將點(diǎn)代入方程可求出，則可得，故選C。14.（2013湖南高考）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）【解析】選B.由,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選B.15.（2013廣東高考）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為．【解析】，，，，則所求橢圓方程為.答案:.16.（2013福建高考）過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則________________【解析】由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立有，又。答案:2.17.（2013遼寧高考）已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為。【解析】注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),于是由雙曲線性質(zhì)|PF|－|PF′|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5兩式相加得|PF|＋|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.答案:918.（2013北京高考）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則_________；的小大為__________.【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.∵，∴，∴，又，∴，又由余弦定理，得，∴，故應(yīng)填.答案:19.（2013上海高考）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=____________.【解析】依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。答案：320.（2013重慶高考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．【解析】方法1，因?yàn)樵谥?，由正弦定理得則由已知，得，即設(shè)點(diǎn)P，由焦點(diǎn)半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率方法2由方法1知由橢圓的定義知，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.答案：21.（2013湖南高考）已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為端點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________【解析】連虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩直角邊分別是是虛半軸長，是焦半距，且一個(gè)內(nèi)角是，即得，所以，所以，離心率.答案：22.（2013湖南高考）過雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C的離心率為.【解析】,答案：2.23.（2013四川高考）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.【解析】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2答案：224.（2013安徽高考）點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明:點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.【解析】（I）方法一：由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P.方法二：顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，若Q是橢圓與的另外交點(diǎn)，代入的方程，得即故P與Q重合。方法三：在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。（II）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。25.（2013福建高考）已知A,B分別為曲線C：+=1（y0,a>0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線過點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.(Ⅰ)若曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；（II）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。【解析】方法一：(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°.(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí),∠SAB=30°.又AB=2,故在△SAB中,有(2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.由設(shè)點(diǎn)故,從而.即TMTM由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.方法二:(Ⅰ)同方法一.(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點(diǎn),則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.2012年考題1．（2012海南寧夏高考）已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【解析】選A點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖，,故最小值在三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí)的縱坐標(biāo)都是，所以選A（點(diǎn)坐標(biāo)為）。2．（2012海南、寧夏高考）雙曲線的焦距為（）A．3 B．4 C．3 D．4【解析】選D.由雙曲線方程得，于是，選Ｄ.3．（2012山東高考）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26．若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）（A）(B)(C)(D)【解析】選A.本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。對(duì)于橢圓，曲線為雙曲線，，標(biāo)準(zhǔn)方程為：4．（2012山東高考）已知圓．以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【解析】本小題主要考查圓、雙曲線的性質(zhì)。圓得圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為則所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。答案： 5．（2012江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過點(diǎn)P作圓的兩切線互相垂直，則離心率=?！窘馕觥勘拘☆}考查橢圓的基本量和直線與圓相切的位置關(guān)系。如圖，切線互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。答案： 6．（2012海南寧夏高考）設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為．【解析】雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)一條漸近線方程為，建立方程組，得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而答案：7．（2012海南寧夏高考）過橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為______________【解析】將橢圓與直線方程聯(lián)立：，得交點(diǎn)；故；答案： 2011年考題1、（2011海南寧夏高考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且，則有（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【解析】選C.由拋物線定義，即：.2、（2011全國Ⅰ）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是，，則雙曲線方程為A．B．C．D．【解析】選A。已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是，，則c=4，a=2，，雙曲線方程為.3、（2011全國Ⅱ）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為(A) (B) (C) (D)【解析】選B。設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中，，∴離心率.4、（2011全國Ⅱ）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．【解析】選D。已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，∴，橢圓的離心率.5、（2011全國Ⅱ）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（）A． B． C． D．【解析】選B。設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)在雙曲線上，且，則=.6、（2011安徽高考）橢圓的離心率為（） （A） （B） （C） （D）【解析】選A。橢圓中，，∴，離心率為.7、（2011江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（）A．B．C．D．【解析】選A.由，.8、（2011福建高考）以雙曲線QUOTE的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是AQUOTEBQUOTECQUOTEDQUOTE【解析】選A.右焦點(diǎn)即圓心為（5，0），一漸近線方程為，即，，圓方程為，即AQUOTE.9、（2011江西高考）設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（）Ａ．必在圓內(nèi) Ｂ．必在圓上Ｃ．必在圓外 Ｄ．以上三種情形都有可能【解析】選A.由=得a=2c，b=，所以，所以點(diǎn)到圓心（0，0）的距離為，所以點(diǎn)P在圓內(nèi).10、（2011遼寧高考）設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．【解析】選B.因?yàn)?，設(shè)，根據(jù)雙曲線定義得，所以，∵，∴為直角三角形，其面積為.11、（2011遼寧高考）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．， B．，C．， D．，【解析】選C.因?yàn)閍=4，b=3，所以c=5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.12、（2011陜西高考）拋物線的準(zhǔn)線方程是（）（A）4y+1=0(B)4x+1=0(C)2y+1=0(D)2x+1=0【解析】選A.P=，準(zhǔn)線方程為y=，即.13、（2011陜西高考）已知雙曲線C：(a＞0,b＞0),以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的浙近線相切的圓的半徑是（）A.B.C.aD.b【解析】選D.圓的半徑是（C，0）到漸近線的距離，所以R=.14、（2011廣東高考）在直角坐標(biāo)系xOy中,有一定點(diǎn)A（2，1）。若線段OA的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是______;【解析】OA的垂直平分線的方程是y-，令y=0得到x=.答案：.15、（2011廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過點(diǎn)P(2,4)，則該拋物線的方程是．【解析】設(shè)所求拋物線方程為,依題意,故所求為.答案:16、（2011山東高考）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為________.【解析】過A作軸于D，令，則，，。答案:17、（2011江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則________.【解析】利用橢圓定義和正弦定理得b=2×4=8答案:18、（2011上海高考）已知雙曲線，則以雙曲線中心為焦點(diǎn)，以雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為【解析】雙曲線的中心為O（0,0），該雙曲線的左焦點(diǎn)為F（－3,0）則拋物線的頂點(diǎn)為（－3,0），焦點(diǎn)為（0,0），所以p=6，所以拋物線方程是答案:19、（2011上海高考）以雙曲線的中心為頂點(diǎn)，且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是．【解析】雙曲線的中心為O（0,0），該雙曲線的右焦點(diǎn)為F（3,0）則拋物線的頂點(diǎn)為（0,0），焦點(diǎn)為（3,0），所以p=6，所以拋物線方程是).答案:20、（2011福建高考）已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為__________；【解析】設(shè)c=1，則，答案:21、（2011福建高考）已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為?！窘馕觥坑梢阎狢=2，答案:22、（2011海、寧高考）已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為________．【解析】如圖，過雙曲線的頂點(diǎn)A、焦點(diǎn)F分別向其漸近線作垂線，垂足分別為B、C，則答案:323、（2011重慶高考）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，則|FP||FQ|的值為__________.【解析】代入得：設(shè)又答案:24、（2011上海高考）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．yO...Mx.如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓”與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．yO...Mx.（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【解析】（1），，于是，所求“果圓”方