5.3誘導公式第一課時教學設計-2023-2024學年高一上學期數(shù)學人教A版

5.3.1誘導公式（第1課時）一、內容和內容解析1.內容三角函數(shù)的誘導公式中的公式二至公式四（π±α，－α的正弦、余弦和正切）2.內容解析本節(jié)課的教學內容是三角函數(shù)的誘導公式中的公式二至公式四（π±α，－α的正弦、余弦和正切），是三角函數(shù)的主要性質。前面學生已經(jīng)學習了任意角的三角函數(shù)的定義、誘導公式一和同角三角函數(shù)的基本關系，在此基礎上繼續(xù)學習公式二至公式四為下節(jié)課研究公式五，公式六以及以后的三角函數(shù)求值、化簡打好基礎。三角函數(shù)的誘導公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關于原點或坐標軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結合，成為一個整體.誘導公式的學習和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內部聯(lián)系，是定義的延伸與應用，在本章中起著承上啟下的作用.誘導公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉化為求0°～90°角的三角函數(shù)值.誘導公式的推導過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結合”和復雜到簡單的“轉化”的數(shù)學思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式．對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想方法具有積極的作用.本節(jié)課的重點是誘導公式的探究，即利用三角函數(shù)的定義借助單位圓，通過尋找角的終邊的對稱性與角終邊與單位圓交點的對稱性發(fā)現(xiàn)并推導出誘導公式，從而提高對數(shù)學知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質）聯(lián)系的認識。二、目標和目標解析1.目標（1）從三角函數(shù)的定義出發(fā)，借助單位圓關于原點的對稱性，能推導π＋α的正弦、余弦和正切，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．（2）學生經(jīng)歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題（任意角α的三角函數(shù)值與π＋α，πα，α，的三角函數(shù)值之間的內在聯(lián)系），提出研究方法（利用坐標的對稱關系，從三角函數(shù)的定義得出相應的關系式）并完成推導過程，體會數(shù)形結合及轉化思想的運用，獲得基本思想，積累基本活動經(jīng)驗．（3）通過建立公式一~四之間的聯(lián)系，能利用公式將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)，會用公式一~四進行簡單三角函數(shù)式的化簡求值，發(fā)展數(shù)學運算的素養(yǎng)．2.目標解析達成上述目標的標志是：會利用單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性得出坐標關系，對應三角函數(shù)關系。會根據(jù)對稱性建立角之間的關系，坐標之間的關系，最后得到三角函數(shù)關系的探究思路。通過觀察類比總結出公式的特征，歸納把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù)的步驟。三、教學問題診斷分析學生已經(jīng)學習了任意角的三角函數(shù)的定義、誘導公式一和同角三角函數(shù)的基本關系，但是從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法這個過程存在障礙，需要教師給予充分的引導，教師可通過復習任意角三角函數(shù)的定義先引入單位圓，引起學生對單位圓這一有效工具的注意，從總體上認識研究的目標與手段．學生比較熟悉銳角三角函數(shù)，對于理解公式中角α的任意性是個難點。教學過程中需利用ggb動畫的演示幫助學生直觀感受的任意性。公式探究出來后寫在一起，或者在實際求值化簡過程不熟悉，或者容易記錯，可以在課堂上通過小組內交流，組間相互補充，展現(xiàn)思維過程后師生共同歸納概括公式的記憶方法。基于以上分析，確定本節(jié)課重點是：建立單位圓圓的對稱性與三角函數(shù)之間的關系，探究三角函數(shù)誘導公式二~四．教學支持條件分析利用信息技術，ggb動畫展示單位圓中角的對稱關系，幫助學生直觀理解角α的任意性，以利于探究出三角函數(shù)誘導公式二~四，從而感受數(shù)學的對稱簡潔的美。教學過程設計（一）創(chuàng)設問題情境師生活動：教師提問，學生思考、回答，學生口述的同時，教師板書問題的結果。問題1：（1）我們是怎樣利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的？（2）終邊相同角的各三角函數(shù)之間有什么關系？問題2:sin390°=？那sin570°=？教師引導：由公式一可將sin570°化為sin210°，210°雖然在0°～360°之間可是也不能直接獲得其三角函數(shù)值，能否再把0°～360°間的角的三角函數(shù)值化為我們熟悉的0°～90°間的角的三角函數(shù)問題呢？如果能，那么任意角三角函數(shù)求值問題都可以化歸成銳角三角函數(shù)求值，特殊的銳角有特殊值，而非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查表最終解決。這節(jié)課我們就來學習和研究解決這類問題的方法.設計意圖：通過復習舊知，提出的新問題，引導學生進一步思考，為新知識的學習打下基礎，激起學生們的興趣.

(二).探索新知，匯報交流問題3：你能用我們剛剛復習的方法求出sin210°嗎？師生活動1：教師提出具體問題，學生獨立思考并回答老師的提問。師生活動2：教師追問：390°的終邊與銳角30°角的終邊重合，那210°角的終邊與哪個銳角的終邊有關系呢？它們的三角函數(shù)間又有怎樣的關系呢？如果是任意角如何轉化成有關系的銳角呢？設計意圖：教師通過問題引導，從課前提出的具體問題入手，用定義求解學生是可以想到并完成的，但借助學生熟悉的特殊角去建立30°角的終邊與210°角的終邊的位置關系，再轉化為角的終邊與單位圓交點坐標之間的關系需要教師引導，從這個過程中讓學生體會研究此類問題的思路和方法，為下一步研究任意角α和π＋α三角函數(shù)之間的關系做好鋪墊。教師引導：為了解決這個問題，我們聯(lián)想到前面利用單位圓定義了三角函數(shù)，并根據(jù)定義得出了公式一，這組公式非常形象地刻畫了“周而復始”的變化規(guī)律．能不能利用單位圓的繼續(xù)探究呢．我們知道，圓的最重要的性質是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性．問題1：在直角坐標系中能找到單位圓的哪些特殊對稱性呢?如圖，在直角坐標系內，若設任意角的終邊與單位圓交于點，你能想到單位圓上點的哪些特殊對稱點?思考：設任意角α的終邊與單位圓交于點P1，你能想到單位圓上點P1的哪些特殊對稱點?答：關于原點對稱；關于y軸對稱；關于x軸對稱。角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關系？角α的終邊與角α的終邊有什么關系？角πα的終邊與角α的終邊有什么關系？學生探究思考后，在希沃課件上做游戲互動匹配對應的對稱關系，增加課堂趣味性。圖1圖1師生活動：探究角π＋α與角α的圖1圖1第一步，先從形上找到角之間的關系：以OP2為終邊的角β都是與角π＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．第二步，建立關于原點對稱的點的坐標之間的關系，將形的關系代數(shù)化：設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因為P2，P1關于原點對稱，所以x2＝－x1，y2＝－y1．第三步，等量代換數(shù)得到三角函數(shù)值之間的關系：由三角函數(shù)的定義得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝eq\f(y1,x1)（x1≠0）；sin(π＋α)＝y(tǒng)2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝eq\f(y2,x2)（x2≠0）．sin（π＋α）＝－sinαsin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα．追問1：問題中給出的α是任意角，而我們圖中的α為第一象限角，我們得到的結論適用于任意角嗎？師生活動：打開ggb文件，輸入β=π＋α，拖動α的滑動條改變α的值，觀察終邊對稱情況，學生思考、討論得出：無論α的終邊在什么位置，點P1、P2關于原點對稱的位置關系不變，因此坐標間的關系也不變，π＋α與α的三角函數(shù)值的關系就不會改變．追問2：歸納推導公式二的過程，你能給出主要的研究路徑嗎？師生活動：學生思考、交流后得出研究路徑：單位圓的對稱性→角與角的關系→對稱點的坐標間的關系→三角函數(shù)值之間的關系．設計意圖：在探究過程中，引導學生從三角函數(shù)定義出發(fā)，使他們認識到可以利用圓的對稱性研究三角函數(shù)的性質，感受由形到數(shù)的轉化，感悟數(shù)形結合的思想方法，提升直觀想象素養(yǎng)．帶領學生梳理研究路徑，進一步明確研究的方向和步驟，為后續(xù)的自主探究打下基礎．問題2：類比公式二的探究過程，借助于平面直角坐標系，你認為還需要研究點P1的哪些特殊的對稱點？又能得出怎樣的結論呢？師生活動：學生可以自然地發(fā)現(xiàn)還需要研究點P1關于x軸、y軸對稱的點．通過自主探究、小組討論，教師巡視觀察，適時引導．大多數(shù)學生可以獨立完成公式三、四的推導．sin（π－αsin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα．sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα．公式三：公式四：設計意圖：將角的終邊關于坐標軸對稱時的三角函數(shù)關系一起讓學生探究，既突出了誘導公式的整體研究架構，又檢驗了學生對公式二的學習效果，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．師生活動：希沃課件設置拔河游戲，增加互動趣味性。問題3：例1利用公式求下列三角函數(shù)值：cos225°；（2）sin；（3）sin；（4）tan（－2040°）．追問1：題目中的角與哪個特殊角接近？應該選擇哪個誘導公式化簡求值？師生活動：學生獨立完成之后展示交流，注意展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．（1）cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝；（3）sin＝－sin＝－sin＝＝；（4）tan(－2040°)＝－tan2040°＝－tan(6×360°－120°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－．設計意圖：在得到誘導公式后，在此讓學生獨立去實踐解決問題，在實踐中體會誘導公式在解題過程中的應用，使任意一個角都轉化為他們所熟知的銳角，體會從未知到已知的化歸思想，從而為總結出解題的一般步驟奠定基礎.追問2：通過上面四個題目的解答，你對公式一~公式四的作用有什么進一步的認識？你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù)的步驟嗎？師生活動：先由學生闡述自己的想法，老師帶領學生一起總結：口訣：函數(shù)名不變，符號看象限化簡求值思路與公式選用的特征：【鞏固練習1】求下列各三角函數(shù)式的值：(1)sin(－660°)；(2)coseq\f(27π,4)；(3)2cos660°＋sin630°；【解析】(1)因為－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)因為eq\f(27π,4)＝6π＋eq\f(3π,4)，所以coseq\f(27π,4)＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2).(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×eq\f(1,2)－1＝0.例2化簡：eq\f(cos(180°＋α)·sin(α＋360°),tan(α180°)·cos(180°＋α))．追問3：本題與例1的區(qū)別是什么？由例1總結出的求解步驟還能用嗎？師生活動：區(qū)別：例1涉及的是具體的角而例2用的是抽象的角α，求解步驟依然適用．學生獨立完成，展示交流，注意展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．tan(－α－180°)＝tan［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cosα，所以，原式＝eq\f(cosα·sinα,(tanα)·(cosα))＝－cosα．設計意圖：讓學生在自主選擇公式求解問題的過程中，體會公式一~公式四各自的作用，總結根據(jù)題目的條件選擇公式的方法和步驟，形成程序化的解題步驟，體會算法思想、轉化與化歸的思想，發(fā)展數(shù)學運算的素養(yǎng)．【鞏固練習2】化簡：.【解析】原式＝＝＝＝－.問題4：回憶本節(jié)課的學習內容，回答下面的問題：我們是如何發(fā)現(xiàn)和提出本節(jié)課所要研究的問題的？探索公式二~公式四，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？用了哪些方法？運用公式二~公式四將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角的三角函數(shù)的基本步驟是怎樣的？你認為還有哪種對稱關系值得研究？師生活動：學生給出答案，發(fā)表看法，教師在學生回答的基礎上進行適當歸納．設計意圖：（1）回顧從“角的終邊相同”時三角函數(shù)的關系，到“角的終邊具有特殊對稱性”的三角函數(shù)的關系，進一步落實發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，幫助學生建立借助單位圓研究三角函數(shù)性質的思維習慣．通過回顧進一步明確誘導公式的研究路徑和運用步驟．（3）為接下來探究角的終邊關于直角坐標系中特殊直線對稱的問題留下伏筆．目標檢測設計1、計算：（1）cos(－420°)；（2）sin(－76π)；（3）tan(答案：（1）；（2）；（3）－．化簡：答案：．設計意圖：檢測學生恰當選擇公式進行三角函