2023屆高考數(shù)學(xué)沖刺必刷押題密5卷（解析版）

2023屆高考數(shù)學(xué)沖刺必刷押題密05卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

1.集合4={》|（2-司（4-司（8-%）＞0,尤eN+},8不為空集，5uA,若8中的元素之和為

奇數(shù)，則滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】先根據(jù)題干得出集合4再分個(gè)數(shù)討論8集合，即可得出滿足條件集合個(gè)數(shù).

【詳解】A={x|（2-x）（4-x）（8-x）＞0,xeN+}={l,5,6,7},

8不為空集且3uA,

若8中的元素之和為奇數(shù)，

當(dāng)集合B有四個(gè)元素則B可以為{1,5,6,7},

當(dāng)集合B有三個(gè)元素則B可以為{1,5,7},

當(dāng)集合B有兩個(gè)元素則B可以為{1,6},{5,6},{7,6},

當(dāng)集合B有一個(gè)元素則3可以為{1},{5},{7},

則滿足條件的集合8的個(gè)數(shù)為8.

故選:D.

2.復(fù)數(shù)[焉與下列復(fù)數(shù)相等的是（）

【答案】B

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項(xiàng)的形式判斷正誤即可.

【詳解】由題設(shè)，二^=—2E+6I）=.+gi=cos\+ising,故A、C、D錯(cuò)誤；

1-V3i（1-V3i）（l+V3i）2233

而cos（_5j+isin]_?]=cos5+isin。，故B正確.

故選：B

3.已知數(shù)列{%}是等差數(shù)列，數(shù)列也}是等比數(shù)列，若為+4+&=5兀，白貼6=3內(nèi)，則

ax+%

tan)

1—K2bO,

旦

A.有B.-百C.D.

3

【答案】A

【分析】利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得如音、％=技進(jìn)而可得4+%=*她=3，

代入目標(biāo)式求正切值即可.

、、5兀10兀

【詳解】由。2+。4+。6=3。4=5兀，故〃4=}-，則%+%=%+%=3

瓦b4b6=，=36，故“=6，則8%=3,

一a,+a./5兀、271r-

所以tanFe（一石）-an寸色

故選：A

4.現(xiàn)代建筑物的設(shè)計(jì)中通常會(huì)運(yùn)用各種曲線、曲面，將美感發(fā)揮到極致.如圖所示是位于深

圳的田園觀光塔，它的主體呈螺旋形，高15.6m,結(jié)合旋轉(zhuǎn)樓梯的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了建筑中的數(shù)

學(xué)之美.某游客從樓梯底端出發(fā)一直走到頂部.現(xiàn)把該游客的運(yùn)動(dòng)軌跡投影到塔的軸截面，得

到曲線方程為y=Asin(s+e)(A>O,0>O)(無(wú)，y的單位：m).該游客根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)整個(gè)運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中，相位的變化量為?兀，則。約為()

A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85

【答案】A

【分析】根據(jù)建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表達(dá)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程的位移變化量，即

可計(jì)算出。的值.

【詳解】由旋轉(zhuǎn)樓梯高為15.6m知，投影到軸截面上后，

對(duì)應(yīng)曲線〉=4$皿的+夕)(4>0,0>0)中，游客移動(dòng)的水平距離是15.6,

:初始時(shí)游客在最底端,

...當(dāng)x=0時(shí)，初相為

???整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相位的變化量為牛兀，且最后游客在最高點(diǎn),

4

，最后的位置15.60+0，

/.15.6刃+"一夕=口兀，

解得：。。0.55,

故選：A.

5.已知w>0,函數(shù)小)=3可卬尤+3-2在區(qū)間pn上單調(diào)遞減，則w的取值范圍是

()

A.f0,-B.(0,2]C.D.

【2」'」[24」[24J

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間

建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.

■、工fr-nfc,兀,兀,er37r.ZQ2kit712%兀57r

【詳角牛】由2^71H—wxH—K2%兀H、kGZ,------1-------------------1-----,k￡Z

242w4ww4w

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為---+~+■、keZ,

_w4ww4w_

令k=o,則函數(shù)f(x)其中一個(gè)的單調(diào)遞減區(qū)間為：肅，工，

函數(shù)/(%)在區(qū)間g兀內(nèi)單調(diào)遞減，

則滿足*，得:，所以W的取值范圍是.

兀/兀/424

——<—w<—

〔4卬2〔5

故選：D.

22

6.已知雙曲線C：3-4=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,尸為C右支上一點(diǎn),

與C的左支交于點(diǎn)。.若l?QI=|PKI,則C的離心率的取值范圍是(

A.(1,3]B.(2,3]C.(75,3]D.(2,出1

【答案】C

【分析】由雙曲線的定義可得。6=2”，結(jié)合余弦定理及雙曲線性質(zhì)可得

PF,=>c-a,化簡(jiǎn)求范圍即可.

2c2-5a2n

【詳解】

F2x

由題意易得：PF「PF?=PQ+QF「PF?=QR=2a,所以。工=4a

(m+2<2)2+m2-4c2m2+m2-16a2

設(shè)/月?工=6,PF2=m由余弦定理可得cos。=

2m^m+2a)W

則02-5°2>Qne>亞

設(shè)點(diǎn)尸伍,為）52。），則Jo=〃"今=（x（）-c）2+￥=（用-。）2,

^m=exQ-a>c—a

所以2；5Nc-〃n(e+l)(e+l)(e-3)W0=>eV3,故e￡(?,3].

故選：C

0204

7.已知〃=——，/?=—(e?2.718),c=sin0.1,則()

7ie

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

jr

【分析】作差法可得出。泊.構(gòu)造函數(shù)〃尤）=2x-7tsin尤，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)在0,-上的單

O

調(diào)性，即可得出。<。，進(jìn)而得出答案.

【詳解】由已知。-6=絲-學(xué)=嗎1-2兀），

又e?>2.7?=7.29>2兀，

所以，a-b>0,所以a>b.

令/(%)=2犬—兀sinxxG%,則)=2-7lCOSX.

兀

4*g（^）=2-7icosx,貝lj8'（九）=湛11%20在0,—上恒成立,

JT

所以g（x）=2-兀cosx在0,—上單調(diào)遞增，

JT

所以，/'（x）=2—7icos%在0,—上單調(diào)遞增.

|_6_

又/（胃=2一兀吟=2一字<0,

所以，/'（“<0在%上恒成立，

7T

所以，/（九）=2x—7isin尤在0,—上單調(diào)遞減.

6

X/（O）=O,0<0.1<-,所以有/（Ql）=0.2—7tsin0.1<0,

6

02

即0.2<7isin0.1,整理可得一vsinO.l,

71

所以a<c.

綜上所述，b<a<c.

故選：B.

8.己知三棱錐S-ABC的底面4BC是等邊三角形，平面SACL平面A8C,

SA=SC,ZASC=90°,M為SB上一點(diǎn)，且AM_LBC.設(shè)三棱錐S-ABC外接球球心為。，

則（）

A.直線。MJ_平面SAC,OA±SBB.直線OA/〃平面SAC,OA±SB

C.直線。A/_L平面SAC,平面。4M_L平面SBCD.直線OM〃平面SAC,平面0AMJ.

平面SBC

【答案】D

【分析】畫出幾何圖形，根據(jù)題意先找出ABC和S4C的外心，通過(guò)兩個(gè)外心與平面的位

置關(guān)系確定出球心位置，再根據(jù)線面垂直判斷OA與SB的位置關(guān)系，繼而可判斷平面0AM

與平面SBC的位置關(guān)系，最后根據(jù)線線平行判斷出直線與平面&4C的位置關(guān)系.

【詳解】第1步：判斷。4與SB的位置關(guān)系，

如圖，取AC的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)月

連接AF,BE,設(shè)AF與BE的交點(diǎn)為。，連接OM,

則。為d4BC夕卜心,E為S4c外心，

因?yàn)槠矫?4C_L平面ABC,

所以。為三棱錐S-4BC外接球球心，

因?yàn)镾EJ_4C,BEYAC,SECBE=E,

所以AC_L平面SBE,

又SBu平面所以AC_LS8,

假設(shè)OA_LS8,因?yàn)锳CcQ4=A,所以SB_L平面ABC,

如圖顯然SB不垂直于平面ABC,所以O(shè)A不垂直于SB,故A、B錯(cuò)誤;

第2步：判斷平面0AM與平面SBC的位置關(guān)系，

因?yàn)锳M_LBC,AFLBC,AMAFA,

所以BC_L平面AMR

又3Cu平面SBC,

所以平面0AM_L平面SBC；

第3步：判斷直線0M與平面SAC的位置關(guān)系，

因?yàn)锳C_L平面SBE,所以AC_L0M,

因?yàn)?C_L平面所以BC_LOM,

又ACBC=C,所以0M_L平面ABC,

又SE_L平面ABC,所以O(shè)M〃SE,

所以直線0M〃平面SAC,故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)儲(chǔ)石分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，已知?！词?A)<1,O<P(B)<1,則下列說(shuō)

法正確的是()

A.P(B|A)+P(B|A)=I

B.P(B|A)+P(B|A)=O

C.若A,B是相互獨(dú)立事件，則尸(A⑻=P(A)

D.若A,8是互斥事件，則P(B⑶=P(B)

【答案】AC

【分析】計(jì)算得AC正確；當(dāng)42是相互獨(dú)立事件時(shí)，尸(叫力+尸修同=2尸⑻/0,故

B錯(cuò)誤；因?yàn)锳,B是互斥事件，得尸(叫A)=0,而尸(8)e(0,1),故D錯(cuò)誤.

【詳解】解：P(冏力+P(引力=曳號(hào)篙些=鼠=1,故A正確；

當(dāng)43是相互獨(dú)立事件時(shí)，則P(叫力+尸伍區(qū))=2尸⑻/0,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?8是相互獨(dú)立事件，則P(AB)=尸⑷PCB),所以尸(4忸)=’黑=尸(4),故C正

確；

因?yàn)锳,8是互斥事件，尸(AB)=O,則根據(jù)條件概率公式尸(叫A)=0,而為A-(0,1),故

D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e)(其中。＞0,|同＜],T為〃尤)圖象的最小正周期，滿足

兀T

，且/'(X)在(0,兀)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有()

71

A.（D=------

6

B.為奇函數(shù)

1117

C.——＜a）＜——

66

D.若0eN*,則直線y=為/(x)圖象的一條切線

【答案】BCD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得?=-[,工，繼而可判定各選項(xiàng).

366

【詳解】因?yàn)?[曰=/]3，T=胃,所以sin(7i+0)=sin1+d,

則71+9=1+0+2fal(不符題意，舍去)或兀+夕+了+"=2(也+5)

故夕=也一1，而M＜g,貝l]°=T，即A錯(cuò)誤；

DZJ

y=/1x+Wj=sin(0x),Wsin(-cox)+sin(＜yx)=0,所以是奇函數(shù)，B正確；

由/(x)=sin^x-^在(0,冷恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得

3兀兀，5兀11,17JX.「十也

一＜am——＜一一，故C正確；

23266

當(dāng)oeN*時(shí)，由上可得0=2,即/(x)=sin(2尤一.),則尸(x)=2cos(2x-1^

當(dāng)x=0時(shí)，尸(0)=1,〃0)=-3，則＞=式_也是〃x)=sin(2尤-1的一條切線，即D

正確.

故選：BCD

11.已知函數(shù)/'(x)=￥，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，貝U()

A./（2）＜/（3）

B.若x^wc2=%，貝U玉+%=2e

c.“X)的最大值為:

11

D."0<x<2”是“爐<(x+1產(chǎn)”的充分不必要條件

【答案】ACD

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大值，判斷AC,由特殊值判斷

B,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷D.

【詳解】尸(無(wú))=r(x)=O=>x=e,

當(dāng)0<x<e時(shí)，/^x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時(shí)，r(x)<0,“尤)單調(diào)遞減，

e<3<4,.?.〃3)>〃4),

〃4)=號(hào)=殍=〃2),.?.〃2)<〃3),故A正確;

由單調(diào)性可知，當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值〃e)=L故C正確；

e

若玉In%=X21n%，則三1二竽1，即〃石)=/(%2)，

由/⑵=〃4)可知，2+4w2e,故B錯(cuò)誤；

1人pin%ln(x+l)

不寸式丘<(1+1尸+1"仿于工'<7+］，

當(dāng)0<xKe—l,l<x+l<e,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在(0,e］單調(diào)遞增，

所以〃x)<〃x+l),即故/<(x+i)5，

當(dāng)e-l<%<2時(shí)，貝！Je<%+1<3,

因?yàn)楹瘮?shù)八%)在(。目單調(diào)遞增，在(e,3)單調(diào)遞減，

〃x)<〃2),/(x+l)>/(3),又〃2)<〃3),

所以〃x)</(x+l)，即k<(x+l)新，

11

所以當(dāng)?！从?lt;2時(shí)，行<(x+1)獲，

故"0<%<2"是“/<a+1啟”的充分條件，

1111

又因?yàn)?3<32,所以(23尸<(32尸，即25<3號(hào)，

11

即x=2時(shí)，尸<(x+l)就也成立，

故"0<x<2"不是“/<(x+1)+”的必要條件，

11

所以“0<無(wú)<2”是“廣<(X+1)才’的充分不必要條件，D正確.

故選：ACD.

12.已知數(shù)列｛%｝為公差為d的等差數(shù)列，也』為公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列.記

、=%+%++3,,G.=標(biāo)E。,,=巷（。*-4）2,F.y則（）

nnk=\nk=\5

n1

參考公式：=I123+22++/=—〃（〃+1）（2〃+1）

.kA6

7

A.當(dāng)月=5時(shí)，q=2B.當(dāng)。5=2時(shí)，D7=4

弋13

C.0D，4瓦萬(wàn)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式一一計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意易得：當(dāng)〃=3時(shí)，Gs=我函=d，F(xiàn)3=1+1+4=]

顯然2時(shí)，瑪w7],故A錯(cuò)誤；

15

對(duì)于B項(xiàng)，由題意易得：。5=2=^X(4-%)=2d2nd2=],

3k=\

17

即。7=亍￡(4-〃4)2=4/=4,故B正確；

/k=\

（〃T）

="q2'q"'

1

2若=1,

n

當(dāng)且僅當(dāng)偽=8=…d時(shí)取得等號(hào);

2x^+1

=1,

當(dāng)且僅當(dāng)4=包=...￡時(shí)取得等號(hào);

故C正確；

"(q+a“)

對(duì)于D項(xiàng)，由已知得:2q+4，

4=

n2

故與”=+ta-"R=￡\(i2+22+-+R)k(k+l)d2

十1后=]乙乙K十13

故裂項(xiàng)可得：六=*)-士,.),

LL-V1S33(11111>3k3—A

所以'萬(wàn)二=,而南=”〔e+5v+…》一廬.幣</，故IZD正確；

故選：BCD

【點(diǎn)睛】本題考察數(shù)列的綜合，需要較高的計(jì)算能力與邏輯思維能力，屬于壓軸題.

C項(xiàng)的關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)得G,產(chǎn)眄,再將以用基本不等式分類討論求最值；

D項(xiàng)的關(guān)鍵在于利用條件化簡(jiǎn)得%’,=生也，再用裂項(xiàng)相消求和判定不等式.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。

13.甲、乙、丙3名同學(xué)在《將相和》《沙家浜》《紅燈記》中選擇一個(gè)觀看，若甲單獨(dú)選擇

一個(gè)劇目觀看，則甲、乙、丙3名同學(xué)觀看的劇目各不相同的概率為,

【答案】1/0.5

【分析】記“甲獨(dú)自選擇一個(gè)劇目觀看”為事件A,記“甲、乙、丙3名同學(xué)觀看的劇目各不

相同”為事件B,再利用條件概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記“甲獨(dú)自選擇一個(gè)劇目觀看”為事件A,

記“甲、乙、丙3名同學(xué)觀看的劇目各不相同”為事件B,

則尸網(wǎng)=于［，P(.)=苧故「但田=需=1.

故答案為：■

14.在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不等的外離的球&與球。2,半徑分別為r和R,且R=4r,使

得它們與圓錐側(cè)面和截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于點(diǎn)E,F,在截口上任取一點(diǎn)A,

又過(guò)點(diǎn)A作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn)8,C,則可知線段4E,A尸的長(zhǎng)度之和為常

數(shù).若圓錐軸截面為等邊三角形，則截口曲線的離心率是.

【答案】叵

9

【分析】取兩球與圓錐同一母線上的切點(diǎn)G,"，連接qG,OJ/,O/，aE,連接&S交所于

點(diǎn)K,則有S0|=2r,SO2=8r,GH=35,從而得點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)瓦尸為焦點(diǎn)的橢圓，

且2a=GH=g(R-r)=3gr,2c=EF=\ZTTr,再由離心率的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示：

取兩球與圓錐同一母線上的切點(diǎn)G,a,連接連接02s交囪于點(diǎn)K,

所以加。2=9不

因?yàn)閳A錐軸截面為等邊三角形,

2Jo

」一=后SH=5良—^―=y/3R=4后so3‘一=2廠

所以tan71717171.71.71

tan—tan—tan—sm—sin—

666666

soi」-=2尺=8廠

.71.71

sin—sin—

66

cc_GH_6(R-r)_

l2

所以GH=SH-SG=瓜區(qū)-r)=3拒r,°°~兀一兀"(Rr)-6r

cos—cos—

66

由題意可得AE=AC,AF=A8,所以AE+AF=AB+AC=G8=G(R-r)=3^r,

所以點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)區(qū)產(chǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=6(7?-r)=36廠,

O,KFK0Fr1

NSFKZOZEK，所以方：=6=寸}石=方=丁

C79AzSAU?乜K4

又O|K+O,K=002=2(R_r)=6r,所以(^K=2"("一”=—,OK=2'(、一廠)=—

R+r5tR+r5

A，(3R-r)(R-3r)4而r'FK=EKq[EK=^

所以EK=也曉-/=

R+r5

所以￡F=EK+FK=JHr,即有2c=JHr，

g、[看、％c2c

所以離心率e=—=—=V2lLT^r="2LI^=V-3-3.

a2a3V3r3A/39

故答案為：與

15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（1,。）,3（3,a+4）,若圓Y+y=4上有且僅有四個(gè)

不同的點(diǎn)C,使得一ABC的面積為喬，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【分析】求出AB的長(zhǎng)度，直線方程，結(jié)合△ABC的面積為若，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離

進(jìn)行求解即可.

【詳解】由已知可得，A3的斜率左）二丁=2,|AB|=7（3-l）2+（。+4-=2A/5.

又.ABC的面積為百，所以點(diǎn)C到直線A3的距離d=&喳=1.

2V5

直線AB的方程為y—a—2(x—1),即2x—y+a—2=0.

\a-2\y[5\a-2\

貝!J圓心。至！J直線2x—y+a—2=。的距禺4=/??=z

V22+(-l)25

交圓。于點(diǎn)D.

因?yàn)閳A/+y2=4上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C,使得ABC的面積為

又點(diǎn)C到直線的距離1=1,

則應(yīng)有口目>1,所以|0E卜r-\DE\=2-\DE\<l,

即點(diǎn)0到直線AB的距離小于4<1,

所以有6"一2]<],

5

解得2-逐<°<2+右.

故答案為：（2-石,2+石）.

16.在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，上4,底面ABCD,AB=2,BC=3,

PA=3/,HE為棱外的中點(diǎn)，則三棱錐E-PCD的體積為；若四棱錐P-ABCD

所有頂點(diǎn)均在球。的球面上，過(guò)點(diǎn)E的平面截球。所得的截面面積的最小值為.

【答案】巫子

24

【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用等體積法求體積；利用補(bǔ)全法得出四棱錐外接球即為

長(zhǎng)方體的外接球，當(dāng)OELc時(shí)，截面積最小，再利用圓的面積公式即可求解.

【詳解】依題意，作出圖形如圖所示

所以展8=京小=""=9992'3乂3若=乎.

乙乙乙J乙乙

將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，易知該長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐尸-鉆⑦的外接球,

如圖所示

因?yàn)镻C為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,

所以球心。在尸C的中點(diǎn)上，

設(shè)平面a為過(guò)點(diǎn)E的球。的截面，則當(dāng)OE_La時(shí)，截面積最小,

因?yàn)辄c(diǎn)E為棱上4的中點(diǎn)，P、C在球面上，

所以過(guò)點(diǎn)E的球0的截面圓的半徑,=%=巫,

22

所以過(guò)點(diǎn)E的平面截球。所得的截面面積的最小值為“2=兀義(吧]

故答案為：手277t

~4~

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是第一問(wèn)利用等體積法；第二問(wèn)利用補(bǔ)全法，得出長(zhǎng)方

體的外接球即為四棱錐尸-ASCD的外接球，當(dāng)時(shí)，截面積最小，再利用圓的面積

公式求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/(x)=2道sinxsin+1,

⑴求函數(shù)的最值；

⑵設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若〃A)=2,6=2,且

2sinB+sinC=V?sinA,求一ABC的面積.

【答案】(1)最大值為2,最小值為-2

⑵越或走

23

【分析】(1)把f(x)化為“一角一函數(shù)”的形式：先用誘導(dǎo)公式把角化為無(wú)，再用二倍角公式

把二次項(xiàng)化為一次項(xiàng)，同時(shí)把角化為2x,最后用輔助角公式把函數(shù)名化為正弦，即可求出

函數(shù)的最值；

(2)先求出角A,由余弦定理得到關(guān)于。,。的方程，再由正弦定理把己知的方程化簡(jiǎn)為含a，。的

方程，聯(lián)立方程組即可解出4c的值，再代入三角形的面積公式即可.

【詳角率】(1)因?yàn)?(x)=2A/5sinxsin(/+x]-2c°sxsin]/—x]+1

=2#)sinxcosx-2cos2x+1=A/3sin2x-cos2x

=2sin12x—?),

所以/(%)的最大值為2,最小值為-2.

（2）結(jié)合⑴可知〃A）=2sin（2AqJ=2,所以sin12Aq）=1.

因?yàn)锳e（O,i）,所以2A-?學(xué)］,

6I66/

mic4兀TC.TC

則2A一"=二,4=；

623

由余弦定理得cosA="+廠一—=4+。2-。2=j_,

2bc4c2

化簡(jiǎn)得Y=C2—2C+4①.

又2sin8+sinC=J7sinA,由正弦定理可得23+c=,即4+c=J7a②.

結(jié)合①②得。=夜,。=3或a=32c=2.

33

c=3時(shí),SMC=gbcsinA=乎；c=|時(shí)'SAABC=^bcsinA=-.

綜上，一至C的面積為越或亞.

23

18.設(shè)對(duì)任意〃cN*,數(shù)列｛%｝滿足。<%<1,%<〃仍+2，數(shù)列｛，〃｝滿足%=冬見(jiàn).

冊(cè)

⑴證明：｛%｝單調(diào)遞增，且C“<1;

2

⑵記d=笛乜-馬」，證明：存在常數(shù)八使得￡>*</.

an+\anan+2k=\

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由4"=與善>1可證明單調(diào)性，由反證法即可證明％<1,

Cnan+l

（2）由裂項(xiàng)求和即可求解.

【詳解】（1）證明：由于％=也，則皿=4乜?&=g%>1,

a

nC"an+lan+l?！?|

所以%M>C“，即｛4｝單調(diào)遞增.

假設(shè)存在左eN*,使得QW1,則%%金（，+1廣，

ak+l

所以a.”24+i（%J"：

不妨取"左+log/—，即（，+J">L，即aM-（/+>1,則??+1>1,這與任意〃eN*,

ak+\ak+i

恒成立相矛盾，故假設(shè)不成立，所以C"<1.

2

(2)由(1)有0<c“<l,又b“=笠乜一旦」，所以

aa

"〃+1nn+2

2〃

故可取”一，即有

C\k=\

19.如圖，在三棱柱ABC-$與6中，AC=與AB=1,E,尸分別為AQ,3片的中點(diǎn),

且EFL平面AAGC.

(1)求棱BC的長(zhǎng)度；

(2)若2耳，44,且△ABC的面積SMFC=］，求二面角4-AF-C的正弦值.

【答案］⑴1

⑵立

2

【分析】(1)根據(jù)平行關(guān)系可得取DB,再結(jié)合垂直關(guān)系可得加，AC,即可得結(jié)果;

(2)根據(jù)題意分析可得8月，平面ABC,AAi=2,建系，利用空間向量求二面角.

【詳解】(1)取AC中點(diǎn)。，連接即，BD,

?.?D,E分別為AC,AC的中點(diǎn)，則DEAA且。E=：A4,,

又?.?ABC-44。為三棱柱，且F分別為陽(yáng)的中點(diǎn)，貝|斯AA1MBF=1A41,

可得DEBF且DE=BF,即四邊形。為平行四邊形，故所DB,

又：防立平面A41cC，則。8,平面例GC,

ACu平面A41cC，可得。3J_AC,

又：。為AC的中點(diǎn)，則△ABC為等腰三角形，

???BC=AB=}.

(2)由(1)可知：BC=AB=l,且AC二行，即筋2+5。2=人。2,

???AB1BC,

則可得斯=。2=變，且44,耳￡，

2

???￡F1平面A41G。，ACu平面A41c0,則

?,SMFC=；AC.EF=g.乂與=與,解得4c=2，

由(1)知平面AAGC,A4,U平面AAGC,則DBLA4,,

又AAtBB[,則DB±BB}

又耳，AB4片，貝

ABDB=B,A8,r)8u平面ABC,

BBi±平面ABC,

ACu平面ABC,貝!J881J,AC,

且AABB},可得AA，AC,

.?.△A41c為直角三角形，則A4,=/41c2-3=&,

以耳為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量4G，4A，耳8方向?yàn)閄軸，y軸，Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系與一孫z,

則旦(0,0,0),a(0,1,0),q(1,0,0),c(i,o,@,B(O,0,5/2),尸0,0,當(dāng)，

.,.TL'AAF=—yH-----z=0

設(shè)平面A/C的一個(gè)法向量為4=(x,y,z),貝葉"G2

令y=l,貝Ux=-l,z=0,可得

?.?平面片A/的一個(gè)法向量為%=(1,0,0),

設(shè)二面角BX-\F-C的平面角為6e(0,兀)，

sin0="s/1-cos20-

故二面角4-A尸-c的正弦值為且.

2

20.某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原

料成本y（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

X12345678

y56.53122.7517.815.9514.51312.5

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖,兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型y=2b和

X

指數(shù)函數(shù)模型y=c*分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸

方程為y=48.376e-,gy與％的相關(guān)系數(shù)4=-0.929.

（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001）,并用其估計(jì)產(chǎn)量為

10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；

（3）根據(jù)企業(yè)長(zhǎng)期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)歹作為〃的

估計(jì)值"，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計(jì)值0,若非原料成本y在（〃-b,//+b）之外，說(shuō)明

該成本異常，并稱落在（〃-GM+。）之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原

因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？

1

參考數(shù)據(jù)（其中%=一）:

8888

—2

UUz%X"/70.61x1545.555V193.194

Z=11=1i=li=l

0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（X21）,（%，%），…，（%，％），其回歸直線亍=&+菽的斜率和截距的

^x^-tix-y

最小二乘估計(jì)公式分別為：---------，a=y-bx,相關(guān)系數(shù)

￡￥-rix2

i=l

J(x,.-x)(x-y)

Z=1

【答案】⑴…+三

（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元,

（3）見(jiàn)解析

1b

【分析】（1）令〃=—,貝!Jy=〃+t可轉(zhuǎn)化為丁=。+萬(wàn)"，求出樣本中心，回歸方程的斜率,

XX

轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，

（2）求出y與一的相關(guān)系數(shù)。通過(guò)比較同，聞，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，

然后將x=10代入回歸方程中可求結(jié)果

（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標(biāo)準(zhǔn)差S,從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布N（23,13.9z）,

再計(jì)算+然后各個(gè)數(shù)據(jù)是否在此范圍內(nèi)，從而可得結(jié)論

1b,

【詳角犁】（1）令〃=一，貝!!y=〃+—可轉(zhuǎn)化為y=a+，

xx

因?yàn)槎?=1384=23,

O

8__

93.06-8x0.34x23“

所以.上i----------------------------------;—=50,

~221.53-8x0.342

〉//一Su

Z=1

所以&=亍一百￡=23—50x0.34=6,所以y=6+50”,

所以y關(guān)于尤的回歸方程為y=6+型

X

8

因?yàn)橛谩赐杂梅幢壤瘮?shù)模型擬合效果更好，

把x=10代入回歸方程得y=6+1^=ll(元)，

所以產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元

-184

(3)因?yàn)槎?丁=23,所以〃=23,

8

因?yàn)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差為

上(5777.555-8x23x23)=J-X1545.555aJ193.194=13.9,

V8

所以。=13.9,

所以非原料成本y服從正態(tài)分布N(23,13.92),

所以(M-cr,〃+cr)=(23-13.9,23+13.9)=(9.1,36.9)

因?yàn)?6.5在+切之外，所以需要此非原料成本數(shù)據(jù)尋找出現(xiàn)異樣成本的原因

21.如圖，在矩形43。。中，|45|=8,忸。=6,E,F,G,H分別是矩形四條邊的中

點(diǎn)，R,R分別是線段OF,CF上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足幽+四=1.設(shè)直線班與GR相交

43

(1)證明：點(diǎn)尸始終在某一橢圓上，并求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)S,T為該橢圓上兩點(diǎn)，T關(guān)于直線曠=》的對(duì)稱點(diǎn)為。，設(shè)百且直線MS,

MT的傾斜角互補(bǔ)，證明：OK。。為定值.

22

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，土+匕=1

169

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）設(shè)夫（，％0）,R（4,〃），P（x,y）,求直線面,GR的方程，結(jié)合條件消去參數(shù)

可得點(diǎn)尸的軌跡方程，由此證明結(jié)論；

（2）先證明點(diǎn)”在橢圓上，利用點(diǎn)差法證明9義工4+16入二組=0,

%+%玉一%

9呼+165^°，結(jié)合條件證明結(jié)論?

【詳解】（1）由題意—0,-3）,F（4,0）,G（0,3）,設(shè)R（〃0）,R（4㈤,P（x,j）.

3

直線￡7?的方程為＞=—x-3,①

m

直線GR的方程為〉=廳》+3,②

4

聯(lián)立①②，得匕口.212=F口

xx4m

/-93n-9，整理得就，+3?

即

尤24m

因?yàn)楫a(chǎn)”所以鬻也因此得到巨?！?/p>

22

這就證明了點(diǎn)P（x,y）在橢圓上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1.

169

⑵因?yàn)樯鷣?」口=1,所以在橢圓匚匚1上.

169UJI2）169

記.設(shè)S（x,,yJ,7（%,%），則。（必,々），

故OS?OQ=（占,%）?（%,%）=M%+%%.

因?yàn)橹本€MS,MT的傾斜角互補(bǔ)，所以上二%+%二為=0,③

x1-x0x2-x0

即xly2+x2yl+25%=%（%+%）+%（玉+馬）.④

由9x；+16y；=9x16,9,+16誦=9x16,

得9（玉2_君）+160；-y；）=。，所以9X*+16*=0.⑤

必十M）—xo

同理,由9x；+16y；=9x16,9年+16士：=9x16,

得9&±^+16止比=0⑥

%+%Z-x。

⑤+⑥，并結(jié)合③，可得二出+玉上=0.

%+%必+%

整理得%%+.X+2%%=—%(%+%)-％(菁+9)?⑦

④一⑦，得%(％+%)+%(%+々)=。，

故為%+々乂=-2%%.

所以。5?。。=—2%%=-6指，即OSOQ為定值.

【點(diǎn)睛】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一小問(wèn)通過(guò)求兩直線方程，利用交軌法求其交點(diǎn)的軌跡方程,

第二小問(wèn)利用設(shè)點(diǎn)法，結(jié)合點(diǎn)差法確定點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，由此完成證明.

22.函數(shù)〃尤)=；/+ox—(依