專題4.18 一次函數(shù)的應(yīng)用（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第第頁(yè)專題4.18一次函數(shù)的應(yīng)用（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】確定一次函數(shù)的表達(dá)式1.正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=kx(k為常數(shù)k≠0)，只有一個(gè)待定系數(shù)k，因而只需一個(gè)條件就可以求得k的值，從而確定表達(dá)式。2.一次函數(shù)一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b(k、b為常數(shù)k≠0)中，只有確定k,b的值，才能得到表達(dá)式，所以利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)需要兩個(gè)條件，即兩個(gè)變量的兩對(duì)對(duì)應(yīng)值才能求出k和b的值，從而確定表達(dá)式。特別提醒：在正比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)k≠0)中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，只需要一個(gè)除(0，0)外的條件即可求出k的值，在一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)k≠0)中，有兩個(gè)待足系數(shù)k,b因而需要兩個(gè)條件才能求出k和b的值.【知識(shí)點(diǎn)2】建立一次函數(shù)的模型解實(shí)際應(yīng)用題利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是找到圖象中兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象、升華為一次函數(shù)模型，即建模，再利用一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，常見(jiàn)類型如下:(1)題目中已知一次函數(shù)的關(guān)系式，可直接運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)求解；(2)題目中沒(méi)有給出一次函數(shù)的關(guān)系式，而是通過(guò)語(yǔ)言、表格或圖象給出一次函數(shù)的情境，這時(shí)需要先根據(jù)題目給出的信息求出一次函數(shù)的關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.特別提醒：實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖象一般是射線或線霈結(jié)合題薏理解段，它們的圖象是射線或線段的原因，應(yīng)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立一次函數(shù)模型，同時(shí)注薏實(shí)際問(wèn)題中目變量的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有薏義【知識(shí)點(diǎn)3】一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)k≠0)與一元一次方程kx+b=0(k,b為常數(shù),k≠0)的關(guān)系數(shù):函數(shù)y=kx+b,函數(shù)值y=0時(shí)自變量x值是方程kx+b=0的解;形:函數(shù)y=kx+b圖象與x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程kx+b=0的解.特別提醒：實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖象一般是射線或線段,需結(jié)合題薏理解它們的圖象是射線或線段的原因，應(yīng)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立一次函數(shù)模型,同時(shí)注意實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義?！局R(shí)點(diǎn)4】?jī)蓚€(gè)一次函數(shù)圖象的應(yīng)用在同一直角坐標(biāo)系中,同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)一次函數(shù)的圖象,即兩條直線,利用所給圖象的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等讀取其中所要表達(dá)的信息，一般出現(xiàn)在比如產(chǎn)量速度、資費(fèi)等問(wèn)題中，關(guān)鍵是要理解交點(diǎn)坐標(biāo)的含義。用表格表示如下看圖象獲取信息兩個(gè)一次函數(shù)，當(dāng)自變量的值為時(shí)，函數(shù)值都為或當(dāng)函數(shù)值為時(shí)，自變量的值都為當(dāng)自變量的值時(shí)，函數(shù)值，即對(duì)同一自變量的值，圖象在上面的函數(shù)值大；當(dāng)自變量的值時(shí)，函數(shù)值，即對(duì)同一自變量的值，圖象在下面的函數(shù)值小【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)一】待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；【考點(diǎn)二】一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系【考點(diǎn)三】?jī)桑ǘ啵﹤€(gè)一次函數(shù)圖象的應(yīng)用【考點(diǎn)四】方案分配問(wèn)題【考點(diǎn)五】最大利潤(rùn)問(wèn)題【考點(diǎn)六】幾何問(wèn)題【考點(diǎn)一】待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式【例1】（2023秋·廣西崇左·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為，則，解得，∴一次函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)撥】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確掌握利用待定系數(shù)法求解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線的交點(diǎn)在x軸上．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求此函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先確定直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）先求出一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解即可．解：（1）將代入，得解得∴直線與x軸的交點(diǎn)為∵一次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)在x軸上∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴將，代入得，，解得∴；（2）當(dāng)時(shí)，∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為∴此函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．【點(diǎn)撥】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式以及一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線：過(guò)點(diǎn)，并且分別與軸，軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求的值；（2）將直線向上平移個(gè)單位得直線，若為直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）把代入即可求解；（2）根據(jù)平移的規(guī)律求得平移后的解析式，根據(jù)解析式設(shè)出，然后根據(jù)三角形面積公式得到，解得的值，從而求得的坐標(biāo)．（1）解：∵直線：過(guò)點(diǎn)，∴，解得：；（2）解：∵，∴直線：，當(dāng)，則，解得；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將直線：向上平移個(gè)單位得直線：，設(shè)的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，解得或，∴或．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象與幾何變換，三角形的面積等，求得平移的直線的解析式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系【例2】（2021·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知二元一次方程y＝3x+m所表示的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，5）．（1）求m的值；（2）若該直線與x軸的交點(diǎn)為B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；（3）求該直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），；（3）（0，2）．【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式計(jì)算即可求出m；（2）令y=0求解即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求解即可得到AB的長(zhǎng)；（3）令x=0求解即可得到與y軸的交點(diǎn)．解：（1）∵y=3x+m所表示的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，5），∴3+m=5，解得m=2；（2）方程為y=3x+2，令y=0，則3x+2=0，解得x，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），AB；（3）令x=0，則y=2，所以，直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用，需熟記．【舉一反三】【變式1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）利用函數(shù)圖象解下列方程（1）0.5x﹣3＝1 （2）3x﹣2＝x+4【思路導(dǎo)引】把0.5x﹣3＝1變化為y＝_______畫(huà)出函數(shù)y＝_______的圖象，求得函數(shù)和x軸的交點(diǎn)．【答案】（1），（2）【分析】把解方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．解：（1）把0.5x﹣3＝1變化為y＝0.5x﹣4，畫(huà)出函數(shù)y＝0.5x﹣4的圖象，如圖，直線y＝0.5x﹣4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），所以方程0.5x﹣3＝1的解為x＝8；（2）把3x﹣2＝x+4變化為y＝2x﹣6，畫(huà)出函數(shù)y＝2x﹣6的圖象，如圖，直線y＝2x﹣6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），所以方程3x﹣2＝x+4的解為x＝3．【點(diǎn)撥】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí),求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看,相當(dāng)于已知直線確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．也考查了數(shù)形結(jié)合的思想．【變式2】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用函數(shù)圖象解下列方程（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）將變化為，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可得到答案；（2）將變化為，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可得到答案．（1）解：將變化為，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即方程的解為；（2）解：將變化為，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即方程的解為．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．也考查了數(shù)形結(jié)合的思想．【考點(diǎn)三】?jī)桑ǘ啵﹤€(gè)一次函數(shù)圖象的應(yīng)用【例3】（2022秋·安徽六安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為保護(hù)景區(qū)環(huán)境，天柱山風(fēng)景區(qū)安排有多輛大巴車把游客從景區(qū)大門(mén)口送到索道口．現(xiàn)有一批游客分別乘坐甲乙兩輛大巴車同時(shí)從景區(qū)大門(mén)口前往索道口準(zhǔn)備登山．行駛過(guò)程中甲大巴車因故停留一段時(shí)間后繼續(xù)駛向索道口，乙大巴車全程勻速駛向索道口．兩輛大巴車的行程s（）隨時(shí)間t（）變化的圖象如圖所示．依據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求甲大巴車停留1h后的函數(shù)表達(dá)式；（2）求甲大巴車比乙大巴車提前多少小時(shí)到達(dá)索道口．【答案】（1）；（2）甲大巴車比乙大巴車提前小時(shí)到達(dá)索道口【分析】（1）先設(shè)出函數(shù)解析式，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）分別求出甲、乙大巴車到達(dá)山頂時(shí)的時(shí)間，再用乙車所用時(shí)間甲車所用時(shí)間即可．（1）解：設(shè)甲大巴車停留后的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，，甲大巴車停留后的函數(shù)表達(dá)式為；（2）當(dāng)時(shí)，，解得，設(shè)乙大巴車的函數(shù)表達(dá)式為，，解得，，當(dāng)時(shí)，，，，甲大巴車比乙大巴車提前小時(shí)到達(dá)索道口．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【舉一反三】【變式1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某人需要經(jīng)常去復(fù)印資料．甲復(fù)印社直接按每次印的張數(shù)計(jì)費(fèi)，乙復(fù)印社可以加入會(huì)員，但需按月付一定的會(huì)員費(fèi)、兩復(fù)印社每月的收費(fèi)情況如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題；（1）乙復(fù)印社要求客戶每月支付的會(huì)員費(fèi)是______元．（2）求出乙復(fù)印社收費(fèi)y（元）關(guān)于復(fù)印量x（頁(yè)）的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)每月復(fù)印多少頁(yè)時(shí)，兩復(fù)印社實(shí)際收費(fèi)相同？（4）如果每月復(fù)印210頁(yè)，應(yīng)選擇哪家復(fù)印社？【答案】（1）18；（2）乙復(fù)印社收費(fèi)情況關(guān)于復(fù)印頁(yè)數(shù)的函數(shù)解析式為；（3）當(dāng)每月復(fù)印150頁(yè)時(shí)，兩復(fù)印社實(shí)際收費(fèi)相同；（4）當(dāng)時(shí)，選擇乙復(fù)印社．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接寫(xiě)出乙復(fù)印社要求客戶每月支付的承包費(fèi)是多少元；（2）先設(shè)出乙復(fù)印社一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法可以求得，再說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)的實(shí)際意義；（3）先求得甲復(fù)印社對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后令兩個(gè)解析式的函數(shù)值相等，即可求得當(dāng)復(fù)印多少頁(yè)時(shí)，兩復(fù)印社實(shí)際收費(fèi)相同；（4）將代入（2）（3）中的函數(shù)解析式，然后比較它們的大小，即可解答本題．解：（1）由圖可知，乙復(fù)印社要求客戶每月支付的承包費(fèi)是18元；故答案為：18；（2）設(shè)乙復(fù)印社收費(fèi)情況關(guān)于復(fù)印頁(yè)數(shù)的函數(shù)解析式為，把和代入解析式，得：，解得：，乙復(fù)印社收費(fèi)情況關(guān)于復(fù)印頁(yè)數(shù)的函數(shù)解析式為；（3）由（1）知，甲復(fù)印社收費(fèi)情況關(guān)于復(fù)印頁(yè)數(shù)的函數(shù)解析式為，令，解得，，答：當(dāng)每月復(fù)印150頁(yè)時(shí)，兩復(fù)印社實(shí)際收費(fèi)相同；（4）當(dāng)時(shí)，甲復(fù)印社的費(fèi)用為：（元，乙復(fù)印社的費(fèi)用為：（元，，當(dāng)時(shí)，選擇乙復(fù)印社．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2】（2022春·福建福州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）電力公司為鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，采取按月電量分段收費(fèi)的辦法，已知某戶居民每月應(yīng)繳電費(fèi)（元）與用電量（度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖），根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)該用戶某月用電50度，則應(yīng)繳費(fèi)______元．（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；【答案】（1）32.5；（2）【分析】（1）利用“單價(jià)總價(jià)數(shù)量”可得時(shí)的單價(jià)，進(jìn)而得出用電50度的電費(fèi)；（2）利用待定系數(shù)法解答即可．（1）解：當(dāng)時(shí)，每度電的價(jià)格為：（元），用電50度，則應(yīng)繳費(fèi)（元），故答案為：32.5；（2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)電費(fèi)（元）關(guān)于用電量（度）的函數(shù)關(guān)系式是，，解得，即當(dāng)時(shí)，電費(fèi)（元）關(guān)于用電量（度）的函數(shù)關(guān)系式是，由上可得，電費(fèi)（元）關(guān)于用電量（度）的函數(shù)關(guān)系式是．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和一次函數(shù)的性質(zhì)解答．【考點(diǎn)四】方案分配問(wèn)題【例4】（2023春·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）五一節(jié)快到了，甲、乙兩家旅行社為了吸引更多的顧客，分別提出了赴某地旅游的團(tuán)體優(yōu)惠方法，甲旅行社的優(yōu)惠方法是：買(mǎi)4張全票，其余人按半價(jià)優(yōu)惠；乙旅行社的優(yōu)惠方法是：一律按7折優(yōu)惠已知兩家旅行社的原價(jià)均為每人200元．（1）分別表示出甲旅行社收費(fèi)，乙旅行社收費(fèi)與旅游人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）就參加旅游的人數(shù)討論哪家旅行社的收費(fèi)更優(yōu)惠？【答案】（1）；；（2）當(dāng)人數(shù)時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣多；當(dāng)人數(shù)時(shí)，乙旅行社的收費(fèi)較優(yōu)惠；當(dāng)人數(shù)時(shí)，甲旅行社的收費(fèi)較優(yōu)惠【分析】（1）設(shè)參加旅游的人數(shù)為x人，甲旅行社的收費(fèi)為元，乙旅行社的收費(fèi)為元，列方程，解出即可．（2）先求出兩家旅游社收費(fèi)相同的人數(shù)，再分情況討論即可．解：（1）設(shè)參加旅游的人數(shù)為x人，甲旅行社的收費(fèi)為元，乙旅行社的收費(fèi)為元，則依題意得：，．（2）由得：，解得：，由得：解得：，由得：解得：，綜上所述，當(dāng)人數(shù)時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣多，當(dāng)人數(shù)時(shí)，乙旅行社的收費(fèi)較優(yōu)惠．當(dāng)人數(shù)時(shí)，甲旅行社的收費(fèi)較優(yōu)惠．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題目信息理解兩家旅行社的優(yōu)惠方案是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小李同學(xué)長(zhǎng)大后當(dāng)上了個(gè)體老板，一次他準(zhǔn)備租用甲、乙兩種貨車將200噸貨物運(yùn)回眉山賣(mài)給廠家，兩種貨車的載貨量和租金如下表所示：甲種貨車乙種貨車載貨量（噸/輛）2520租金（元/輛）20001800請(qǐng)問(wèn)：李老板最少要花掉租金（

）．A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元【答案】B【分析】設(shè)需要租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車輛，需要的費(fèi)用為y元，用x將y表示出來(lái)，進(jìn)行判斷即可．解：設(shè)需要租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車輛，需要的費(fèi)用為y元，根據(jù)題意得：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，y最小，最小值為：（元），即李老板最少要花掉租金16000元，故B正確．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，列出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）某公司手機(jī)話費(fèi)收費(fèi)有套餐（月租費(fèi)元，通話費(fèi)每分鐘元）和套餐（月租費(fèi)元，通話費(fèi)每分鐘元）兩種．當(dāng)月通話時(shí)間為（

）時(shí)，，兩種套餐收費(fèi)一樣．A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】根據(jù)A套餐的收費(fèi)為月租加上話費(fèi)，B套餐的收費(fèi)為話費(fèi)列式，再根據(jù)兩種收費(fèi)相同列出方程，求解即可．解：A套餐的收費(fèi)方式：y1＝0.1x＋15；B套餐的收費(fèi)方式：y2＝0.15x；由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，是典型的電話收費(fèi)問(wèn)題，求出兩種收費(fèi)相同的時(shí)間是確定選擇不同的繳費(fèi)方式的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】最大利潤(rùn)問(wèn)題【例5】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┠承赇N售A、B兩種型號(hào)的球鞋，銷售一雙A型球鞋可獲利80元，銷售一雙B型球鞋可獲利110元．該鞋店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的球鞋共60雙（可以單獨(dú)購(gòu)進(jìn)一種球鞋），將其銷售完可獲總利潤(rùn)為y元，設(shè)其中A型球鞋x雙．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）若本次購(gòu)進(jìn)B型球鞋的數(shù)量不超過(guò)A型球鞋的2倍，直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，該鞋店如何安排購(gòu)進(jìn)方案可獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）；（2）且x為正整數(shù)；（3）鞋店購(gòu)進(jìn)A型球鞋20雙，購(gòu)進(jìn)B型球鞋40雙，才能使銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6000元【分析】（1）根據(jù)A，B兩種型號(hào)的球鞋獲利單價(jià)列式整理即可；（2）根據(jù)題意，列出不等式，即可；（3）由函數(shù)關(guān)系式可得到隨值的增加而減小，故根據(jù)A，B兩種型號(hào)的球鞋的數(shù)量關(guān)系，解不等式求得最小值即可．（1）解：根據(jù)題意得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：∵購(gòu)進(jìn)B型球鞋的數(shù)量不超過(guò)A型球鞋的2倍，∴，解得：，∴自變量x的取值范圍為且x為正整數(shù)；（3）解：在中，∵，∴y隨x的增大而減小，∵，∴時(shí)，y取最大值，最大值是（元），此時(shí)，答：鞋店購(gòu)進(jìn)A型球鞋20雙，購(gòu)進(jìn)B型球鞋40雙，才能使銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6000元【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的增減性、一元一次不等式的應(yīng)用等，明確題意，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為加強(qiáng)校園文化建設(shè)，某校準(zhǔn)備打造校園文化墻，需用甲、乙兩種石材，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，甲種石材的費(fèi)用y（元）與使用面積x（m2）間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種石材的價(jià)格為每平方米50元．

（1）求y與x間的函數(shù)解析式；（2）若校園文化墻總面積共600m2，其中甲種石材使用面積x（m2），設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種石材的總費(fèi)用為w元，請(qǐng)直接寫(xiě)出w與x之間的函數(shù)解析式；（3）在（2）的前提下，若甲種石材使用面積多于300m2，且不超過(guò)乙種石材面積的2倍，那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種石材的使用面積才能使總費(fèi)用最少?總費(fèi)用最少為多少元?【答案】（1）；（2）；（3）甲種石材400m2，乙種石材200m2時(shí)，總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為37000元【分析】（1）由圖可知與的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可．（2）由題意可知與的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可（3）設(shè)甲種石材種植為，則乙種石材種植，根據(jù)實(shí)際意義可以確定的范圍，結(jié)合種植費(fèi)用（元與種植面積之間的函數(shù)關(guān)系可以分類討論最少費(fèi)用為多少．解：（1）①時(shí)，設(shè)，過(guò)，，，解得，，②時(shí)設(shè)過(guò)，，，解得，，；（2）解：由題意，得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故w與x的函數(shù)解析式為；（3）設(shè)甲種石材種植為，則乙種石材種植，，，設(shè)費(fèi)用為元，，即，，隨的增大而減小，即甲，乙時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象以及一元一次不等式組的應(yīng)用．借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．【變式2】（2023春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了做好校園消毒殺菌，某校共購(gòu)買(mǎi)了20桶A、B兩種桶裝消毒液．已知A種消毒液300元/桶，每桶可供2000平方米的面積進(jìn)行消毒殺菌，B種消毒液200元/桶，每桶可供1000平方米的面積進(jìn)行消毒殺菌．設(shè)購(gòu)買(mǎi)了A種消毒液x桶，在現(xiàn)有資金不超過(guò)5200元的情況下，如何購(gòu)買(mǎi)消毒液，才能使消毒殺菌的面積S（單位：平方米）最大，并求出最大的消毒殺菌面積．【答案】購(gòu)買(mǎi)A種消毒液12桶，種消毒液8桶，可消毒殺菌的面積最大，最大的消毒殺菌面積是32000平方米【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出消毒面積與購(gòu)買(mǎi)A種消毒液桶數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)現(xiàn)有資金不超過(guò)5200元，可以得到A種消毒液桶數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到消毒面積的最大值．解：現(xiàn)有資金不超過(guò)5200元，∴，且為整數(shù)．解得：，且為整數(shù)．根據(jù)題意得，，隨的增大而增大．當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．此時(shí)，即購(gòu)買(mǎi)種消毒液8桶．答：購(gòu)買(mǎi)A種消毒液12桶，種消毒液8桶，可消毒殺菌的面積最大，最大的消毒殺菌面積是32000平方米．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【考點(diǎn)六】幾何問(wèn)題【例6】（2023春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）是軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是軸上的一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；；（2）的坐標(biāo)為或；；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【分析】（）令，求出的值，即求出點(diǎn)坐標(biāo)，令，求出的值，即求出點(diǎn)坐標(biāo)；（）設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)求三角形面積公式即可求解；（）進(jìn)行分類討論即可求解．解：（1）在中，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，在中，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，（2）設(shè)的坐標(biāo)為，的面積為，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴的坐標(biāo)為或；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，下面分三種情況說(shuō)明．當(dāng)時(shí)，即．∴．解得（舍去，此時(shí)與重合）或