單片機原理與應用第一章第二章

第一章線性代數(shù)方程組（消元法）歷史上，線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性代數(shù)方程組（1-1）的問題（1-1）我們就從消元法解最簡單的二元線性代數(shù)方程開始討論這一應用非常廣泛的課題，從而看出研究矩陣的必然性第一節(jié)解線性代數(shù)方程組的消元法二元線性代數(shù)方程組高斯–若爾當消元法一、二元線性代數(shù)方程組在平面直角坐標中，二元線性方程的圖像（坐標能滿足方程的點集）是條直線。例如方程在將他的兩個解及在坐標平面上用點表圖1-1示后，連線既得此方程的圖像（圖1-1）。事實上，此直線上任意一點的坐標正是該方程的一個解，反之，以方程的任意一個解作為坐標，也正是這直線上的一個點。這樣從幾何上也看出一個二元線性方程有無限多解的事實。在實際問題中常要對同時出現(xiàn)的若干個線性方程作為一個整體來考慮，需求出滿足所有方程的未知數(shù)，這就是解線性代數(shù)方程組。例如將（1-2）（1-3）這兩個方程作為整體來討論，就成一線性方程組（systemoflinearequation）,（1-2）是方程組的第一個方程，而（1-3）是第2個方程，對于線性方程組，其重要的求解方法是消元法，即通過對方程組做同解變形（或稱等價運算或變形），使各個方程變成分別各含一個未知數(shù)（也稱變量），并能求出其值，從而得到整個方程“組”的解，這個解當然地應該也是由數(shù)組表示的。方程組的等價變形有一下三類：1.交換組內(nèi)任意兩個方程的次序（編號）；(交換)2.任意一方程乘一非零常數(shù)；（數(shù)乘）3.任意一方程經(jīng)數(shù)量倍（即在兩端乘同一常數(shù)）后加到另一方程去。（倍加）例1

試用方程組等價變形法，解方程組（1-2）（1-3）線性代數(shù)方程組的解有三種可能的情形：具有確定的解；無解；或者有無限多個解。例2

試用方程組等價變形，解方程組（1-3）（1-4）例3

試用方程組等價變形，解方程組（1-3）（1-5）如圖1-2(a)、(b)、(c)分別顯示例1、2、3三個二元線性方程組解的三種狀況之幾何意義：2x-3y=-4yxox+y=3(a)一對相交直線有唯一公共點2x-3y=-4yxo-4x+6y=2(b)一對平行直線無公共點2x-3y=-4yxo-4x+6y=8(c)一對重合直線每一點都是公共點圖1-2二、高斯-若爾當消元法將未知數(shù)個數(shù)相等的多個線性方程看成一個整體，稱為線性方程組。若一個方程組含有m個方程、n個未知數(shù)，常簡稱為m×n方程組。m×n方程組的解應是n維數(shù)組，將解數(shù)組各個分量依序代未知數(shù)時能使m個方程全部成立?；仡櫳弦欢?，用三類等價運算解2×2方程組的過程，這里是依照這樣的目標進行的：通過三類等價運算，先用第1個方程，將方程組第1個未知數(shù)在各個方程中的系數(shù)變成只在第1個方程中成1，其他方程中全為0；再用第2個方程第2個未知數(shù)在各個方程中的系數(shù)變成只在第2個方程中成1，其他方程中全為0，如此等等。由于整個過程只是通過方程組等價運算變各個方程的系數(shù)，為簡化計算，可省寫未知數(shù)，用列表形式凸現(xiàn)其系數(shù)的變化過程?？蓪⒌挠嬎阒噩F(xiàn)于下：表1給出的的原始方程組，（row）是方程的系數(shù)，方程的系數(shù)，方程右端的常數(shù)組成。r1是第1行r2是第2行是而常數(shù)列（column）由xy常數(shù)列r1113r22-3-4表1xy常數(shù)列r1113r2′0-5-10表2經(jīng)等價運算r1×（-2）+r2，得經(jīng)運算r2′×（-1/5）得r1113r2?012表3經(jīng)運算r2?×（-1）+r1得r1′101r2?012表4第1個未知數(shù)x列的位置成第2個未知數(shù)y列的位置成因原方程組與表四代表的方程組同解，故這就是方程組的解，或者說此時常數(shù)列位置成為方程組的解這樣求方程組解的方法稱為消元法(elimination)或一般稱為高斯-若爾當(Gauss-Jordan)消元法。

通過以上各例可看出,與2×2方程組一樣，對一般的m×n線性方程組，其解的情況也有三種：有唯一確定的解，有無限多個解，或者無解

,三者必居其一。第二章矩陣定義1

m

n

個元，排成

m

行

n

列（橫稱行，縱稱列）的矩型陣列（表）稱為維是m

n的矩陣(matrix)簡稱為m

n[型]矩陣.一、矩陣概念(2-1)常用大寫黑斜體字母如A、B、C，·····記之，必要時也可以以下標來區(qū)別不同的矩陣，如A1，A2，·····在書寫矩陣時，也有將的m

n矩陣寫作３×４矩陣這個３×４矩陣，有a21=15，a33=14在敘述普遍規(guī)律或從前后文容易明確時，一般就不特別指所涉及矩陣的維，而在必要時常用表明A是m

n矩陣

二、一些特殊的矩陣m=n

的情形，此時稱之為n

階方陣或

n

階矩陣。從矩陣的形狀看，遇到最多的是在中另外，只有一列（即n=1）或一行（即m=1）的矩陣也常碰到.

(2)行矩陣和列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣(也稱為行向量).如A=(a11a12…a1n).如

只有一列的矩陣稱為列矩陣(也稱為列向量).

(3)上三角陣與下三角陣對于方陣，若其非零元只出現(xiàn)在對角線及其上（或右）方，就稱為上三角[形矩]陣（uppertriangularmatrix）,有時用U或R(right)表示。如：是4階上三角陣。值得注意的是，對角線下（或左）方的元必為零，而其他元可以是零也可以不是零。相反，非零元只出現(xiàn)在對角線及其下（或左）方的方陣為下三角[形矩]陣(lowertriangularmatrix)記作L(left).如是個3階下三角陣一般而言，對n階矩陣A=[aij]，當且僅當i>j且aij=0時A為上三角陣；而當且僅當i<j且aij=0時A為下三角陣；[矩]陣（diagonalmatrix）,一個既是上三角又是下三角的矩陣稱為對角

(4)對角陣亦即對角陣是非零元只能在主對角線上出現(xiàn)的方陣.如是個3階的對角陣.顯然，由對角線元就足以確定對角陣本身，故常將這對角陣記作D=diag(12,3,4).而diag(δ1,δ2,·····,δn

)表示一組對角元分別為δ1,δ2,·····,δn的n階對角陣，詳細寫出就是當然允許某些δ等于零。（2-4）ndiagdddL),,,(úúúú?ùêêêê?éndddLMMMLL0000002121def量δ時稱為標量[矩]陣(scalarmatrix),當一對角陣的對角線元全相等，等于某個常

(5)標量陣特別稱δ=1的標量矩陣為單位[矩]陣,或稱幺[矩]陣(identitymatrix),以I或E來記。必要時在其下角標明階數(shù)，如（2-4′）在對許多實際問題作數(shù)學描述時，都要用到矩陣的概念，三、矩陣問題的例這里討論幾個簡單的例子。例1

（通路矩陣）a省兩個城市a1,a2和b

省三個城市b1,b2,b3的交通聯(lián)結(jié)情況如圖2-1所示，每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)該兩城市的不同通路總數(shù)。由該圖提供的通路信息，可用矩陣形式表示（稱之為通路矩陣），以便存貯、計算與利用這些信息。a1a2b1b2b341322現(xiàn)有a1a2b1b2b3通路矩陣C的行表示a省的城市，列是b省的而cij表示ai與bj間的通路數(shù)。工廠中常用管道聯(lián)結(jié)各種設(shè)備，于是也可用一矩陣表明各設(shè)備間的連通情況.圖2-1城市，例2

（價格矩陣）四種食品（food）在三家商店（shop）中，單位量的售價可用以下矩陣給出：F1F2F3F4S1S2S3（2-5）這里的行表示商店，列為食品，分量就是第2種食品在3家商店中的3個售價。例如第2列3個基本運算一定義在定義矩陣運算之前，先規(guī)定矩陣相等的含義。定義相等

設(shè)A是m×n矩陣，B是s×t矩陣,A=[aij],B=[bij]

，則當m=s,n=t且aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)時，稱矩陣A與B相等，記作A=B.這就是說兩個行、列數(shù)分別相同且有同樣位置的元全都對應相等的矩陣是相等的?？梢钥闯?，引進矩陣記號可簡化表達，用一個矩陣等式可表達很多個數(shù)量等式。定義2

數(shù)乘若A是m×n矩陣，α是個數(shù)，則αA（或Aα）是用數(shù)α乘A的每一個元而形成的m×n矩陣，即若

則例如若則定義加法若A=[aij]和B=[bij]是兩個m×n矩陣則將其每一對i-j元相加，矩陣稱為矩陣A與B的和，記作A+B形成一新的m×n即例如定義中蘊含了只有同維矩陣才能相加的條件，故在認為記號“A+B

”有意義時，即已承認了A與B是同維的事實.

把矩陣A與B之差A–B

定義成A+（-1）B

.式中當然認為是先進行數(shù)乘運算（-1）B

的.把元全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O則對任意一矩陣A，有A=A+O=O+A以及A–A=A+(–1)A=O若用–A表示A的加法逆，則–A=(–1)A常將矩陣的數(shù)乘及加法統(tǒng)稱為線性運算。的形式，這樣做將有利于理解解的“結(jié)構(gòu)”利用線性運算可將上章的解表示成定義轉(zhuǎn)置把給定m×n矩陣A的各行作為相同序號的列，形成一個新的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置（transpose）,記作AT或者A′。顯然AT是n×m矩陣，例如例2

（續(xù)）若欲購買第i種食品xi個單位，(i=1，2，3，4),可表示成一個3維的總價向量x=[x1,x2,x3,x4]T

，則購買的食品量可表成向量同的商店購買而不同，所需的總價當然隨著在不總價：故可算得3個不相同的由于總價應該是單價與購買量之積.這樣，與需購向量的乘積.從矩陣運算角度來看，這里是3×4矩陣與4×1矩陣做“乘法”，結(jié)果是個3×1矩陣。自然可把這總價向量看作是單價矩陣考察了這兩個例子后，現(xiàn)在正式定義矩陣乘法定義乘法設(shè)A=[aij]是m×n矩陣，B=[bij]是n×s矩陣，為元的m×s矩陣C=[cij]為A[自左]乘B的乘積，（2-7）以記作C=AB，亦即

AB

的i–j元是A的第i行與B的第j列對應位置元的乘積之和（簡稱為A第i行與B第j列之積），稱為確定矩陣乘積AB元的行乘列法則.借下式=（2-8）可幫助記憶怎樣確定乘積AB之維的關(guān)系。列數(shù)與B的行數(shù)相等時，乘積AB有定義，類似地，可規(guī)定A[自]右乘B的規(guī)則，從及（2-8）可見，當且僅當A的是A可[自]左乘B的可相乘條件。這就并得到A可[自]右乘B的條件，即記號BA

有意義的條件是B的列數(shù)與A的行數(shù)相等.例6

設(shè)這時A左乘B不可能，因為A的列數(shù)是2而B的行數(shù)是3,兩者不相等.然而A右乘B(即B左乘A)卻是可以的,按,A右乘B得到的BA是個3×2矩陣2，因為B的列數(shù)與A的行數(shù)均為例6

設(shè)則根據(jù)，AB與BA都是存在的，有這里可以看到矩陣乘法的一個必須注意的特點：一般不滿足交換律.亦即AB與BA可以不必相等，甚至這兩者可以不必皆有意義，或未必有相同的維.今后，特別稱使

AB=BA的矩陣A與B是可交換相乘的矩陣.AkAA

Ak個def自乘若干次的情形，使用冪指數(shù)的記號是即合理又可帶來便利的.若k是個正整數(shù)，定義（規(guī)定A0=I）從這個定義可看出成立指數(shù)律：AkAl=Ak+l但是對于兩個同階方陣A,B而言，(A+B)2與A2+2AB+B2

當且僅當A、B可交換相乘時才相等。在一個方陣由于矩陣乘法是滿足結(jié)合律的，例

（線性代數(shù)方程組）（2-12）系數(shù)構(gòu)成的m×n矩陣A=[aij],稱為系數(shù)矩陣,n維的未知數(shù)向量x=以及m維的自由項（或右端項）b=,利用矩陣乘法及矩陣相等的規(guī)定，線性代數(shù)方程組對此方程組，引進由方程組的Ax=b(2-12′)可被表示成等價的矩陣形式：逆矩陣

在數(shù)學運算中，數(shù)b除以非零數(shù)a的運算可用乘法表出為其中非零數(shù)的“倒數(shù)”（乘法逆）可用式定義。受此啟發(fā)，對方陣的情形，就從討論類似的等式出發(fā)，建立可逆矩陣的概念。一可逆矩陣定義3

對給定的矩陣A，如果存在矩陣B，使AB=BA=I則稱A為可逆[矩]陣，并稱適合（2-13）（2-13）的矩陣B稱為A的逆[矩]陣;可逆矩陣也稱為非退化[矩]陣，也常被稱為非奇異[矩]陣成立，的做法，姑且稱之為單位陣技巧，定理4

如果A

是

可逆陣，則其逆陣是唯一的.

在證明過程中巧用及陣等式中常用的一種技巧.這是在證明矩而稱不存在逆陣的方陣為退化[矩]陣或奇異[矩]陣.這樣，根據(jù)定義可容易地推知，單位陣必為可逆陣，且其逆陣即為自身

I-1=I.

由于可逆矩陣A

的逆矩陣是唯一確定的，故可用確定的符號記之為A-1

，有AA-1=A-1A=I.(2-13′)例13

試證對角陣是可逆矩陣，并求出A-1

利用逆矩陣概念，可方便表出線性代數(shù)方程組的解.事實上,對n×n（即n個n元）線性代數(shù)方程組Ax=b當A是可逆矩陣時，可表出其解為

x=A-1b，這是因為由A為可逆陣，可知A-1存在，用A-1同時[左]乘方程的兩邊，A-1Ax=A-1b即x=A-1b可得可逆矩陣有以下兩定理表示的性質(zhì)定理5

若A為可逆矩陣，則A-1、kA（k

為任一非零常數(shù)）、AT皆為可逆陣，(A-1)-1=A(AT)-1=(A-1)T.且定理6

若A、B

為同階的可逆矩陣，則AB

也是可逆陣，(AB)-1=B-1A-1.（2-14）且成立矩陣的分塊一分塊運算一個給定的矩陣A，可在行間做水平[虛]線，或（及）在列間作鉛垂[虛]線，把矩陣劃分成一些塊，稱為對矩陣A的分塊.

例如下面（2-17）中的3×5矩陣，被所示的虛線分成了四塊：

對一種特定的分塊方式，為指明其各元塊的維，可如上式右端那樣標示，的矩陣等等.

將矩陣適當?shù)胤謮K是種技術(shù)，這樣做，有時3221（2-17）得以看出A11

是2×3適當分塊后，可被看成是個“對角陣”可利于凸現(xiàn)出蘊含的某種簡單結(jié)構(gòu)，如對從而有可能利用已知的性質(zhì)，簡化運算與討論.其中稱形如（2-18）的分塊矩陣為分塊對角[矩]陣或擬對角[矩]陣.（2-18）二矩陣的按列分塊對矩陣按列分塊，是一種技術(shù)也是一種看法,有了這種技術(shù)使線性代數(shù)方程、矩陣、向量[空]間三者將交織在一起互動地發(fā)展，這對理解或解釋線性代數(shù)的有關(guān)概念和問題常是有幫助的.若在矩陣的列間引入虛線按列分塊，如其中aj

是

A

的第j列，.這樣

A

被看作是以向量為元的行向量，有時也要用到按列分塊.

其中帶上標的小寫黑體字母表示行向量，ai

是A的第i行，.如三子矩陣

對給定的m

n矩陣A，取其r行(1≤r≤m)s列(1≤s≤n),則位于交叉位置的個rs個元可按照原來的相對位置構(gòu)成一個r

s

矩陣，稱這樣的矩陣為A的子矩陣.例如若取其第2、4行及第2、3、5列可得2

3

子矩陣

一個矩陣可以有很多子矩陣，得到的每個塊都可看作是所給矩陣的一個子矩陣.在分塊技術(shù)中而且每個矩陣也可看作是自身的一個特殊的子矩陣初等變換與初等矩陣定義與性質(zhì)矩陣的等價標準形分解再論可逆矩陣n×n線性代數(shù)方程組的唯一解

矩陣的初等變換起源于解線性方程組的3類同解變形.利用初等變換將矩陣A化成形狀“簡單”的的矩陣B，以通過B探討或解決與A有關(guān)的問題或某些性質(zhì)是討論矩陣問題的常用方法.一定義與性質(zhì)定義5

分別稱以下3類變換為矩陣的第1、2、3

類行(row)或列(column)初等變換：1

.

對調(diào)矩陣中任意兩行（或列）的位置.用rij

（或cij

）表示對調(diào)一個矩陣的第i

行(列)與第j行（列）的第1類行(列)初等變換.2.

以一非零常數(shù)乘矩陣某一行（或列）.記為ri

rj

(ci

cj

)行(列)的第2類行(列)初等變換.記為ri→αri(ci→αci)用ri(α)(或ci(α))表示以α≠0乘矩陣第i

將矩陣某行（或列）的數(shù)量倍數(shù)加到另一行（或列）去.用rij(k)(或cij(k))表示以k乘矩陣第i行(列)后加到第i行(列)的第3類行（列）初等變換記為rj→rj+kri(cj→cj+kci)行初等變換與列初等變換統(tǒng)稱為初等變換定義6

對單位陣施以一次行(列)初等變換后所得到的矩陣稱為相應的行(列)初等矩陣，1、2、3類行列初等矩陣為Rij,Ri(α),Rij(k)

或Cij,Ci(α),Cij(k),分別記第有第i

行第

j

行第i

行第

i行第

j

行行初等矩陣與列初等矩陣統(tǒng)稱為初等[矩]陣初等變換與初等矩陣有以下定理表出的一些性質(zhì)所得的矩陣B

，定理7

對m

n

矩陣A,列)初等矩陣左(右)乘A.做一次行(列)初等變換等于以一個相應的m階行(n階定理8

初等矩陣都是可逆陣，且其逆陣亦為同類型的初等矩陣，類似地有(2-19)(2-19′)有定理9

非退化陣經(jīng)過初等變換后仍為非退化陣,

而退化陣經(jīng)過初等變換后仍為退化陣.二矩陣的等價標準形分解利用初等變換可容易證得下面的定理定理10

對任一m

n

矩陣A,必可經(jīng)過有限次初等變換，化成如下形式的m

n矩陣：亦即，對任一m

n矩陣A必可找到初等陣R1,R2,…,Rs及C1,C2,…,Cl

，使其中r是個隨A