河南省三門峽市五縣市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

★2024年1月29日2023—2024學(xué)年度上學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的值不可以為（）A. B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再結(jié)合題目條件，分兩種情況討論，即可確定實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題，得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，無(wú)解，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，得，所以或，解得或，綜上，實(shí)數(shù)的值可以為，不可以為.故選：C2.定義在I上的函數(shù)，命題“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，都有C.，都有 D.，都有【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識(shí)求得正確答案.【詳解】命題“，都有”是全稱量詞命題，其否定是：“，都有”.故選：B3.已知曲線：，：則下面選項(xiàng)正確的是（）A.先把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B.先把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C.先把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D.先把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先進(jìn)行橫坐標(biāo)的壓縮變換，再進(jìn)行橫坐標(biāo)的平移變換即可得答案.【詳解】解：曲線：圖象上的個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，坐標(biāo)標(biāo)不變得，再將圖象上的點(diǎn)的向左平移個(gè)單位即可得到，即曲線.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變化，是基礎(chǔ)題.4.醫(yī)學(xué)治療中常用放射性核素產(chǎn)生射線，而是由半衰期相對(duì)較長(zhǎng)的衰變產(chǎn)生的．對(duì)于質(zhì)量為的，經(jīng)過時(shí)間t后剩余的質(zhì)量為m，是以t為自變量的指數(shù)函數(shù)，其部分圖象如圖．從圖中可以得到的半衰期為（）A.67.3d B.101.0d C.115.1d D.124.9d【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)圖象列方程，化簡(jiǎn)求得半衰期.【詳解】設(shè)，且，由圖可知，所以，所以半衰期為.故選：D5.已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，都有，若，，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)為R上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，都有，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增.由于，所以.由于，所以，所以，即，，所以.故選：A6.設(shè)函數(shù)，且，則（）A.函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) B.函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)、零點(diǎn)等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)，且，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，，若，則，此時(shí)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間，則AD錯(cuò)誤.若，則，，所以的兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)是，另一個(gè)在區(qū)間.若，則的符號(hào)無(wú)法判斷，所以的兩個(gè)零點(diǎn)分別在、，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)正確.故選：C7.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱軸，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①④ B.②③ C.② D.②③④【答案】B【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱軸方程為，結(jié)合區(qū)間對(duì)稱軸條數(shù)求范圍判斷③；根據(jù)給定區(qū)間及正弦函數(shù)性質(zhì)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷①；求最小正周期的范圍、判斷區(qū)間單調(diào)性判斷②④；【詳解】由函數(shù)，令，則，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對(duì)稱軸，即有4個(gè)整數(shù)符合，由，得，則，即，，故③正確；①，，，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)，錯(cuò)誤；②，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，正確；④，，，又，，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，錯(cuò)誤.故選：B8.已知函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性定義可確定為偶函數(shù)；利用單調(diào)性定義可判斷出在上單調(diào)遞增，并結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可得到在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性可將所求不等式化為，平方后解一元二次不等式可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，為定義在上的偶函數(shù)，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，由得，即，解得，即的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列等式正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和三角恒等變換等知識(shí)求得正確答案.【詳解】，A選項(xiàng)正確.，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.已知，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則ac2>bc2C.若，則 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷ABC，由作差法可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若,且時(shí)，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故，則必有，C正確；對(duì)于D，若，則，所以，D正確.故選：CD11.若函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，則（）A. B.的最小正周期為C.在區(qū)間單調(diào)遞增 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求出，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，得，解得，而，則，A正確；顯然的最小正周期是，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上不單調(diào)，因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：A12.已知，，且．則下列選項(xiàng)正確的是（）A.且 B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、基本不等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，，且，則，由，得，所以；由，得，所以，所以A選項(xiàng)正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.由得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開____________．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)有意義列出不等式組，再解不等式組作答.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得且，所以原函數(shù)的定義域?yàn)榍?故答案為：且14.在半徑為10米的圓形彎道中，120°角所對(duì)應(yīng)的彎道長(zhǎng)為_________米．【答案】【解析】【詳解】彎道長(zhǎng)是半徑為10，圓心角為即弧度所對(duì)的弧長(zhǎng)．由弧長(zhǎng)公式得弧長(zhǎng)為．15.已知函數(shù)，在存在最大值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)在存在最大值列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】，若，則，要使在存在最大值，則，解得.故答案為：.16.已知函數(shù)，且時(shí)，，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】分析得出、，求出，化簡(jiǎn)代數(shù)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，由圖可知，因?yàn)?，即，即，所以，，由，可得，所以?故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）在中，，，求值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）．（2）在中，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以18.已知函數(shù)和的定義域都是．（1）請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系上畫出函數(shù)和的圖象；（不要求寫作法）（2）求兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并解不等式．【答案】（1）作圖見解析（2）橫坐標(biāo)或或或；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象的畫法畫出圖象.（2）通過解三角方程求得兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象求得不等式的解集.【小問1詳解】作圖如下：【小問2詳解】由，得，解得或，因?yàn)?，所以或或或．結(jié)合（1）的圖象，可知的解集為．19.已知不等式的解集為或.（1）求a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集得到1和b是方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到方程組求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論不等式化為，分類討論得到不等式的解集.【詳解】解：（1）由題意知，1和b是方程的兩根，則解得（2）不等式，即為，即.①當(dāng)時(shí)，解集為；②當(dāng)時(shí)，解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；20.已知函數(shù)．（1）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，然后利用整體代入法求得在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先求得，然后利用三角恒等變換的知識(shí)求得的值．【小問1詳解】，由，，解得，，又，函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）知，又，，，，，，．．21.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.（參考公式與數(shù)據(jù)：；；.）【答案】（1），（2）（3），，.【解析】【分析】（1）首先旋轉(zhuǎn)的角速度和初相，結(jié)合三角函數(shù)，列出與的函數(shù)關(guān)系；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合兩人的角度差，分別計(jì)算和，并利用參考公式化簡(jiǎn)高度差函數(shù)，根據(jù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)，游客甲位于點(diǎn)，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為，由題意可得，小問2詳解】當(dāng)時(shí)，所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度約為.【小問3詳解】如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)，表示，則，經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度為則甲、乙距離地面的高度差利用，可得，.當(dāng)（或），即（或22.8）時(shí)，的最大值為.所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為.22.已知函數(shù)滿足，有．（1）求的解析式；（2）若，函數(shù)，且，，使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過列方程組的方法來(lái)求得的解析式；（2）先求得的值域，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.【