河南省高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測（五）數(shù)學(xué)（理科）試題

2020～2021年度河南省高三質(zhì)量檢測(五)數(shù)學(xué)(理科)考生須知：本試卷滿分120分，考試時間為120分鐘.答題前，考生先將自己的“姓名”、“考號”、“考場”、“座位號”在答題卡上填寫清楚，將“條形碼”準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).請按照題號順序在答題卡各題目的區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效；在草稿紙上、試題紙上答案無效.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.保持卡面整潔，不要折疊、不要弄臟、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第I卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分.出60分在每小潁給出的四個選項中.只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A．B．C．D．2.已知復(fù)數(shù),若在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．3.若向區(qū)域內(nèi)隨機投點,則該點落在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A．B．C．D．4.若滿足約束條件，則的最大值為（）A．B．C.D．5.正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素,加上它們的多種變體,一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一。如圖,該幾何體是一個棱長為的正八面體,則此正八面體的體積與表面積之比為（）A．B．C.D．6.已知，且，則（）A．B．C.D．7.展開式中的系數(shù)為（）A．B．C.D．8.若函數(shù)在上有極值點,則的取值范圍為（）A．B．C.D．9.已知分別為橢圓的左、右頂點，是橢圓上的不同兩點且關(guān)于軸對稱，設(shè)直線的斜率分別為，若.則該橢圓的離心率為（）A．B．C.D．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則（）A．B．C.D．11.已知二次函數(shù)滿足，且，對任意，成立，則的取值范圍為（）A．B．C.D．12.已知雙曲線的左,右焦點分別為,點是雙曲線上的一點,若,且外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比為,則雙曲線的離心率為（）A．B．C.D．第II卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知平面向量，且，則．14.定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù),若,則的取值范圍為．15.如圖,在四棱錐中,平面,若與平面所成角的正切值為,則四棱錐外接球的表面積為．16.已知等邊三角形的邊長為,邊上有兩點滿足,則的最小值是．三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟,17～2l題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.17.已知數(shù)列的首項為，且滿足求的通項公式已知，求數(shù)列的前項和18.如圖,已知四邊形為菱形,對角線與相交于,點不在平面內(nèi),平面平面平面.證明:.求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.已知動點到點的距離比它到直線的距離小.求動點的軌跡的方程.過點作斜率為的直線與軌跡交于點,線段的垂直平分線交軸于點,證明:為定值.20.已知函數(shù)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;若存在,使得成立,求的取值范圍.21.某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人們?nèi)罕娒撠毐夹】担?jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加,為了制定提升農(nóng)民收入,實現(xiàn)年脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了年位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖:根據(jù)頻率分布直方圖,估計這位農(nóng)民的平均年收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示).為推進精準(zhǔn)扶貧,某企業(yè)開設(shè)電商平臺進行扶貧,讓越來越多的農(nóng)村偏遠地區(qū)的農(nóng)戶通過經(jīng)營網(wǎng)絡(luò)商城脫貧致富.甲計劃在店,乙計劃在店同時參加一個訂單“秒殺”搶購活動,其中每個訂單由個商品構(gòu)成,假定甲,乙兩人在兩店訂單“秒殺"成功的概率分別為,記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、商品總數(shù)量分別為①求的分布列及數(shù)學(xué)期望②若，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值.(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.22.[選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,曲線為，以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;若射線與曲線相切于點(點位于第一象限),且與直線相交于點,求23.[選修45:不等式選講]已知正實數(shù)滿足.證明:.證明:2020～2021年度河南省高三質(zhì)量檢測(五)數(shù)學(xué)參考答案(理科)1.，2.則得3.區(qū)域的面積為,在區(qū)域中,滿足的面積為則所求概率4.作出不等式組表示的可行域(圖略),當(dāng)直線過點時,取得最大值5.正八面體的上、下結(jié)構(gòu)是兩個相同的正四棱錐,由勾股定理求得斜高,再由棱錐的體積公式即可求解.由邊長為,可得正八面體上半部分的斜高為,高為,則其體積為，其表面積為,所以此正八面體的體積與表面積之比為6.由，得，解得又因為所以則7.展開式的通項公式為令，得，所以展開式中的系數(shù)為。8.所以在上為減函數(shù)所以解得9.設(shè)，則又因為所以10.由函數(shù)圖象可知即將代入得又是以為最小正周期的周期函數(shù)則11.設(shè)二次函數(shù)則又解得函數(shù)在上單調(diào)遞增令當(dāng)時，滿足題意當(dāng)時解得綜上，的取值范圍為12.設(shè)的外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為,則因為所以則如圖，圓是的內(nèi)切圓，且與的三邊分別切于三點設(shè)點，則所以解得即，因為直線是的角平分線，且所以可得因為所以整理得故13.由，可得向量反向，所以解得14.由題可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,可化為,則,解得即的取值范圍為15.連接,則為與平面所成角,即,所以因為,所以四邊形為等腰梯形,且可求得,所以底面外接圓的半徑為,且四邊形外接圓的圓心為的中點,四棱錐外接球的半徑,故該四棱錐外接球的表面積16.設(shè)記為則在中,有,即.在△中,點到的距離故,即由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即可得17.解：由得又所以當(dāng)時，又也滿足上式所以所以18.證明:因為四邊形為菱形,所以因為平面平面，所以平面因為平面平面平面，所以解:因為四邊形為菱形,所以因為平面,所以以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,取的中點,連接,則所以.因為,所以為正三角形，因為所以所以從而設(shè)平面一個法向量為所以所以所以令所以設(shè)平面一個法向量為所以所以所以令所以所以因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為19.解:由題意知,動點到點的距離與到直線距離相等，由拋物線的定義知,軌跡是以為焦點,以直線為準(zhǔn)線的拋物線.所以點的軌跡的方程為證明:設(shè)直線聯(lián)立得設(shè)為線段的中點，則,所以，所以線段的垂直平分線的方程為,則從而所以為定值.20.解：在上恒成立則的取值范圍為令當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減當(dāng)時存在，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或解得綜上所述,的取值范圍是21.解：千元故估計這位農(nóng)民的年平均收入為千元.①由題知,的可能取值為所以的分布列