高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

總分200分

一、選擇題（50分）

1+2?

2、已知，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)—-=（）

z-2

.43.43.

AIB-ZC--------1D-----h—Z

5555

2、下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是在區(qū)間（-8,+8）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）

Ay=x2+xBy=%+2sinxcy=x3+xDy=tanx

3、已知a,〃均為單位向量，其夾角為8,則命題p:a-h>1是命題9：。€[￡,?）的

（）

A充分非必要條件B必要非充分條件

C充要條件D非充分非必要條件

4、已知集合尸={%|=-+

數(shù)a的取值范圍是（）

A（-00,1]B[1,+co）c[-1,1]D[-1,4-00）

5、函數(shù)y="^^■sin（%+,）+cos（---%）的最大值是（）

13V13V13/-

A——B-----C-----DA/13

442

6、如圖，四棱錐S-ABC。的底面是正方形，SDL底面

ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

AABVSABBC|平面SA。

cBC與SA所成的角等于4）與SC所成的角

DS4與平面S3。所成的角等于SC與平面SB。所成的角

7、程序框圖如圖所示，若/（%）=%2,g（%）=k>g2%,輸入%的

值為0.25,則輸出的結(jié)果是（）

A0.24B-2c2D-0.25

8、設(shè)分別表示平面直角坐標(biāo)系羽y軸上的單位向量，且

靖貞

a—i+。-2力=JG,則a+2i的取值范圍是()

A[272,3]B[卓,2/]c[6,4]D[竿,3]

22c\I

9、已知耳，耳分別為雙曲線c：'■一多=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(段,)修2),

則ZF｛AF2的平分線與軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

A(2,0)B(-2,0)c(4,0)D(-4,0)

10、設(shè)/(%)=%2+bx+c,若方程/(%)=%無(wú)實(shí)根，則方程/(/(%))=%()

A有四個(gè)相異實(shí)根B有兩個(gè)相異實(shí)根

C有一個(gè)實(shí)根D無(wú)實(shí)數(shù)根

二、填空題(共49分)

11、設(shè)直線y=ax-4與直線y=8x-b關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則a-,b-.

l-|cosx|.

12、已知——----[=sinjr,則無(wú)=__________.

l+|cosx|

13、已知XGR,則J%(x+1)+arcsin(Vx2+x+1)的值為.

14、己知實(shí)數(shù)滿足勿?=。2+[2=1,則(”-c)2+s-d)2的最小值為

20111

15、設(shè)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且每項(xiàng)都大于1,則IgqlgQ如25：-----------的值為

--Mlgqlgq+i

(%+―)4~

16、設(shè)X>0,則/(%)=——----------A的最小值為_(kāi)______.

(x+-)3-(x3+-^)

XX'

17、如圖是一個(gè)殘缺的3x3幻方，此幻方每一行每一列及每一

40172018

條對(duì)角線上得三個(gè)數(shù)之和有相等的值，則尤的值為.

401511

20189

三、解答題(每題17分，共51分)

1010

18、已知實(shí)數(shù)七，％2，.,,須0滿足^^七一1區(qū)4,3|七一2|<6,求為,工2，■，須0的平

1=11=1

均值.

xv

19、設(shè)尸為橢圓——+2—=1長(zhǎng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P斜率為Z直線交橢圓于兩點(diǎn)。若

2516

|PA|2+\PBf的值僅僅依賴于左而與P無(wú)關(guān)，求攵的值.

20、設(shè)p,qeZ；且p</。試證對(duì)〃eZ*,存在Ne，使

(〃々/—4”心心―/且⑺+而一/—近河一/.

四、附加題（每題25分，共50分）。

21、設(shè)圓。4與。1,圓。I與。2,圓。2與。3,圓Q與。4分別外切于［，￡，￡，匕，試

證：

（1）2四點(diǎn)共圓;

（2）四邊形。|。203。4是某個(gè)圓的外切四邊形；并且該圓的半徑不超過(guò)四邊形

片,乙,鳥(niǎo),舄的外接圓的半徑.

22、設(shè)彳,，2，,"10為12…,10的一個(gè)排列，記S=，；一q+,3—乙|+-+p9—^,1()1,

求S可以取到的所有值.

2012年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答

說(shuō)明：本試卷分為A卷和B卷：A卷由本試卷的22迤組成，即10道選擇迤,7道填空題、

3道解答題和2道附加題;B卷由本試卷的前20題組成，即10道i蝴題,7道填空題和3

道解答題.

一、選擇題(本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)

填入題干后的括號(hào)里，多選、不選,錯(cuò)選均不得分，誨題5分，共50分)

1.已知，?為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)上2=(B)

i-2

A.iB.-iC.———iD.——l--/

5555

解答：Lt二=LL@UL_3=T.正硝答案為B。

i-2(i-2)(<+2)

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(fc.y)上單調(diào)遞增的函數(shù)為(C)

A.y=/+xB.v=x+2sinxC.y=x'+.vD.y=Ianx

解答：逐一驗(yàn)證,正瑰答案由C。

3.己知“與/；均為單位向量，其夾角為。，則命題〃：卜-彳>1是命題

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分且必要條件D.非充分也非必要條件

解答：由向量幾何意義知道,,-〃卜1nOw4.尸):若Ow|=’-6卜

正確答案為B。

4.已知集合尸={xI1<x<2},M=(A|2-?<A<I+?),若PcM-P?則

實(shí)數(shù)。的取值范困是(B)

A.(—<20,1]B.[1,4^0)C.[—1,1]D?[—1,+8)

解答：由。cM—〃nPuA/=>2—。01,12=a2I。正確答案為B。

5.函數(shù)丫=立§皿工+￡）+（：0?2一/）的最大值為（C

）。

226

sIw=斗^”,正確答案為C。

6.如圖，四棱錐5—A8c。的底面為正方形,5。，底面488,

則卜列結(jié)論中不小畫(huà)的是（C）

A.A8_LSA

B.8c〃平面5AD

C.BC與SA所成的角等JAD與SC所成的角

D.SA?j平面SBD所成的角等1SC與平面SBD所成的角

解答：ABJ.平面SV）=A8_LS4；市BC〃AD島BC〃平面SAD;設(shè)47于即交于

0,則SA與平面S劭所成的府為NASO,SC與平面S劭所成的角為NCSO,且存N

ASO=ZCSO.正踹答案為C。

7.程序框圖如圖所示，若/（x）=Vg（x）=lo&x,輸入x的值為0.25.則輸出

結(jié)果為（B）

A.0.24B.-2C.2D.-0.25

解答：計(jì)算得正確答案為B。

8.設(shè)〔j分別上小平面直角坐標(biāo)系x,y軸I的單位向量，旦產(chǎn)」|+卜；-2）卜#.

則.+可取值范圍為（D）

A.(272,318」竿,201C(75,41D.[竿,3]

解答：滿足kT+1-可=#向量￡的終點(diǎn)在線段2x+、-2=0(04x41)上，所

以p+2,的戢大值就是點(diǎn)(-2,0)與(1,0)距離3,最小值就是點(diǎn)(-2,0)到

線段的距離竽。正確答案為D。

9.已知Fi.f?分別為雙曲線C:--二=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)八的坐標(biāo)為

927

§.羋)，則NF】AF2的平分線與X軸交點(diǎn)”的坐標(biāo)為(A).

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4.0)

API\pUI

J

解答：A；(-6.0),F/6,0)=>4=2=>_7=2=>/W(2,O)u正確答案為A。

AF2\\MFI\

10.設(shè)/(x)=/+6x+c,若方程/(*)=*無(wú)實(shí)根，則方程f(.f(x))=x(D)

A.有四個(gè)相異實(shí)根B.有兩個(gè)相異實(shí)根C.有個(gè)實(shí)根D.無(wú)實(shí)數(shù)根

解各：/(幻=4無(wú)實(shí)根,處】二次函數(shù)圖象/(幻=T+/7X+C在克線.V=K上方,即

f(x)>x,所以/(7*))>f(x)>Xa正確答案為D

二、填空題(本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分,

共49分)

11.設(shè)立線.v=ar—4與.\，=8與一岳關(guān)于總線.v=x對(duì)稱.貝U

1心一

?=一/=一-32o

8---------

14

解答：\，=av-4關(guān)于v=x對(duì)稱的直線方程為v=一x+—°

“aa

I4I.

=-=8,—=〃=-,〃=-32o

aa8

12.已知一竺=sinx,則x=_kn，2k/r十%(kwZ)___.

I+COSX2

1-COSA

解答：由--=-s-i-n--x-=>sin2x=sinx(I-H|COSA|)2=>sinx=0,Acosx=0且

I-cosx

sinx=lnx=+—（keZ）

29

13.已知xG凡則J式x+l）+arcsinJ./+K+1的值為g?

解答：X24-X>0..\A24-X4-I>I=>A:+X-0?所以原式二￡?

2

14.已知實(shí)數(shù)滿足=+小'=1.則（a-c）2+（〃-〃）'的最小值為

3-272。

解答：（a-。）？+S-d），的最小值就是雙曲線,1〃=1上點(diǎn)與閱c2^-d2=I上點(diǎn)的景.

小距離平方,即（1,1）,（立，立）兩點(diǎn)距離平方,即3-26。

刈II

15.設(shè)｛““｝為等比數(shù)列，旦每項(xiàng)都大于1，則電6坨“加,￡一!—的值為

**.,Igfl,lgaM1

_2011—。

3011|

育舉答：當(dāng)公比為1時(shí)，M1]Iga,Ign^pV--------------=2011.

JIgaJg，*

當(dāng)公比為m時(shí)，則糖q1g的“,I一=處警U￥（『--』）

krigajga,“愴9rrig?,怛，

=li%幽皿（_!----------!_）=2011.

IggIgqlga211l3

（XH）4—（X4+—7）7

16.設(shè)x>0,貝Uf（x）=-f-------------卜的最小值為_(kāi)______-_______.

（x+T3-a'+T3

XX

解答：/=x+，n/22,x'+」y=i4-4/+2,/+二=--31,所以

XXX

4942177

/（x）-片。）一一/一二尸,^（2）--x2——X---_/（I）0因此/（幻的黃小值為一°

33.、3233

17.如圖是個(gè)殘缺的3x3幻方.此幻方每一行每一列及每一條對(duì)角線上的三個(gè)

數(shù)之和TT相等的值，則x的值為4016.

解答：*卜全幻方4017+2012=x-2003+xnx=4016。

40172012I

4015X-2OO3ZJ

20149

三'解答題（本大題共3小題，每小題17分，共計(jì)51分）

inin

18.已知實(shí)數(shù)占.天,滿足-l|?4，Zk；-2|46,求知與.…百。的平均使

1-1

in1010

18.解答:10=￡[&--2)14Zk，-||+￡|^-2|<10,

所以有

10

Zk，-l|=4，Zk，-2|=6=l4為42.(10)

(17)

19.設(shè)P為橢圓±+±=1長(zhǎng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)斜率為人直線交橢圓十A8

2516

兩點(diǎn),若仍有'+儼8|.'的值僅依賴JK而與尸無(wú)關(guān)，求K的值。

v=t(x-a)

為丫=〃*一4)。由V2,得

—+^-=1

12516

50aJt222

25ak-4OO⑸

內(nèi)+為二l6+25k2，X'X：一—16+25公

所以

32辦一,、，、(16/-400次

V.+.v=-,=k(v-a)(x-fl)=?(10)

2I6<+25A2l2I6+25A

所以

22

\PA(+\PBf=(xt-<7)+y：+(x,-a)+y；

21

=(X|+.r2)'-2xix2-2“(X]+Jr,)+(x+y,)-2Vj,v,+2a

,.2(512-800^)4?+800(16+25^)

二伏+”?(16+25行(15)

令512-800#-0=A-士J....................................(17)

5

20.設(shè)p,"Z',且q4p一試證對(duì)〃GZ+.存在NwZ',使

(p—J/，：—q)"=N-QN：-q"、JI

(/,+Qp--q)"=N+JA/-—q",

20.解：i殳x]=(〃-2=(〃+

我們有X|jq=4,.........................................................................(5)

令N=4(3+￡)=￡(-1)(*p"T(pLq)i,顯然，NwZ*,...............(10)

2x

JIXpX2滿足二次方穆/-2Nx+q"=0

更由于％VX],所以

Xi=N_jM_g”.x?=N+jN2-q”.........................................................(17)

四'附加題（本大題共2小題，每小題25分，共計(jì)50分）

21.設(shè)網(wǎng)。，與（小圓。與Q,網(wǎng)q與。,，網(wǎng)。，與a分別外切于片.鳥(niǎo).七已試

證：

（1）片,%%2四點(diǎn)共圓;

（2）I四邊形。OQ0,是某個(gè)圓的外切四邊形：井n

（3）該圓的半徑不超過(guò)四邊形￡6?出的外接圓的半徑。

21.解答：（1）根據(jù)弦切角等于網(wǎng)心角之半，我們有

N66代-+/O00J,/巴巴6=1（ZO,OA+NO04OJ,所以

二2

/片66+NPRP=：（NW+NOQ；。、+NO/?04+NOQQJ=n,

這表明/鳥(niǎo),%4.四點(diǎn)共圓......................................（10）

（2）qq+aa=（o4q+。/）+（。,代+QR）=（。出+。優(yōu)）+（。武+。把