2023年天津高考金榜預(yù)測數(shù)學(xué)試卷一（解析版）

2023年高考金榜預(yù)測卷（一）（天津卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.集合A={X∕>4},β={x∣-5<x<l},則低A)c5=()

A.∣x∣-5<x<-2∣B.{x∣-2<x<2}C.{x∣-2<x<ljD.∣x∣-2≤x<11

K答案DD

K解析1χ2>4,則χ>2或x<—2,則A={x∣x<-2或x>2},?A={^-2<x<2},

B={x∣-5<x<l},貝∣J(4A)CB={X∣-2≤X<1},

故選：D.

2.“J〉/，是“x>2”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案HB

K解析H因為/>4解得x<-2或x>2,

所以>4”是“χ>2”成立的必要不充分條件，

故選：B

3.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般

好，隔離分家萬事休”，如函數(shù)/（X）=孚耳的圖像大致是（）

e-e

K答案XD

K解析》由壯工。得X”即函數(shù)定義域是3"°｝，排除AB,

txt

x>l時，ln∣Λ∣>O,e-e^'>0<?(?)>O.OVxVl時，InWeO,e-e^>0>

/(x)<0,因此排除C,

故選：D.

4.某城市IOO戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),[180,200),

[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組得到如下頻率分布直

R答案2B

K解析11在頻率分布直方圖中，各小矩形面積和為1,

EP20x(0.002+0.0095+0.01l+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,

解得，X=0.0075.

故選：B.

1

5.己知a=log26，b=20?4.C=G)3，則。，b,C的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<c<bC.a<h<cD.b<c<a

K答案UC

,

K解析U由題知，0=Iog21<Iog2?/?<Iog2√4=1,

即：0<β<l,又Z>=2°4>2°=l,所以b>〃；

?l5=(20?4)'5=26=64,

：?b<c,

所以：a<b<c.

故選：C.

6.已知αe(j∣■,乃)，Sina=|,則tan(α+?)等于()

A.-B.7C.——D.-7

77

K答案》D

K解析D因為々4岸T)，且Sina=所以CoSC=-Jl-siι√α=-，,

LL…Sina3

所以tana=-------=一一,

cosa4

343/八

?tana+tan————÷(-l)

IL/\44r

故tan(α+—)=---------------?-=——%----------=-7

4.3冗,/3、/八

1—t3∏(X?t3∏---1—(—)x(—1)

44

故選：D.

7.橢圓的中心為點4-1,0),它的一個焦點為尸(-3,0),相應(yīng)于焦點廠的準(zhǔn)線方程為

7

x=-g則這個橢圓的方程是()

A.2J魚=1B.P+.

213

d)?

c+y2=1

5

K答案UD

K解析H因為橢圓中心為點E(T0),且一個焦點為尸(-3,0),

所以該橢圓為中心在坐標(biāo)原點焦點在X軸上的橢圓向左平移一個單位后的橢圓,

設(shè)橢圓方程為(X+0+$=1，由題，c=-l-(-3)=2,

a2從

72s

222

又因為準(zhǔn)線方程為X=-：,所以幺=3,解得Y=5,h=a-c=l,

2c2

2

橢圓方程為：^tH+y=l?

5

故選：D.

8.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八

個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為1,則經(jīng)過該

多面體的各個頂點的球的表面積為()

A.8πB.4πC.3πD.2π

K答案》B

K解析》將該多面體補(bǔ)形為正方體，則由OR=1,AO^AR,AOlAR,

所以由勾股定理得：A。=AR=正，所以正方體的邊長為正？2√2,

22

所以經(jīng)過該多面體的各個頂點的球為正方體A38-E尸G”的棱切球，

所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為后x√∑=2,

故過該多面體的各個頂點的球的半徑為1,球的表面積為4兀xF=4τt.

故選：B

9.已知函數(shù)/(x)=SinΛ?(si∏Λ+cosx)-g,給出以下四個命題:

①〃”的最小正周期為兀；

②/(χ)在O《上的值域為-?,?;

③“X)的圖象關(guān)于點傳,0)中心對稱;

11σr

④“X)的圖象關(guān)于直線X=T對稱.

O

其中正確命題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

R答案1B

K解析》/(?)=sinX?(sinx+cos?)-?

「I

=sιnx?cosx+sm^x——

=—sin2x——cos2x

22

對于①：因為T=手=兀，所以/O)周期為兀，即①正確;

對于②:因為T詞,所以2X手昌匯

Λink-^e1_√2

所以SinW--γ,l

2I4j2,~2^

則/(χ)的值域為乎，即②錯誤;

對于③：因為/≠0,

所以73的圖象不關(guān)于點［9,Oj中心對稱，即③錯誤;

對于④：因為野)=冬噂=乎

為f(X)的最大值,

所以/(X)的圖象關(guān)于直線X=T對稱，即④正確;

O

所以正確命題為①④，共2個正確命題.

故選：B.

二、填空題

10.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(2T)=i,則∣5ZTI=.

K答案》√2

K解析力由z(2-i)=i,得

_i_i(2÷i)_-l+2i

z-2≡i-(2-i)(2+i)-5,

所以∣5z-i∣=5x≡^-i=|—l+i∣=√∑,

故R答案H為：√2.

11.在(l-x)5(2x+l)的展開式中，r'項的系數(shù)為.

K答案》10

K解析U依題意，(1-?)5=I-5x+1Ox2-1Ox3+5x4—X5,因此(I-X)'(2χ+l)展開式中丁項為

IOx2?2x-10√4=IOx3,

所以犬項的系數(shù)為10.

故K答案》為：10

12.已知直線Lx-y+3=0被圓C:(x—4)2+(y-2)2=4(α>0)截得的弦長為2√∑,貝IJa的

值為.

K答案》1

K解析Il依題意可得圓心c(4,2),半徑r=2,

?a-2+3?∣α+l∣

則圓心到直線的距離"=JF+(_])=二斤，

22

由勾股定理可知，d+孚j=r,代入化簡可得∣a+l∣=2,

且“〉0,解得α=l.

故K答案H為：I.

fx2-2x+l,x>0

函數(shù)如恰有三個不同的零點,

13.已知函數(shù)〃(X)=I+Xg(x)=7)-m+m[

U-4x

則機(jī)的取值范圍是.

K答案H[θ,2->^)∣{-8+2√15)

X2-2X+1,JC>0x2,x<?

〃(X)=j1+x:.Λ(l-x)=^2-x

,用，0-------X≥1

K解析》?-4x[4%-3一一,畫出〃(Ir)的圖像,

化簡，y=m(x-?)+~,故y=∕nx-加+^的必過點(Iq)，

g(x)=〃(l-x)-∕nr+。恰有三個不同的零點，即為〃(I-X)=∕nr-m+!有三個不同的實

根，作出y=。(I-X)和y=g?-m+!的圖像，

4

直線丁=如一根+!與曲線y=f(χ<i)相切時，有F-,*+加一I=。，由△=(),可得

44

n?！狝m+1=0,解得機(jī)=2—6或機(jī)=2+,又由x<l,得/=團(tuán)一:<1,故m=2+J5

4

(舍去)，

當(dāng)y=如:一機(jī)+!與曲線y=m^(χ≥l)相切時，兩圖像恰有三個交點，令

44x-3

12-x—

∕77X-∕H÷-=------,此時，解得"7=-8+2jil5,

44x-3

結(jié)合圖像可得，0<m≤2-百或加=-8+2后

故R答案H為：［θ,2-√3){-8+2√15).

14.有編號分別為1,2,3的3個紅球和3個黑球，從中取出2個，則取出的編號互不相

同的概率為;在取出球的編號互不相同的條件下，1號紅球被取到的概率為

K答案H,?

［解析D解：從編號分別為1,2,3的3個紅球和3個黑球，隨機(jī)取出2個的取法

Ce=15,

2個球編號相同的取法C；C；=3,則球的編號互不相同的取法15-3=12,

所以取出的球的編號互不相同的概率6=j∣=*?

因為球的編號互不相同的取法有15-3=12種,

其中1號紅球取到的情況有C；=4種，

所以在取出球的編號互不相同的條件下，i號紅球被取到的概率、5=V4=1/

41

故K答案》為：—;-

15.在A5C中，AB=4,AC=3,NB4C=90。，點O在線段3C上（點。不與端點氏C

重合），延長AD到P,使得AP=9,PΛ=mPB+1-pc（加為常數(shù)），

（i）若PA=APD，則4=;

（ii）線段8的長度為.

0iQ

K答案25y

K解析11如圖，以A為坐標(biāo)原點建系如圖，則B（4,0）,C（0,3）,

?l

所以AB=(4,0),AC=(0,3)

由PA=mPB+(∣?-”,PC得P4=w(Λ4+48)+(?∣-,"](PA+AC),

整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=(Sm,0)+(0,6m-9)=(Sm,6m-9),

27

由A尸=9得64>+(6m-9)2=81解得∕w=?^-或，*=0,

33

當(dāng)初=0時，PA=GPC,此時RC重合，由PA=ZIP?？傻?I=],此時CD=0,

因為點/)不與端點B,C重合，

所以CD=O不滿足題意，舍去，

當(dāng)m=∣∣EI寸，P4=(-妥,一||),P4的直線方程為y=(x,

BC的直線方程為:+5=1,

43

=

72-7221

252-5-

=21

25

2-5-

所以P。=（一1袋44,一42￡）

若PA=MD，則一63=＜會42解得4=/3

故K答案』為：|；y?

三、解答題

16.在一ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,。,c.已知a=3且

sinA+sinC_.13

--------------=2,CoSA=—

SinB14

(1)求C的值;

(2)求SinB的值;

(3)求sin(2A-g1的值.

5/.、.sinA+sinCCda+cC

解：(1)由————=2邊化角可Z得i=I一「二2,

sιnπb

又因為〃=3,所以。=2。-3,

又因為a?=力?+。2_2人。CoSA得b2+C2-■—be=9,

13

將C=?—3代入〃一亍A=9,整理得/一5加=0,

人=5或。=0(舍)，所以C?=7.

(2)由(1)得得h=5,c=l,^b2=a2+c2-2tzccosB,

則COS8="+L*9+49-2511

2ac2×3×7-I4

所以SinB=JI-COS2B=

14

(3)由余弦定理C2=。2+〃-2出?COSC,

a2+b2-c29+25-49I

得cosC=一,

2ab302

2TT

因為Ce(0,乃),所以C=子

又因為COSA=與，所以sinA=JI-COS?A=L?

1414

.C'c.“，c3√51339√3

所以sιn2A=2sιnAcosA=2×-----X——=-------,

141498

?24I-16971

coso2Λλ=2cosA-?=2×-------1=—,

19698

所以Sin(2A-g)=sin(2A-q)=；sin2A--γcos2A

139白√3718√3

=—×---------×——=-----.

29829849

17.如圖，在四棱錐尸一AB8中，AD//BC,AD±DC,BC=CD=^AD=2,E為棱AD

的中點，PAj_平面ABCZX

(1)證明：AS//平面PCE

(2)求證：平面PA8_L平面尸Bf)

(3)若二面角尸-CD-A的大小為45。，求直線AP與平面PBD所成角的正切值.

(1)證明：VBCHAEBC=AE,四邊形8CE4為平行四邊形，

.*.ABHEC,又ABa平面PeE,ECU平面PCE,所以48〃平面PC￡.

(2)證明：E4，平面ABCD,3￡＞匚平面/13。，二抬_1%)，

連接BE,：8C〃￡)E且BC=DE,二四邊形BCDE為平行四邊形，

VDElCD,3C=8=2,...平行四邊形5CDE為正方形，.?.30,EC,

又ABHEC,：.BDJ.AB,又尸AAB=A,%,ABu面∕?8,BD2面∕?B,

?.,MU面PBD,二平面PAB±平面PBD.

(3)解：VPAL^WiABCD,CDU平面ABCf),，<R4_LC￡),

又Cf>?LAO,PAryAD=A,PA,4Ou平面玄。，；.Cz)J_平面PA。,

因為PDU平面PAQ,，CD_LAO,

.?.∕PD4為二面角P-CD-A的平面角，從而Nm4=45。，所以∕?=AO=4,

作AM_LP3于M,連接M￡),

Y平面PAfiJL平面PBD,AMu平面B4S,平面PABC平面PBD=P8,

AΛ7工面PBD,所以ZADM為直線4￡>與平面PBD所成角，

在直角一RW中，AB=CE=2近，PA=4,PB=2√6,，

…PA-AB4×2√24√3

√A∕r/———，

PB2√63

因為AMl面PBQ,DMU面PBD,所以AW_LDM,

22

在直角j,AΛ">中，AD=4,AM=^-,DM=y∣AD-AM=,

33

二IanZADM=—,

2

則直線Ao與平面尸8。所成角的正切值為

2

18.己知等差數(shù)列｛%｝的前."項和為S“，且&=45,/+34=40.數(shù)列物“｝的前”項和為

Tn,滿足37；+1=4〃.

(1)求數(shù)列｛%｝、也｝的通項公式;

(2)若的-2),求數(shù)列｛q,｝的前〃項和力；

4,?4,+ι

(3)設(shè)4,=》，求證：￡口＜8-黑土

UnA=IZ

(I)解：因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

+吆"=45

α+3a=40得<''∣aA+2d=9Jq=5

由S5=45242解得

2a+5J=20[d=2

q+d+3。]+94=401

所以a〃=q+(〃—l)d=5+2(〃-1)=2〃+3,

由31+l=42得34+1=44，得4=1,

當(dāng)“≥2時，3%+1=4%,

所以37；+l-37LτT=44-4%,

所以3bn=4bn-4?π.1,即bll=4給(〃≥2),

又仇=IW0,所以%=4(ZJ≥2),

?J-1

所以數(shù)列出J是首項為1,公比為4的等比數(shù)列，所以"=4"T.

綜上所述：數(shù)列仇｝、

｛2｝的通項公式分別是：an=2n+3,2=4"T

w,

(2)解:由⑴知,an=2n+39bn=4^

所以▼如a4"∣(6"+7)4〃T4”、

(2〃+3)(2〃+5)2n+32π÷5;

40444242434"T4"

所以R,,=Cl+C2++------------------

T^77"T^9"^1T2〃+32〃+5

14”14”

——+--------

5-2H+552n+5

(3)證明：由(1)知，S“=5〃+〃(〃-％2=，+4〃,

2

Sn2+4〃

所以4，=力

H+H÷4C

〃+2

所以口=/72+4π_∣n(n+4)

y<2

4M^,2〃一|

所以，揚=M+M+r-r1+22+23+2/7+2

+向下+〒+,4----2--〃-T--

A=I

、RAzf1+22+23+2n+2

設(shè)吃=下+亍+亍++

2"τ'

1,,1+22+23+2〃+2

貝rηl仁心=-^+-^-+?++------

2n

所以=3+→^-+1/1+2

H------:—

2"^l2”

〃

所以51此=3+^—O2M--I-J------+-2=3÷1-1n+2

r^r--r^,

1^2

2/2+2=8-賽

所以M“=8---

所以t.<8-黑?

?=1乙

19.已知橢圓uW?+"=l(o>b>0)的離心率e=也，短軸長為20，橢圓C的左焦點

ab2

為F,右頂點為A,點5在橢圓位于X軸上方的部分,

(1)求橢圓C的方程：

(2)若直線43的斜率為-2,求弦AB的長度：

(3)若直線AB與y軸交于點。，點E是y軸上一點，且滿足直線AE與橢圓

C交于點G.是否存在直線A3,使得二ABG的面積為2,若存在，求出直線AB的斜率，若

不存在，說明理由.

￡_72

α^V

解：(1)由題意可得,2?=2√2,

a2-b2+c2

4=2

解得“=&,

c=√2

所以橢圓C的方程為工+2=]；

42

(2)由(1)可知4(2,0),*-夜,0),設(shè)B(XB,y,J,直線A8的方程為

y=?(x-2)(^<0),

目+t=1

由,42得(1+2公b2-8人+8卜2一4=0,

y=Mx-2)

r-r→IU8?,^—48公

所以/?/=2

?IZ.K

隊2

2222λ8?-4

所以IABl=71+Λ^(XA+xfl)-4XAXB=?∣i+k-4×--------

1+2吃?+2k1

=3曲小

2

(3)由(2)可知X42_4即XB=4^kL-2

*8?+lk2b?+2k2

4?2-2-4k(4/_2-4k]

所以為=%1+2如''R1+2公7+2公J

?+2k1

直線AB的方程為y=*(x-2)(左<0),令X=O,解得y=-2R,即￡>(0,-2人),

設(shè)E(0,%),由題意有所?OF=(-應(yīng),-拄)?(-夜,2k)=2-2佻=O,

解得%=(,即E]，：｝

V

進(jìn)而可得直線AE的方程為萬+6=1,

-->-)

工+上=1

由42得(l+2∕)y2-4收=0,

.f+砂=1

4k2-^k2

解得先=E,進(jìn)而％=E

4?2-2-4k]J2-4k24k

因為81+2公)'°11+2產(chǎn)

l+2jt21+2公

所以B,G關(guān)于原點對稱，故直線3G過原點,

所以SM=T|。Al帆-%∣=Jx2x-4?4?ι?=?<θ)-

I+2?2^l+2?2

2

當(dāng)S.AeC=E^=2(A<0)時,Bp2?+4?+l=0(λ<0),

解得人-4±淅=-4±2&=A,

442