2023-2024學(xué)年湖南省株洲市高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年湖南省株洲市高二上冊期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知向量α=(T,l,0),6=(-2,，％0),且α與b互相平行，則〃?=().

A.-2B.2C.1D.-1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)。與人互相平行，可設(shè)”=∕?,列方程，可求出

JI=一/211

【詳解】。與人互相平行，可得α=4?，且/1*0,得I,，解得彳=彳，m=2

[1=癡2

故選：B

2.經(jīng)過兩點A(0,T),8(2,4)的直線的斜率為()

A.?B.-C.-D.-

2523

【正確答案】C

【分析】直接由斜率公式計算可得.

【詳解】解：經(jīng)過兩點A(0,T),6(2,4)的直線的斜率氏=黑=￡.

故選：C

3.直線X-y+4=0與圓f+y2=/相切，貝IJr的值是()

A.2√2B.2C.√2D.?

【正確答案】A

【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求出L

【詳解】解：根據(jù)題意，得圓/+V=產(chǎn)的圓心為(0,0),半徑為r,

由直線與圓相切，得圓心到直線的距離d=r,

∣0-0+4∣

即而后故r=2"

故選：A.

4.拋物線y=2/的焦點坐標(biāo)是().

【正確答案】D

【分析】先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直接寫出焦點坐標(biāo).

【詳解】拋物線y=2χ2的方程為所以焦點在y軸，

由2p=；,所以焦點坐標(biāo)為(0*).

故選：D.

5.圓(x+2)?+y2=5關(guān)于直線＞=—X對稱的圓的方程為()

A.(Λ-2)2+∕=5B.x2+(y-2)2=5

C.(jc+2)2+(y+2)2=5D.x2+(γ+2)2=5

【正確答案】B

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，利用點關(guān)于直線對稱點的求法可求得對稱圓的圓心,

由兩圓半徑相同可得圓的方程.

【詳解】由圓的方程知：圓心(—2,0),半徑r=石;

?=!

Q=O

設(shè)圓心(-2,0)關(guān)于y=τ的對稱點為(a,。)，則，2吁2解得:

b=2

.2-一^2^

，所求對稱圓的圓心為(0,2),半徑為石,

???所求對稱圓的方程為?V+(y-2)2=5

故選：B.

6.直線3x+2y-1=0的一個方向向量是()

A.(2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)

【正確答案】A

根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量,然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.

【詳解】因為直線3x+2y-l=0的斜率為-|,所以直線的一個方向向量為，3

又因為(2,-3)與［,-?∣)共線，所以3x+2y—1=0的一個方向向量可以是(2,-3),

故選：A.

7.在直三棱柱ABC-ABiG中，CA=CB≈CCl,AClBC,JF分別是AC,B∣C∣的中點，

則直線AE與CF所成角的余弦值等于（）

4c12-3r5

A.-B.—C.-D.—

513513

【正確答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量AE,CF的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】由題意，以CACB,CC∣所在的直線分別為X軸、>軸和Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

設(shè)CA=CB=CG=1,可得A(I,O,O)，A(I,O,I)，G(O,O,I),《；,O,I),F(O,；,I

則AE=(-<,0,l),CF=(0q,l),

22

所以3(JrCa=\_何AE阿CF=_J(T+“1夕_4

故選：A.

22

8.已知橢圓C∕?^+%?=l（a>6>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)1,離心率為e∣,橢圓G的

上頂點為M,且M∕ME=o,曲線G和橢圓G有相同焦點，且雙曲線C2的離心率為g,

尸為曲線Cl與C?的一個公共點，若N耳尸片=],則（）.

A.y=2B.el?e2??C.e；+e；=|D.4+e：=l

【正確答案】B

【分析】根據(jù)岫?Λ^=0.可得b=c,可得嗎，設(shè)IP制=加，=可得

mn

mnJt).,根據(jù)余弦定理化簡，利用離心率計算公式即可得出.

4

22

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：與-5=l(q,4>0),半焦距為J

%"1

??,橢圓G的上頂點為〃，且MG?MR=0.

ΛZFMF=-,：.b=c,：.a2=2c2.e.

122xa2

不妨設(shè)點尸在第一象限,^?PF?=m,?PF2?=n.

；?m+n=2a,m-n=2al.〃加=("?±")一二("二"L="―"

41

在aPKK中，由余弦定理可得:

4C2=∕n2+n2-2mncosy=(πz+n)2-3mn=4α2—3(ɑ2一)

222

Λ4c=a+3a1.兩邊同除以C?,得4=1+2,解得：牛=Ji

54-√22

殳5

=√τ6

對選項故A錯誤，

A,。

√22

√叵患

4W

對選項B,一2=T-故B正確,

7

對選項C,D,e[+el=→-=2,故C,D錯誤.

故選：B

二、多選題

9.下列說法錯誤的是()

A.直線2(m+l)x+(m-3)y+7-5/M=O必過定點(1,3)

B.過點A(-2,-3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程為x+y=-5

C.經(jīng)過點P(Ll),傾斜角為0的直線方程為y-l=tan6(x-l)

D.已知直線丘-y-k-l=0和以M(-3,l),N(3,2)為端點的線段相交，則實數(shù)人的取值范

圍為弓1≤%≤3]

【正確答案】BCD

【分析】A選項由含參直線方程過定點的求法計算即可；B選項沒有考慮直線過原點的情況,

故錯誤；C選項，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可判斷；D選項計算出端點值后，由線段MN與

y軸相交判斷斜率的范圍應(yīng)取端點值兩側(cè)，故錯誤.

【詳解】A選項，直線方程變形為(2x+y-5)w+2x-3y+7=0,令；解得

x=l,y=3,即原直線必過定點(1,3),A正確；

B選項，當(dāng)直線/過原點時,也滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,此時直線/的方程為3x-2y=0,

B不正確；

TT

C選項，當(dāng)。=5時，tan。無意義，故C不正確；

D選項，直線"-y-%-1=0經(jīng)過定點(1,-1),當(dāng)直線經(jīng)過M時，斜率為Z=上#=-:，

當(dāng)直線經(jīng)過N點時，斜率為A=WD=由于線段MN與y軸相交，故實數(shù)上的取值范

3—12

13

圍為％≤-＜或％≥],D不正確.

22

故選：BCD.

10.若｛%｝為等差數(shù)列，?=11,?=5,則下列說法正確的是()

A.all=15-2/?

B.-20是數(shù)列｛《,｝中的項

C.數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減

D.數(shù)列｛《,｝前7項和最大

【正確答案】ACD

【分析】由｛可｝為等差數(shù)列，列方程組求得首項與公差，就可得到通項公式，然后對選項逐

一判斷即可.

a+d=W

【詳解】因為數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且%=n,%=5,則qx+4d=5'解得4=.=2

a?=13+(M-1)×(-2)=-2H+15,故A選項正確,

由—20=—2〃+15,得"==KN*,故B錯誤，

2

因為d<(),所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，故C正確,

由數(shù)列通項公式為=15-2〃可知，前7項均為正數(shù)，?=-l,所以前7項和最大,故D正確.

故選：ACD

22

II.設(shè)雙曲線C：與-方=l(6>0)的焦點為小?,若點P(2,l)在雙曲線C上，貝IJ()

A.雙曲線C的離心率為2B.雙曲線C的漸近線方程為丫=日

ULUHUUU

CIlP耳HPKil=26

D.PF1PF2=2

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)給定條件，求出從并求出雙曲線實半軸長、半焦距，再逐項計算判斷作答.

【詳解】依題意，U=ι,解得b=G雙曲線C：與4=ι的實半軸長半焦

品巨C=√6，

雙曲線C的離心率e=￡=7LA不正確；

a

雙曲線C的漸近線方程為y=±χ,B正確；

IlP與ITPKII=2=2力,C正確;

--UUUlLUUUL

^(-√6r,0),∕?(√r6,0),則PK=(-#-2,—1),PE=(而-2,-1),

LlUUIUUUr-L

PF1PF2=(-√6-2)(√6-2)+(-l)?(-l)=-1,D不正確.

故選：BC

12.如圖，正方體ABCZ)-4耳GA的棱長為2,E是。。的中點，則()

A1Dx

A.BC工BDl

B.點E到直線與。的距離為3亞

C.直線BE與平面8CC所成的角的正弦值為:

D.點CI到平面BCE的距離為。

【正確答案】AC

【分析】以點A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個選項即可.

【詳解】如圖以點A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,2,l),B,(2,0,2),D1(0,2,2),C,(2,2,2),

B1C=(0,2,-2),BD1=(-2,2,2),

貝IJBlC?3.=0+4-4=0,所以BCJ.BQ,故A正確;

∕clcNBE-BC4+2√2

桃=(-2,21),則COS伯瓦=t1=赤

所以SinNCBIE=與,

所以點E到直線BC的距離為,耶in∕C8∣E=乎，故B錯誤；

因為CQ，平面BCC,所以E>C=(2,0,0)即為平面BCC的一條法向量,

DtClB1E4

則直線BiE與平面B1C1C所成的角的正弦值為^os(RG，qEl=故

2^3C

DlCl??BiE

正確;

CC1=(0,0,2)

設(shè)平面BCE的法向量為"=(χ,y,z),

n.BC=2y-2z=O

則有《i可取〃=(1,2,2),

n?B}E=-2x+2y-z=O

CC1-?4

則點G到平面BCE的距離為=故D錯誤.

i3

故選：AC.

三、填空題

13.兩平行直線4：3x+4y+l=O,"：6x+8y-3=。之間的距離為

【正確答案】?##0.5

【分析】用平行線間的距離公式d=夕節(jié)!,代入即可.

y∣A2+B2

【詳解】直線3*+4y+l=0,即為6x+8y+2=0,所以兩平行直線6x+8y+2=0與

6x+8y-3=O之間的距離為d==9=

√6Γ7F102

故T

14.點尸到兩定點A(-2,0),8(2,0)的距離之和為6,則點P的軌跡方程是.

【正確答案】工+工=1

95

【分析】由橢圓的定義求解即可

【詳解】因為IE4|+|冏=6>|4叫=4,

由橢圓的定義可知，

動點點尸的軌跡是以A(-2,0),3(2,0)為焦點，長軸長為6的橢圓,

所以c=2,α=3,b1=a1-c2=5.

所以點P的軌跡方程是片+片=1,

95

15.已知平面心的一個法向量為〃=(2,3,5),點A(l,2,4)是平面ɑ上的一點，則點P(TI,5)

到平面ɑ的距離為.

【正確答案】f

?AP?n?

【分析】利用空間向量法可得出點尸到平面ɑ的距離為d=即為所求.

H

∣AP?"2J38

【詳解】由已知可得AP=(—2,—1,1),所以，點戶到平面α的距離為d=L十=夜=%.

故答案為.我

19

16.已知實數(shù)X,y滿足：(x+2)2+(y-l)2=l,則∣l-2x+y∣的取值范圍是

【正確答案】［6-6,6+逐］

【分析】方法一：采用三角換元法，然后利用兩角差的正弦公式集合求解；

方法二：利用|1-2x+N的幾何意義：可以看作圓心(-2,1)到直線2x-y-1=0距離的6倍,

然后利用點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】解法一:因為(x+2)2+(y-l)2=1,所以令x+2=CoS6,y-l=sind,

則x=-2+cos6,y=l+sinθ,

故∣l-2x+y∣=∣6+sin8—2cosd∣=∣6+6—sin^-^^-cos0I=I6+豆sin(6—夕)「其中

、55J

cosφ=^~,=,因為一石≤石Sin(。一夕)≤6，

所以6—百≤6+石sin(6—g)≤6+√^,

所以6-√^≤6+Ain(6?-*)∣≤6+>A,

故∣l-2x+y∣的取值范圍為［6-右,6+逐］.

∣-4-l-l∣

解法二:因為圓心(一2,1)至IJ直線2x-y—1=0的距離1=年,

所以圓心上的點到直線2x-y-l=0的距離的取值范圍為∣√5-1,∣√5+1

又因為∣2x-y-l∣=括?吐浮口

75

所以∣2x-y-l∣的取值范圍是［6-百6+括］.

?k［6-√5,6+√51.

四、解答題

17.(1)已知在遞增的等差數(shù)列｛%｝中，%紜=55,%+%=16.求｛%｝的通項公式；

(2)已知數(shù)列｛α,,｝中，4=∕,,-α向=2。"證明：數(shù)列,是等差數(shù)列.

【正確答案】(1)4=2〃—1("∈N*);(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)已知條件解方程組可得為=5,延=11，再列出關(guān)于4，d的方程組,求出q,d,

從而可求出通項公式；

(2)根據(jù)等差數(shù)的定義結(jié)合已知進(jìn)行證明.

【詳解】(1)解：由|“必=5：＜且數(shù)列｛%｝遞增，

［?+?=16

得“3=5,&6=1L

設(shè)數(shù)列｛。.｝的公差為d,

a.+2d=54=1

所以q+5d=H,解得

4=2'

所以““=α∣+=

(2)證明:因為q=g,%-a,*1=2aπan+i,

所以_L__L=-=幺&L=2,

。用%加4M用

所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.

18.在中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,已知加in(A+C)=2αsinC,且

a=b.

⑴求sinB；

(2)若AABC的面積為求AABC的周長.

【正確答案】(1)姮

4

(2)10

(分析［(1)根據(jù)正弦定理，化簡得分2=20c,結(jié)合題意可得6=2C,由余弦定理即可求得COSB

的值，再應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得結(jié)果；(2)利用三角形的面積公式，可得c=2,

進(jìn)而得到三角形的周長.

【詳解】(1):Asin(A+C)=2αsinC,則bsin8=2wSinC,

由正弦定理可得∕√=24c,

又?:a=b,則b=2c,即a=b=2c,

.cr+c^-b1c21

??COSDo=--------------=--------=一,

2ac2×2c×c4

又;8∈(0,π),故sinB=JI-CoS?B=—??.

4

(2);Z?A8C的面積為S=LaCSin8=Lx2cxcx@?=Ji,則c=2,

224

/.a=b=4f

故4A8C的周長為α+A+c=l().

2t-

19.已知函數(shù)f(x)=蕓^為fl奇函數(shù).

(1)求實數(shù)4的值并證明/(x)是增函數(shù)；

(2)若實數(shù)滿足不等式∕(*)+∕(T)>0,求r的取值范圍.

【正確答案】(1)α=l,證明見解析；(2)r∈(2,3).

(1)依題意可得/(τ)=-∕(x),即可求出參數(shù)。的值，從而求出函數(shù)解析式，再利用作差法

證明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，再解分式不等式

即可;

【詳解】(1)因為y=∕(χ)是定義域為R奇函數(shù)，

由定義f(-x)=-/(X),所以馬二@=-馬二q

2'Λ+12'+l

所以2"(?！?)=1—α,

??6Z—1.

所以/(x)=∣?}

證明：任取-8<X∣<+8,

〃'〃、—2J2^-12(2j'-2?t9

⑵、

/(ΛI(xiàn))-∕(Λ2)-2VI+Ι2-+]-+1)(2+1).

-∞<xl<x2<+oo,.?.2*<24?

.?./(X1)-Z(X2)<0,即小)</(々).

???/(x)在定義域上為增函數(shù).

(2)由(1)得y=∕(x)是定義域為R奇函數(shù)和增函數(shù)

/[^j>-/(-D=Z(I)

=>'>1

t-2

3-t

=>----->0

t-2

=>α-2)(r-3)<0

=>2<t<3

所以E∈(2,3).

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)y(x)

為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件：(2求-X)=-AX)或人一X)=∕U)是定義域上的恒等

式.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對稱，反之也成立.利用這一性質(zhì)

可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性.

20.己知圓C:x?+爐+znχ-2y-2=0(meR),其圓心在直線x+y=0上.

⑴求m的值;

(2)若過點(1,4)的直線/與C相切，求/的方程.

【正確答案】(1)，及=2：

⑵X=I或5x-12y+43=0.

【分析】(1)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，代入直線方程即可求解；

(2)對直線的斜率是否存在討論,若存在，設(shè)直線/的方程為：y-4=Λ(x-l),利用圓心到

直線的距離即可求解.

【詳解】(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：++(y-l)2=3+f,

所以，圓心為(一￡」).

由圓心在直線χ+y=0上，得m=2.

所以，圓C的方程為.(χ+l>+(y-T=4

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時，即/方程為x=l,此時直線與圓相切；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)斜率為&,則直線/的方程為：y-4=Z(x-1),

即6—y—々+4=0,

由于直線/和圓C相切，得卜+=

解得：Z=II,代入整理可得5x-12y+43=0.

所以，直線方程為：x=l或5xT2y+43=0.

21.如圖,四邊形ABCD為正方形,￡4，平面ABCD,EA//BF//CG,^.

CG=I,BF=3,AB=4,￡4=5.

(1)證明：平面CZ)G平面45在

(2)求平面BFG與平面EFG所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵夠

6

【分析】⑴根據(jù)面面平行的判定定理,先由8〃AB,證明AB7平面CE）G,再由BE〃CG證

明所「平面CDG,一個面中兩條相交直線平行于另一個面，進(jìn)而證明面面平行即可；

（2）根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,寫出點的坐標(biāo),分別求出平面BFG和平面EFG的法

向量,求出兩個法向量夾角的余弦值的絕對值,即面與面夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明:由題知四邊形ABCD為正方形，

.?.AB//CD,

A5Z平面COG,CDu平面COG,

.-.AB/平面C3G,

8尸〃CG,8尸（z平面CDG,CGU平面COG,

..BF平面CZ）G,

ABBE=aAfiu平面AB莊，3/U平面AB莊;，

???平面CDG7平面ABFE得證；

（2）由題知,E4，平面ABC。,且四邊形ABCD為正方形，

.?.AE±AB,AE±AD,ABlAD,

則以A原點,A3方向為X軸,AD方向為＞軸,AE方向為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

CG=LBE=3,AB=4,￡4=5,

.?.A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,0,5),F(4,0,3),G(4,4,l),

.?.AB=(4,0,0),=(4,0,-2),FG=(0,4,-2),

AB1AE,AE//BF,:.ABlBF,

.AB±BC,BCΓBF=B,BCu平面BFG,BFu平面BFG,

?:ABI平面3尸G,

平面G法向量為AB=(4,0,0),

記平面EFG法向量為〃=(x,y,z),

n?EF=0f4x-2z=0

.-J,即《,

小FG=O[4y-2z=0

不妨取x=l,可得”(1J2),

則卜OS(A8,=產(chǎn)=-r=~~:,

I'八IAθ∣∣∕ι∣Λ∕16?Vl+1+46

故平面B/G與平面EFG所成角的余弦值為&.

6

22.已知橢圓C的左、右焦點分別為目，尸2,離心率為點P在橢圓C上，PK，耳心,

附IV

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知M是直線/:x=r上的一點，是否存在這樣的直線/,使得過點M的直線與橢圓C相

切于點M且以MN為直徑的圓過點居？若存在，求出直線/的方程，若不存在，說明理由,

【正確答案】(1)二+』=1

43

(2)存在，直線X=4

【分析】(1)根據(jù)尸耳，耳6可