2023年新高考1卷數(shù)學(xué)真題試卷附詳解

2023年高考數(shù)學(xué)試卷

新課標(biāo)I卷

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合出={—N={x,—%—62。},則()

A.{-2,-1,0,1}B,{0,1,2}C.{-2}D.2

1-i_

2.已知z=——-，貝！Jz—z=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

3.已知向量a==(1,—1),若(a+Xb)_L(a+,則()

A.X+〃=lB.?!+//——1

c.M=1D.中=-1

4.設(shè)函數(shù)〃尤)=2蟲引在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(TO,—2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

22

5.設(shè)橢圓G：=+>2=1(。>1),。，：、+丁2=1的離心率分別為,勺.若02=百,，則

a4

a二()

A.半B.72C.73D.V6

6.過(guò)點(diǎn)(0,—2)與圓丁+/一4彳_1=0相切的兩條直線的夾角為&,則sing=()

A1R岳0回D卡

1t).-----L.-----\-J.------

444

c

7.記S”為數(shù)列{a“}的前”項(xiàng)和,設(shè)甲：{4}為等差數(shù)列；乙：{口}為等差數(shù)列，則()

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

第1頁(yè)共21頁(yè)

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.己知sin(<z—￡)=gcosasin/?=g，則cos(2a+2/)=().

7117

A.-B.-C.——D.

9999

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)為,…,4,其中玉是最小值，4是最大值，則()

A.々，七,工4，占的平均數(shù)等于石,々,…的平均數(shù)

B.%2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于xl,x2,---,x6的中位數(shù)

c.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于王,々,…的標(biāo)準(zhǔn)差

D.々，了3，》4，匕的極差不大于石,々，…，玉,的極差

10.噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)

4=20xlgE,其中常數(shù)。。(外〉。)是聽覺(jué)下限閾值，，是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的

聲壓級(jí):

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車106090

混合動(dòng)力汽車105060

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為。1，必，。3,則

().

A.Pi>p2B.p2>10/?3

C.P3=1O()POD.Px<100/?2

第2頁(yè)共21頁(yè)

11.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,〃取）=y2〃兀）+爐〃田，則（）.

A./（O）=OB./（1）=0

C.〃龍）是偶函數(shù)D.九=0為"力的極小值點(diǎn)

12.下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位:m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）

內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3

門課,并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

14.在正四棱臺(tái)ABC?！狝4GR中，A5=2，A4=1,A4=J5,則該棱臺(tái)的體積為

15.已知函數(shù)/■（x）=cosox—1（。＞0）在區(qū)間[0,2可有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍

是.

22

16.已知雙曲線C:1-右=1（。＞03＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工.點(diǎn)A在。上，點(diǎn)5在

ab.一

2

軸上，則的離心率為.

y4A1F1B,F2A=--F2B,c

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

17.己知在.ABC中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

（1）求sinA；

（2）設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

18.如圖，在正四棱柱ABC?！校珹3=2,AA=4?點(diǎn)4,32，。2，02分別在棱

AAj,BB],CC],DD]上，AA^=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

第3頁(yè)共21頁(yè)

(1)證明：32。2〃4°2；

(2)點(diǎn)P在棱8月上，當(dāng)二面角P—-3為1500時(shí),求32P.

19.已知函數(shù)/(x)=a(e*+a)-x.

(1)討論的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>21na+—.

2

20.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,且d>l.令〃=--，記凡工分別為數(shù)列｛%｝，也｝

an

的前〃項(xiàng)和.

(1)若3。2=34+。3，邑+4=21，求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若也｝為等差數(shù)列，且與9—%=99,求d.

21.甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若末命中則換

為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均

為08由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第，次投籃的人是甲的概率；

(3)已知:若隨機(jī)變量X,.服從兩點(diǎn)分布,且P(X,.=1)=1—P(X,=0)==1,2,…，

則X,)=f1.記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).

\Z=17i=l

第4頁(yè)共21頁(yè)

22.在直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)尸到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0,1的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡

為W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形A3CD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明:矩形ABCD的周長(zhǎng)大于3百.

2023年高考數(shù)學(xué)試卷

新課標(biāo)I卷答案

一、選擇題.

1.C

解：因?yàn)镹={xk2—X—6之。}=（—8,—2］。［3,+動(dòng)，而/={—所以

McN={-2}.

故選:C.

2.A

1—i(1—i)(l—i)—2i1,—1_

解：因?yàn)?=----=—；---77----7----=1,所以z=—i,即z—z=—i

2+2i2(l+i)(l-i)4221

故選:A.

3.D

解：因?yàn)閍=(1,1)力=(1,一1),所以。+26=(1+2,1—/1),0+//6=(1+4，1—//)

由(a+_L(a+可得,(a+Abj-(a+=0

即(1+為(1+〃)+(1—；1)(1一〃)=0,整理得—1.

故選:D.

4.D

解：函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)/（尤）=2"ea）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減,則有函數(shù)

2

y=x（x-a）=（x—92一?在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減,因此萬(wàn)n21,解得〃22.

第5頁(yè)共21頁(yè)

所以a的取值范圍是［2,+8).

故選:D.

5.A

解：由62=69,得e；=3e：,因此T=3x。^,而a>l,所以a=半.

故選:A.

6.B

解:因?yàn)閒+9-?-1=0,即(x—2y+y2=5,可得圓心C(2,0),半徑「=J?

過(guò)點(diǎn)尸(0,-2)作圓C的切線,切點(diǎn)為A,JB

因?yàn)閨PC|=百+(—2『=20,則|PA|=yj\PCf-r2=

./AM小M6瓜

可得sinZAPC=-7==----,cosZAPC=—產(chǎn)=——

2V242V24

則sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵x—=叵

cosNAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0

即/APB為鈍角.

所以sina=sin(兀一ZAPB)=sinZAPB

4

故選:B.

7.C

解:甲：｛%｝為等差數(shù)列,設(shè)其首項(xiàng)為％,公差為d

e廠幾(幾-1)jn-1ddSd

則S—TICL^H----------d,——Cty~\-------a1=-n+a.----〃t+1

nIn2212zi+1n2

q

因此｛」4為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件.

n

cSS,」$+「(〃+1電叫印-s“

反之，乙:｛力為等差數(shù)列，即謂為常數(shù),設(shè)為/

nn(n+l)n(n+V)

第6頁(yè)共21頁(yè)

nar-S

即-/_=/，則S"="。"+1T?"("+1),有=(H-l)a?-t-n(n-Y),n>2

n(n+l)

兩式相減得：冊(cè)—〃4+i-(〃-1)4-2m,即an+i—an=2%,對(duì)〃=1也成立

因此｛2｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件.

所以甲是乙的充要條件,C正確.

故選:C.

8.B

解:因?yàn)閟in(。一夕)=sin。cos尸一cosisin,而cosasin/?,因此sinacos/=，

362

2

則sin(a+尸)=sinacos[3+cosasinj3=—

21

所以cos(2o+20)=cos2(cr+/?)=1—2sin?(cr+/)=1—2x(—)2=—.

故選:B.

二、選擇題.

9.BD

解:對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)馬，不，Z，％5的平均數(shù)為加，%,%，…，％6的平均數(shù)為n

則〃_機(jī)=X1+X2+X3+X4+X5+X6_X2+X3+X4+X5=2(一+/)-(/+/+*3+44)

、「6412

+%4

因?yàn)闆](méi)有確定2(%+x6),x5+々+$的大小關(guān)系,所以無(wú)法判斷私〃的大小

例如：1,2,3,4,5,6,可得zn=〃=3.5.

例如1』,1,1,1,7,可得根=1,〃=2.

例如1,2,2,2,2,2,可得"7=2,”=U；故A錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)B:不妨設(shè)<x2<x3<x4<x5<x6

可知…，…的中位數(shù)等于g,?"的中位數(shù)均為號(hào)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)槠呤亲钚≈担?6是最大值

則X2,X3,X4,x5的波動(dòng)性不大于石,馬,…的波動(dòng)性,即X2,X3,X4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于

xl,x2,---,x6的標(biāo)準(zhǔn)差

第7頁(yè)共21頁(yè)

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)〃=！(2+4+6+8+10+12)=7

6

標(biāo)準(zhǔn)差[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2

Y6L」3

4,6,8,10,則平均數(shù),71=1(4+6+8+10)=7

標(biāo)準(zhǔn)差$2=A-(4_7)2+(6_7)2+(8_7『+(10—7)2-=小

顯然邊叵〉5,即為〉$2；故C錯(cuò)誤；

3一

對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)xi<x2<x3<x4<xi<x6

則x6-xl>x5-x2,當(dāng)且僅當(dāng)石=x2,x5=%6時(shí),等號(hào)成立,故D正確；

故選:BD.

10.ACD

解屈題意可知：與《60,90],%w[50,60],4=40

對(duì)于選項(xiàng)A：可得一L%=20xlg且一20xlgR=20xlg旦

PoPoPi

因?yàn)椋?J,則LPi-Lp2=20xlg-^i->0,gplg—>0

P2Pl

所以且21且&P2〉O,可得P|20,故A正確；

Pl

對(duì)于選項(xiàng)B：可得L%—L%=20xlgR—20xlg匡=20xlgR

PoPoPi

因?yàn)?,一L小=Lpz-40210,則20xlg0~Z10,即1g上

p3p32

所以‘&'且必，，3>0,可得P22冊(cè)P3

當(dāng)且僅當(dāng)Lp2=50時(shí),等號(hào)成立,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?20*地上=40,即坨上=2

PoPo

第8頁(yè)共21頁(yè)

可得上=100,即凸=100p0,故C正確；

PQ

對(duì)于選項(xiàng)D:由選項(xiàng)A可知：人—L=20xlgA

P2

且4(<90—50=40,則20義炮且440

P2

即1g.<2,可得且W100,且pi，，？〉。，所以巧<1002，故口正確；

故選:ACD.

11.ABC

解：因?yàn)?(盯)=y"(x)+x"(y)

對(duì)于A令X=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=o,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=1,/⑴=1/(1)+1/(1),則/(I)=0,故B正確.

對(duì)于C,令X=y=-1,/(I)=/(-D+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0

令y=—1"(—x)=/(%)+x2/(-l)=/(%)

又函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以/(X)為偶函數(shù)，故C正確

對(duì)于D,不妨令f(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值,故D錯(cuò)誤.

12.ABD

解:對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<1m,即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為Jim,且e'>1.4

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為百m,且G<1.8

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為6m,且石〉1,2

設(shè)正方體ABC。-A4GR的中心為。，以AQ為軸對(duì)稱放置圓柱,設(shè)圓柱的底面圓心。|

到正方體的表面的最近的距離為hm

第9頁(yè)共21頁(yè)

如圖，結(jié)合對(duì)稱性可知：0G=gGA=5,Ga=0Cr00[=與—0.6

則小黑，牛書，解得宜費(fèi)〉。34〉。?。1

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

三、填空題.

13.64

解：（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C；C；=16種;

（2）當(dāng)從8門課中選修3門

①若體育類選修課1門,則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有=24種；

綜上所述:不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

14.友

6

解:如圖,過(guò)A作A.MLAC,垂足為M,易知AM為四棱臺(tái)ABCD-44Goi的高

第10頁(yè)共21頁(yè)

因?yàn)锳B=2，A4=1，M=V2

iiBii

則40]=-AlCl=-x42A1B1=—,AO=-AC=-x42AB=y/2

22222

2

故AM=1(AC—ACj=乎，則AXM=yl^-AM

所以所求體積為V=』x(4+1+W)x逅=2畫

326

故答案為：友.

6

15.[2,3)

解:因?yàn)?WxW2TT,所以0WcoxW2麗

令/(x)=cosox-l=0,則COS0X=1有3個(gè)根

令/=以，貝i|cosf=l有3個(gè)根，其中te[0,2am]

結(jié)合余弦函數(shù)V=cos/的圖像性質(zhì)可得4兀W2胸＜6兀，故2W3

故答案為:[2,3).

解:依題意,設(shè)|陷=2m,則\BF2\=3m=\BF^,\AF^=2a+2m

在Rt.；AB￡中，9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)(?—m)=0,故。=m或a=-3m

(舍去)

所以|A￡|=4a,|=2a,忸閭=忸周=3a,則|AS|=5a

AFI4a4

故以光/片4鳥=立才}一一

5a5

第11頁(yè)共21頁(yè)

16〃2+4〃2—4「214

所以在△位中，儂49=2x4”2a后,整理得5心9/

四、解答題.

17.(1)

10

⑵6

【小問(wèn)1詳解】

A+B=3C

TT

...兀一C=3C,即。二一

4

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)

.\2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC

/.sinAcosC=3cosAsinC

/.sinA=3cosA

TT

即tanA=3,所以0<4<彳

2

.,S1nA=^=^

回10

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，cosA=—j==-----

Vwio

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

210105

第12頁(yè)共21頁(yè)

v2亞

卜5x------

由正弦定理，'一可得6=―7―=2加

sinCsinBy/2

~T

:.-ABh=-ABACsinA

22

h-b-sinA-2^/10x3^^=6.

10

18.(1)證明見解析

(2)1

【小問(wèn)1詳解】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線為x,Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A(2,2,1)

:.B2C2=(0,-2,l),A,D2=(0,-2,l)

.-.B^C2//A,D2

又B2c2,A3不在同一條直線上

8c2〃A3.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P(0,2,4)(0<2?4)

則Aq=(-2,-2,2),PG=(0,-2,3-2),Z)2C2=(-2,0,1)

第13頁(yè)共21頁(yè)

設(shè)平面P4c2的法向量〃=(%,y,z)

〃?4。2=—2x-2y+2z=0

〃?尸C；=—2y+(3—4)z=0

令2=2,得y=3_4%=X_l

/.n—(/I—1,3—尢2)

設(shè)平面4G3的法向量機(jī)=(a,b,c)

m?A2c2=-2a-2b+2c=0

m-D2c2=—2a+c=0

令a=l,得b=l,c=2

m=(1,1,2)

V674+(2-l)2+(3-2)2

化簡(jiǎn)可得，22-42+3=0

解得4=1或X=3

；.尸(0,2,1)或尸(0,2,3)

19.(1)答案見解析

(2)證明見解析

【小問(wèn)1詳解】

解:因?yàn)?>(x)=a(e*+a)—x,定義域?yàn)镽,所以/'(x)=ae*—l

當(dāng)aW0時(shí)，由于e*>0,則ae*<0,故/'(x)=aex-1<0恒成立

所以/(九)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a〉0時(shí)，令/'(X)=aeA-1=0,解得x=-Ina

當(dāng)x<—Ina時(shí)，/'(力<0,則“外在(口,一111。)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%>—Ina時(shí),f\x)>0,則在(Tna,+oo)上單調(diào)遞增；

第14頁(yè)共21頁(yè)

綜上:當(dāng)aWO時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(—，―山上單調(diào)遞減，/(%)在(—Ina,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得，/(-Ina)=a(e-m"+a)+lna=1+4+ina

331

要證f(x)>2InQ+5,即證1+Q?+Ina>2Ina+5,即證a?———Ina>0怛成乂.

令g(a)=42-,_lna(a>0),貝Ug'(a)=2a_)=2a1

2aa

令g'(a)<0,貝UO<a(等；令g，(a)>0,則a〉專；

所以g(a)在0,與上單調(diào)遞減，在[號(hào),+s上單調(diào)遞增.

(1萬(wàn)丫r-

所以且(<7)疝口=8---=---------In---=In〉0,則g(a)>0恒成立.

…I2JI2J22

3

所以當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>21na+5恒成立，證畢.

20.(1)an=3n

⑵d=—

50

【小問(wèn)1詳解】

3%—3〃]+/，.=3d=%+2d，解得a、=d

S3=3a2=3(G+d)=6d

77726129

又7Z—bi+h+b&——I----1----——

'23d2d3dd

9

/.S3+(=6dH——21

d

即2d2—7d+3=o,解得d=3或d(舍去)

2

an-ax+(72-1)-J=3n.

【小問(wèn)2詳解】

｛，｝為等差數(shù)列,

第15頁(yè)共21頁(yè)

12212

2b2=b［+4,即———I----

a2axa3

//11、6d1,,C7

=—，即Q；-3a,d+2d29解得。］或〃［=

6(---------)=-----=0,=d12d

a2a3a2a3q

>0

又S99-T99=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知,99%0-9980=99，即a5Q-b5Q=1

2550?9

???。50=1,即。50-。50-2550=0,解得“50=51或。50=-5。(舍去)

。50

當(dāng)。1=2d時(shí),。50=4+49。=511=51,解得［=1,與］>1矛盾,無(wú)解；

當(dāng)％=d時(shí),a50=。］+49d=50d=51，解得d=案.

綜上，d=91.

50

21.(1)0.6

【小問(wèn)1詳解】

記“第i次投籃的人是甲”為事件4,“第i次投籃的人是乙”為事件與

所以,？(與)=/(4與)+尸(耳員)=尸(4)。(514)+尸(4)尸(與田)

=0.5x(1-0.6)+0.5x0.8=0.6.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P(A)=Pi,依題可知，P⑻=l-p”貝ij

尸(4J=P(A4+I)+尸(44+J=尸(A)P(4JA)+尸(4)P(A+114)

即PM=0.6p,+(l-0.8)x(l-^.)=0.4/?；+0.2

構(gòu)造等比數(shù)列{2+2}

第16頁(yè)共21頁(yè)

2112

設(shè)Pi+i+2=《(Pi+2)，解得力=_］，則A+i-3=?

又Pi=!1，烏—!1=31,所以[8—是首項(xiàng)為L(zhǎng)1公比為I2■的等比數(shù)列,

23636655

111(2丫t1

m+-

3

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)榭?：義(|)+1,i=l,2,---,n

2n

1-

1n52nn

所以當(dāng)〃金N*時(shí),石(丫)=+-2+H.....——1-+—

+P”二鏟1-t31853

n

2n

故砂)=21-+-.

lo3

22一.(1)、y=x2-\—1

4

(2)見解析

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)尸@y),則3=‘兩邊同平方化簡(jiǎn)得

1

故W:y=%9+—.

【小問(wèn)2詳解】

法一:設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)4]〃,〃2+；,5/?/2+；1,0]0,02+；1在卬上,且〃</?<0,易

44

知矩形四條邊所在直線的斜率均存在,且不為0.

第17頁(yè)共21頁(yè)

則如(c-La+bvHj令”/+：—[/+]

3b-a=a+b=m<Q

同理令左BC=b+c=〃>0,且加〃=一1,則m=——

n

1

設(shè)矩形周長(zhǎng)為。，由對(duì)稱性不妨設(shè)1根以川C一心3二。一i—n—m—n+—

n

則

gc=|A5|+|5C|=S—a)Jl+療+(c—(。一a)[l+n2=J1+/.

n>0,易知—]J1+“J〉0

則令/(x)=(x+』)(1+%2),%>0,/(%)=2(%+,)(2.T

令/'(x)=0,解得％=受

2

(

當(dāng)xe0,—時(shí)，/(九)<0,此時(shí)/⑺單調(diào)遞減

當(dāng)xe1孝,+co,/'(%)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增

則/O)mm=/營(yíng)]=5

故工。2盧=述，即

2V42

當(dāng)C=36時(shí)，〃=,m=-^2，且(。一a^yjl+m2=(b-a)Jl+n2,即機(jī)=〃時(shí)等號(hào)成

第18頁(yè)共21頁(yè)

立,矛盾，故。〉36

得證.

法二:不妨設(shè)A,3,0在W上,且明，m

依題意可設(shè)Aa,/+：,易知直線.，ZM的斜率均存在且不為0

則設(shè)54,DA的斜率分別為左和-工，由對(duì)稱性,不妨設(shè)悶＜1

k

91

直線AB的方程為y=k(x-a)+a+—

f21

y=x+—

4

則聯(lián)立］得了2—履+3—〃2=。

y=k(x-a)+/+—

A=k2—4(3一a?)=(左—>0,則上w2a

則|AB|=J1+左2|左—2a|

同理|AO|=

令左2=7〃，則e(0,1],設(shè)y(m)="=m~+3m+—+3

mm

貝I(2mD(〃?+D

f,(m)=2m+3—~1_=-,令f'(m)=0,解得m=-

mm22

第19頁(yè)共21頁(yè)

當(dāng)時(shí)，f'(m)<0,此時(shí)f(m)單調(diào)遞減

當(dāng)加￡/'(加)>0,此時(shí)/(〃2)單調(diào)遞增

AB\+\AD\>孚