2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第20講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第20講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)思維導(dǎo)圖知識梳理1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．題型歸納題型1象限角及終邊相同的角【例11】（2020春?延慶區(qū)期末）與角終邊相同的角為A． B． C． D．【分析】寫出與角終邊相同的角的集合，取值得答案．【解答】解：與角終邊相同的角的集合為，，取，可得．與角終邊相同的角是．故選：．【例12】（2020春?浦東新區(qū)校級期中）已知是第二象限角，則是A．銳角 B．第一象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角【分析】由是第二象限角對應(yīng)的范圍，即可求解結(jié)論．【解答】解：是第二象限角，所以，，，，是第一象限或第三象限角，故選：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2019秋?東湖區(qū)校級期末）是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】由，知是第三象限角．【解答】解：，是第三象限角．故選：．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019秋?西昌市期末）終邊在三象限，則的終邊可能在A．一三象限 B．二四象限 C．一二象限或軸非負(fù)半軸 D．三四象限或軸非正半軸【分析】由題意得，，從而．進(jìn)而的終邊可能在一二象限或軸非負(fù)半軸．【解答】解：終邊在三象限，，，．的終邊可能在一二象限或軸非負(fù)半軸．故選：．【跟蹤訓(xùn)練13】（2020春?楊浦區(qū)校級期末）下列角的終邊與的終邊在同一象限的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)象限的范圍即可判斷．【解答】解：，與終邊相同的是．則在第三象限，的終邊在第三象限，在第二象限，在第一象限，在第四象限，在第三象限，故選：．【跟蹤訓(xùn)練14】（2019秋?赤峰期末）設(shè)終邊在軸的負(fù)半軸上的角的集合為，則A． B． C． D．【分析】找出內(nèi)終邊在軸的負(fù)半軸上的角，再寫出終邊在軸負(fù)半軸上的角的集合．【解答】解：在內(nèi)，終邊在軸的負(fù)半軸上的角為，所以終邊在軸的負(fù)半軸上的角可以表示為，．故選：．【名師指導(dǎo)】(1)終邊在某直線上角的求法4步驟①數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線；②按逆時針方向?qū)懗鯷0，2π]內(nèi)的角；③再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；④求并集化簡集合．(2)判斷象限角的2種方法①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．(3)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置3步驟①用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；②再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍；③然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置．題型2扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用【例21】（2019春?玉山縣校級月考）已知在半徑為6的圓中，弦的長為6，（1）求弦所對圓心角的大??；（2）求所在的扇形的弧長以及扇形的面積．【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得為等邊三角形，即可得的值；（2）根據(jù)題意，由弧長公示以及扇形面積公式計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，半徑為6的圓中，弦的長為6，則為等邊三角形，則，即，（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?太原期末）已知扇形的半徑為1，圓心角為，則該扇形的弧長為．【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：由題意得，扇形的半徑為，圓心角為，故此扇形的弧長為：．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?徐匯區(qū)期末）已如扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為．【分析】根據(jù)弧長公式和扇形的面積公式計算即可．【解答】解：扇形的圓心角為，弧長為，根據(jù)弧長公式可得，則，根據(jù)扇形面積公式，，故答案為：．【名師指導(dǎo)】弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例31】（2020春?麗水期末）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，先計算，再利用正弦函數(shù)的定義求出，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：因為角的終邊經(jīng)過點，所以因為，所以：；所以．（正值舍）故；故選：．【例32】（2020春?興寧區(qū)校級期末）角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸正半軸上，且終邊過點，則A． B． C． D．【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得結(jié)果．【解答】解：角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸正半軸上，且終邊過點，則，故選：．【例33】（2020春?金華期末）若，，則是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】由三角函數(shù)值的符號判定是第幾象限角，通常記住口訣“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，應(yīng)用方便．【解答】解：，可能是第二、或第三象限角，或負(fù)半軸角；又，可能是第一、或第三象限角；綜上，是第三象限角；故選：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?河池期末）若角的終邊上有一點，則A．2 B．4 C． D．【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值，求出的值．【解答】解：角的終邊上有一點，，則，故選：．【跟蹤訓(xùn)練32】（2019春?五蓮縣期中）若點位于第四象限，則角在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由題意可得，，，從而可求．【解答】解：由題意可得，，，故在二象限，故選：．【名師指導(dǎo)】1.三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決方法(1)已知角α的終邊上的一點P的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先求出點P到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的一個三角函數(shù)值和終邊上一點P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角α有關(guān)的三角函數(shù)值．方法：先求出點P到原點的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題．(3)已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)