2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)5月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市高一下冊(cè)5月月考數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、單選題

1.復(fù)數(shù)l-2i的虛部為（）

A.1B.-2iC.2iD.-2

【正確答案】D

【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可求得復(fù)數(shù)l-2i的虛部

【詳解】???。+歷伍力€1＜）的虛部為6,，1一21的虛部為一2.

故選：D.

2.用斜二測(cè)法畫邊長是4的正方形直觀圖，則所得直觀圖的面積是（）

A.4√2B.8C.8√2D.16

【正確答案】A

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則畫出圖形，

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知道正方形直觀圖為平行四邊形，

S=2S0∕u=2×∣×4×2×sin450=4√2.

故選：A.

3.下列結(jié)論中，正確的是（）

A.零向量只有大小，沒有方向B.若劉〃函，^ABH~EF,則

CDHEF

C.對(duì)任一向量7,忖＞0總是成立的

【正確答案】D

【分析】對(duì)于A,根據(jù)零向量的定義可判斷；對(duì)于B,根據(jù)向量平行的傳遞性可判斷；對(duì)于

C,舉反例W=0,即可判斷；D,根據(jù)IN司=卜瓦彳即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,零向量的方向是任意方向的，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)布=。時(shí)，而與旃可以不平行，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,同=0,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,I萬I=卜而I=|而I,D正確.

故選：D

4.在平行四邊形/8C。中，M是CO邊上中點(diǎn)，則2彳而=（）

A.AC-2ABB.AC+2ABC.2AC-ABD.

2AC+AB

【正確答案】C

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解.

——1—.

【詳解】因?yàn)镸是平行四邊形NBCO的C。邊上中點(diǎn)，所以CM=--AB,

2

所以麗=就+屈=就一，萬，

2

所以2而=2%-萬.

故選：C.

5.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是（）

A.k√2B.JLlC.2:1D.

Ir2√2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意作圖，由軸截面得出母線與底面圓半徑的等量關(guān)系，再利用底面積和側(cè)面

積公式求解.

【詳解】根據(jù)題意作圓錐的軸截面，如圖，

設(shè)圓錐的底面圓半徑為，?，高為,母線長為/.

若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，

則有2rcos45°=/,所以∕=J5r?

Tir2Tlr2_1

該圓錐的底面積與側(cè)面積比值為一r=

πrlπr?y∣2rV∑

故選：A.

6.已知互不重合的直線m,n,互不重合的平面α,β,下列命題正確的是（）

A.若"Ua,m∕∕n,則m〃aB.若〃Ua,機(jī)L?,則La

C.若?！?，m∕∕a,則加〃BD.若機(jī)J_p,m?a>則a_Lβ

【正確答案】D

【分析】可通過分別對(duì)線在面內(nèi)和面外兩種情況結(jié)合直線與平面平行以及垂直的性質(zhì)分別進(jìn)

行分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，w?a,m∕∕n,則機(jī)〃a或Ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，nca,m∑n,則"?_La或加Ua或機(jī)〃a或加，a相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，a∕∕β,m∕∕a,則機(jī)〃?；騱uβ,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，機(jī)J_p,m（∑a,則必有a_LB，故D正確，

故選：D.

7.在C中，a=χ,b=6,B=60°,若三角形有兩解，則X的取值范圍是（）

A.2<x<2Λ∕2B?V∑<x<2

C.√3<X<2D.2<X<2>∕3

【正確答案】C

【分析】過C作COLZB于3,根據(jù)BC,CD,NC的長度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可

確定參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)，過。作于。，如下圖示，

CT）=XSin60。<?/jr.

則Vr-，可得百<X<2時(shí)，三角形有兩解.

x>√3

當(dāng)XSin60°>√J，即x>2時(shí)，三角形不存在；

當(dāng)X=G或2時(shí)，△4BC分別對(duì)應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；

當(dāng)x<λΛ時(shí)，在射線8。方向上有一個(gè)A∕BC,而在射線08方向上不存在，故此時(shí)僅有

一個(gè)三角形：

8.已知直三棱柱/8C-4呂G存在內(nèi)切球，若AB=3,BC=4,AB上BC,則該三棱柱外

接球的表面積為（）

A.26πB.27πC.28πD.29π

【正確答案】D

【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.

【詳解】因?yàn)?3,BC=4,/8LBC,故ZC=5,

故RtΔ^SC的內(nèi)切圓的半徑為"B+BC-"C=L

2

因?yàn)橹比庵鵝BC-44G存在內(nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.

而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1,

故直三棱柱的高為2.

將宜三棱柱補(bǔ)成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對(duì)角線,

故外接球的半徑為）,22+3?+42=L曬,

22

故外接球的的表面積為29兀.

故選：D.

二、多選題

9.下列抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是（）

A.某工廠從老年、中年、青年職工中按2：5:3的比例選取職工代表

B.用抽簽的方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)

C.福利用搖獎(jiǎng)機(jī)搖獎(jiǎng)

D.規(guī)定凡買到明信片最后四位號(hào)碼是“6637”的人獲三等獎(jiǎng)

【正確答案】BC

【分析】由題意，根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,此為分層抽樣；對(duì)于B,此為隨機(jī)數(shù)表法；對(duì)于C,此為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;

對(duì)于D,此為系統(tǒng)抽樣.

故選：BC.

10.下列命題中正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

B.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為五棱錐

D.各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

【正確答案】BC

【分析】依據(jù)棱柱定義判斷選項(xiàng)A、B；一個(gè)〃棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形時(shí)，頂角之

和60%<360°可以判斷C正確；根據(jù)正棱錐定義即可判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】

有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何

體是棱柱.

而滿足選項(xiàng)A條件的幾何體可能是組合體，如圖所示，故A錯(cuò)誤；

由棱柱定義可知棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行，故B正確；

一個(gè)〃棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形時(shí)，頂角之和60°〃<360°，即〃<6,故C正確；

一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐,故

D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于X的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+川+2=0的兩根為％,Z,其中

XI=I+i,貝!]()

A.P=2B.x2=l-iC.x1?x2=-2iD.土=i

X2

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程中韋達(dá)定理可求出巧判斷B，再由韋達(dá)定理判斷A,根

據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及共輾復(fù)數(shù)判斷C,再由復(fù)數(shù)除法判斷D.

【詳解】因?yàn)閄l=I+i且實(shí)系數(shù)一元二次方程f+pχ+2=0的兩根為士,々，

22

所以％1%2=2,可得工2=--：―r=lT,故B正確；

x11+1

又%+%=l+i+l-i=2=-p,所以夕=-2,故A錯(cuò)誤；

由兀=l+i,所以x∣?jf2=(l+i)2=2i≠-2i,故C錯(cuò)誤；

X1+i(l+i)22i.U&

—=-7=--------=一=1,故D正確.

x21-122

故選：BD

12.用一個(gè)平面截正方體，則截面的形狀不可能是（）

A.銳角三角形B.直角梯形

C.正五邊形D.六邊形

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)正方體的截面特點(diǎn)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.

【詳解】對(duì)于A：截面圖形如果是三角形，只能是銳角三角形，不可能是直角三角形和鈍角

三角形.

如圖所示的截面三角形Z6C.

222

,設(shè)DA=a,DB=b,DC=c,所以NC?=/+/,j4β~=a+b^>BC-b~+c-

2122

∕~nAB+AC-BC2an

所以由余弦定理得：CoSNc48=——=-r=^r==>Q,

2ABAC2√02+?2√a2+c2

所以/C/8為銳角.同理可求：/NC6為銳角，/CA4為銳角.所以為銳角三角形.

故A正確.

對(duì)于B：截面圖形如果是四邊形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，

可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.

B選

對(duì)于C：當(dāng)截面為五邊形時(shí)，不可能出現(xiàn)正五邊形.

對(duì)于D,當(dāng)截面過棱的中點(diǎn)時(shí)，如圖，即截面為正六邊形.

故選：BC.

三、填空題

13.某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生3500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的

兩倍，高二學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多300,現(xiàn)在按一L的比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽

100

取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為.

【正確答案】8

【分析】設(shè)出高一年級(jí)的人數(shù)，根據(jù)三個(gè)年級(jí)人數(shù)之間的關(guān)系，寫出高二和高三的人數(shù)，根

據(jù)學(xué)校共有的人數(shù)，得到關(guān)于高一人數(shù)的方程，解得高一人數(shù)，用人數(shù)乘以抽取的比例，得

到結(jié)果.

【詳解】若設(shè)高一學(xué)生人數(shù)為X,則高二學(xué)生人數(shù)為x+300,高三學(xué)生人數(shù)為2x,所以有X

+x+300+2x=3500,解得x=800.故高一學(xué)生人數(shù)為800,因此應(yīng)抽取高一學(xué)生人數(shù)為

1

800×—=8.

100

故8

14.在三棱錐P—NBC中，PA=PB=CA=CB=T0,AB=PC=12.若三棱錐的四個(gè)

頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為.

【正確答案】172π

【分析】將三棱錐尸-/8C放入下圖的長方體中，求出長方體的長、寬、高，可得

2R=yJa2+b2+c2＞代入即可求出球。的表面積.

【詳解】將三棱錐尸-ZBC放入下圖的長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為α,b,c,

a2+h2=IO2

所以+C?=122,

cΓ+c2=IO2

222222

三式相加可得：2(a+6+c)=344,即：a+b+c，

三棱錐尸-/8C的外接球即長方體的外接球，

所以2尺=，。2+萬+°2,即以=?+f+c-=手=43,

44

球。的表面積為S=4兀&=172兀.

故答案為.172π

15.已知向量￡=(1,0),6=(√3,1),則B在Z方向上的投影向量坐標(biāo)為

【正確答案】(、萬,0)

【分析】根據(jù)投影向量公式可得.

【詳解】因同=1,Z為單位向量，

/-7ei`b√3

c°s(叫?=麗=3,

所以B在W方向上的投影向量為WCoSG=Ji(1,0)=(6,0),

故答案為.(√3,θ)

16.已知正方體/8CZ)-/'8'CZ)'的棱長為1,點(diǎn)尸在該正方體的表面H8'CZ)'上運(yùn)動(dòng),

且P4=√5則點(diǎn)P的軌跡長度是.

π

【正確答案】一

2

【分析】根據(jù)圓的定義可知點(diǎn)P的軌跡是在面8CC%',CDDC'./'"CD'三個(gè)面內(nèi)以

Tl

1為半徑，圓心角為一的三段弧，即可由圓的周長公式求解.

2

【詳解】當(dāng)ZP=&時(shí)，如圖，點(diǎn)尸的軌跡是在面BCC'B'-CDDC,A'B'C'D'三個(gè)面

TT

內(nèi)以1為半徑，圓心角為5的三段弧，所以此時(shí)點(diǎn)尸點(diǎn)尸在該正方體的表面4A上運(yùn)

TT

動(dòng)的軌跡的長度為一，

2

,,π

故_

2

四、解答題

17.已知m∣=4,∣B∣=5,分別求下列條件下M與5的數(shù)量積.

（1）a∕∕b-.

（2）alb：

（3）G與B的夾角為60°；

（4）G與B的夾角為150°.

【正確答案】（1）±20

（2）0

（3）10

（4）-10√3

【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用數(shù)量積的計(jì)算公式逐問求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)B時(shí)，伍B）=O或兀，則小B=同WCOSk,5）=±20；

【小問2詳解】

當(dāng)。」5時(shí)，a?b=0i

【小問3詳解】

a?b=∣α∣∣6∣cos60°=4×5×-^-=10；

【小問4詳解】

a?b=∣5∣∣6∣cosl50°=4×5×---—卜一1。6

18.如圖，在直角梯形ZBCZ）中，ABHCD,ABLBC,AB=2CD=2,/0=3,

以BC邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體.

（1）求該幾何體的表面積；

（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A,求螞蟻爬行

的最短距離.

【正確答案】（1）14π

⑵6√3

【分析】（1）旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓臺(tái)，由圓臺(tái)表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可;

（2）將圓臺(tái)側(cè)面沿母線展開求解即可.

【小問1詳解】

I

如圖所示，滿足題意的直角梯形Z6C。，以BC邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周,

形成一個(gè)上底面半徑為八=CD=1,下底面半徑々=48=2,母線長/=3的圓臺(tái)，

其表面積為S=π(1+]+//+/")=兀(F+2)+Ix3+2x3)=14兀.

【小問2詳解】

O

將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個(gè)扇環(huán)，

?.?圓臺(tái)上下底面半徑的關(guān)系為々=24，；.然=2瓦瓦，二。4=2。。1，

,

又?.?AsDl=3,..OAx=6,ODl=3,

Z—、2兀

設(shè)∕404=ɑ,則44的弧長∕=α?O4=6a=πr2=4兀，.?,α=7,

連接44,取線段44中點(diǎn)〃，連接。河，則。

Cf7ΓTl\

在Rt中，ΛAOM=—=—,AOAM=—,OM=—OA=3=

x23y621

螞蚊從點(diǎn)A繞著圓臺(tái)的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A的最短路徑即為線段A1A2,

22

A1A2=2ΛlM=2X√6-3=6√3.

螞蟻爬行的最短距離為6√3.

19.求解下列問題：

2

(1)在A48C中，若a=4,b=3,sin/=—,求角8.

3

(2)在AZ8C中，若/=105。，C=30°,/,=2√2-求邊以

【正確答案】（1）8=30。

（2）c=2

【分析】（1）利用正弦定理求得正確答案.

（2）利用正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理求得正確答案.

【小問1詳解】

ab43.?

由正弦定理得sin/Sin8'2sinB,2>

3

由于b<α,所以8為銳角，所以8=30°.

【小問2詳解】

6=180?！?—C=45。，

,2y∣2_C

由正弦定理得--F=r，解得c=2.

sin5SinC——

22

20.如圖，在直三棱柱/3C—C中，AC=4,BC=3,AB—5.

(1)求證：AC?BCi；

（2）設(shè)4G與底面/8C所成角的大小為60°,求三棱錐C-Z8C∣的體積.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵8√3

【分析】（1）由=/臺(tái)2證出∕ci8c,再由線面垂直的性質(zhì)得出CGLZC,

然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；

（2）由NGZC為ZG與底面/8C所成角求出棱柱的高，再由等體積法求體積即可?

【小問1詳解】

??AC=4,BC=3,AB=5,

：.AC2+BC2=AB1.

.?.AC1BC,

又直三棱柱ABC-AlBlCi中，CG_L平面ABC,

?.?/Cu平面Z6C,...CG■LZC，

又CClCBC=C,Ce],8Cu平面BCcl,

VBaU平面BCC1B1,：.AC1BC1.

【小問2詳解】

?.?CC1_L平面Z8C,

.?.ACλ在平面ABC上的射影為AC,即NGAC為AC1與底面ABC所成角,

o

.?.ZCiAC=60,/.CC1=ACtan60°=4√3,

Vc.lic-Vc.lic——CC,?Sλ,bc——CC,--AC-BC——×4-?∣3×T4×3=86.

C-/IwCICJ-/1∕JC3IZΔ∕1θC3123,2

21.如圖，在AZ8C中，內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為。，b,c,過點(diǎn)A作ZOINB,交線

段BC于點(diǎn)。，且ZO=OC=3,bsinC=αs?nA-bsinB-csinC.

(1)求/3/C；

（2）求―8。的面積.

【正確答案】（1）ABAC=-Tt

3

⑵s~警

【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出結(jié)果;

π

(2)根據(jù)NZ)=Z)C,ADlAB,推出NZMC=NC=DB=—,再根據(jù)NZ)=Z)C=3,

6

求出6=，=36，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由6sinC=QSirL4-6si∏β—CSinC,

222222

根據(jù)正弦定理可得A=a-b-c^即b+c-a=-be，

旬.A叱麗田-r，且b2+c2-a2-be1

根據(jù)余弦定理可得cosNBAC=--------------=------=——，

2bc2bc2

因?yàn)镹64C∈(0,兀)，所以/"C=］兀；

【小問2詳解】

TlTl

因?yàn)?。工/8,且ZD=DC,所以NBZD=—，則NDZC=/C=—,

26

ππ

所以,所以/8=—.

36

所以48=ZC,