2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（天津卷01）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（天津卷01）數(shù)學(xué)參考公式：?如果事件A、B互斥，那么．?如果事件A、B相互獨立，那么．?球的體積公式，其中R表示球的半徑．?圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高。一、選擇題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗依題意，，，解得.故選：B2．“”是“直線和直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，直線和直線平行且或；當(dāng)時，直線和直線不平行；當(dāng)時，直線和直線不平行．所以“”是“直線和直線平行”的充分不必要條件.故選：C．3．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域為全體非零實數(shù)，因為，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除AB；而當(dāng)時，有，所以，排除C，故選：D4．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，設(shè)，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗因為，即，又因為，即，可得，由題意可知：在上單調(diào)遞減，所以.故選：A.5．某興趣小組研究光照時長和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（

）

A．相關(guān)系數(shù)r的絕對值變小 B．相關(guān)指數(shù)變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強〖答案〗D〖解析〗觀察圖象知：較其他的點偏離回歸直線最大，因此去掉后，回歸效果更好，對于A，相關(guān)系數(shù)越接近于1，線性相關(guān)性越強，因此去掉后，相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，A錯誤；對于B，相關(guān)指數(shù)越接近于1，擬合效果越好，因此去掉后，相關(guān)指數(shù)變大，B錯誤；對于C，殘差平方和變大，擬合效果越差，因此去掉后，殘差平方和變小，C錯誤對于D，由選項A知，去掉后，相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，因此解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強，D正確.故選：D6．柏拉圖多面體是由柏拉圖及其追隨者研究而得名，由于它們具有高度的對稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體．經(jīng)研究，世界上只有五種柏拉圖多面體．如圖，將一個棱長為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點兩兩連接，得到一個正八面體，這個正八面體即為柏拉圖多面體的一種．則這個正八面體的體積為（

）

A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意知正八面體的棱為原正四面體每個側(cè)面三角形的中位線，故正八面體由棱長為2的兩個正四棱錐構(gòu)成，正四棱錐的底面為邊長為2的正方形，故四棱錐的高，故正八面體的體積，故選：B．7．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）．A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到D．函數(shù)的對稱軸方程為〖答案〗D〖解析〗，所以A選項正確.的最小正周期為，B選項正確.的圖象向右平移個單位長度得到，所以C選項正確.由解得，所以D選項錯誤.故選：D8．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線與拋物線的準線圍成三角形的面積為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗依題意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理可知|PF1|＝24b根據(jù)雙曲定義可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴雙曲線漸近線方程為y＝±x，即4x±3y＝0，漸近線與拋物線的準線的交點坐標為：，，三角形的面積為：.故選C.9．設(shè)定義域為R的函數(shù)若關(guān)于x的方程有7個不同的實數(shù)解，則m=（）A．2 B．4或6 C．2或6 D．6〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可得，要求對應(yīng)于等于某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解和4個不同的實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出的簡圖：由圖可知，只有當(dāng)時，它有三個根．故關(guān)于的方程有一個實數(shù)根4．，,或，時，方程或,有5個不同的實數(shù)根，所以．第II卷二、填空題10．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為〖答案〗2〖解析〗，它為純虛數(shù)，則且，解得．故〖答案〗為：2．11．若數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，7，8，9，10的第60百分位數(shù)為n，求展開式中的常數(shù)項是．〖答案〗〖解析〗，第60百分位數(shù)則的常數(shù)項為，故〖答案〗為：12．若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線相切，則這個圓的方程為．〖答案〗〖解析〗由題意可設(shè)圓心，∵圓與射線相切，則，解得或（舍去），即圓心為，故圓的方程為.故〖答案〗為：.13．已知，，，則的最大值為．〖答案〗〖解析〗由，當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立.所以，設(shè)函數(shù),則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.則（當(dāng)時等號成立）所以故〖答案〗為：14．甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球，則最后摸出的兩球都是白球的概率為；若最后摸出的兩球都是白球，則這兩個白球都來自甲箱的概率為．〖答案〗〖解析〗由題意，從甲箱中任取兩球放入乙箱僅有2中可能，取出兩白球、取出一白一黑，分別用表示，設(shè)“從乙箱中取出的兩球時白球”為事件，可得，其中，所以從乙箱中取出兩球是白球的概率為；設(shè)從乙箱摸出兩個白球都來自甲箱為事件，則,則.故〖答案〗為：；.15．若等邊三角形的邊長為2,點為線段上一點,且,則的最小值是,最大值是.〖答案〗2〖解析〗由題意得,則當(dāng)時,,當(dāng)時取最小值；當(dāng)時取最大值2.即的最小值為,最大值為2.故〖答案〗為：(1)；(2)2三、解答題16．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A；(2)求邊c；(3)求的值．解：(1)因為，所以，所以．因為，所以因為，所以．(2)由余弦定理得，所以，即，解得．(3)由正弦定理，得，解得．因為，所以，所以．所以，所以．17．如圖，是邊長為4的正方形，平面，，且.

(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點D到平面的距離.(1)

證明：根據(jù)題意可以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，易知平面的一個法向量為，顯然，又平面，所以平面；(2)解：由上坐標系可知，則，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，則有，，取，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則；(3)解：由(2)得平面的一個法向量為，又，所以點D到平面的距離.18．已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；；在和之間插入個數(shù)，，，，使，，，，，成等差數(shù)列.求的值.解：(1)因為數(shù)列的前項和為，且滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)驗證當(dāng)時，.綜上得，.(2)在和之間插入個數(shù)因為成等差數(shù)列，所以，，，，.注意到滿足上式，則設(shè)，即，，兩式相減，可得：.所以，19．已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且過點（1，）．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)與圓O：x2+y2=相切的直線交橢圓C于A，B兩點，求△OAB面積的最大值，及取得最大值時直線的方程．解：(1)由題意可得，，故，，故設(shè)橢圓方程為，將點代入橢圓方程，可得，故，所以橢圓的方程為．(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時，時，可得，；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)為，則直線為，，聯(lián)立，整理得，由韋達定理得，，由直線與圓相切，可得，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即有面積的最大值為，此時直線方程．20．已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個不同的極值點，其中①求的取值范圍；②證明：.(1)解：由已知可得，故可得．當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，或，記，，則可知當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．(2)①解：由已知，函數(shù)有三個零點，且．由（1）知時，在單調(diào)遞增，不合題意．下面研究的情況．由于，故，因此，又因為在單調(diào)遞減，且，所以．又因為，由于，且，