2023年中考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義-第6講概率

第0講：概率

2023年中考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義（人教版）

第一部分：中考真題

1、媽媽給小紅和弟弟買了一本劉慈欣的小說《流浪地球》，姐弟倆都想先睹為快.是小紅對(duì)弟弟說：我

們利用下面中心涂黑的九宮格圖案（如圖所示）玩一個(gè)游戲，規(guī)則如下：我從第一行，你從第三行,

同時(shí)各自任意選取一個(gè)方格，涂黑，如果得到的新圖案是軸對(duì)稱圖形.我就先涂，否則你先涂.小

紅設(shè)計(jì)的游戲?qū)Φ艿苁欠窆?？?qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法說明理由.（第一行的小方格從左至右

分別用4B,C表示，第三行的小方格從左至右分別用〃，E,尸表示）

【答案】解：不公平，理由如下：

根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖：

第一行

第三行

第一行

/T\

DEF

由樹狀圖可知，共有9種等可能出現(xiàn)的情況，其中得到軸對(duì)稱圖案的情況有5種，分別為（4、〃）、（爾

F）、（8、E）、（G。）、（G尸）.

:.P（小紅先涂）=|.

尸（弟弟先涂）3.

..5,4

99

.?.小紅設(shè)計(jì)的游戲?qū)Φ艿懿还?

【解析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出圖案是軸對(duì)稱圖形數(shù)量，然后計(jì)算她們獲勝的概

率，再根據(jù)概率的大小判斷該游戲是否公平.

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果,，再從中選出符合事件/

或6的結(jié)果數(shù)目0,然后利用概率公式計(jì)算事件4或事件6的概率.

2、甲、乙兩人去超市選購奶制品，有兩個(gè)品牌的奶制品可供選購，其中蒙牛品牌有兩個(gè)種類的奶制品:

A.純牛奶，B.核桃奶；伊利品牌有三個(gè)種類的奶制品：C.純牛奶，D.酸奶,E.核桃奶.

(1)甲從這兩個(gè)品牌的奶制品中隨機(jī)選購一種，選購到純牛奶的概率是;

(2)若甲喜愛蒙牛品牌的奶制品，乙喜愛伊利品牌的奶制品，甲、乙兩人從各自喜愛的品牌中隨機(jī)選購

一種奶制品，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法求出兩人選購到同一種類奶制品的概率.

【解析】解：(1)???蒙牛品牌有兩個(gè)種類的奶制品：A.純牛奶，6.核桃奶；伊利品牌有三個(gè)種類的奶

制品：C.純牛奶，D.酸奶，E.核桃奶，

...甲從這兩個(gè)品牌的奶制品中隨機(jī)選購一種，選購到純牛奶的概率是：|;

故答案為：I；

(2)根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

AB

/T\A\

CDEcDE

共有6種等可能的情況數(shù)，其中兩人選購到同一種類奶制品的有2種，

則兩人選購到同一種類奶制品的概率是名.

(1)用純牛奶的個(gè)數(shù)除以總牛奶的個(gè)數(shù)即可得出答案；

(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)和兩人選購到同一種類奶制品的情況數(shù)，然后根據(jù)概

率公式即可得出答案.

此題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

3、為了加快推進(jìn)我國全民新冠病毒疫苗接種，在全國范圍內(nèi)構(gòu)筑最大免疫屏障，各級(jí)政府積極開展接種

新冠病毒疫苗的宣傳工作.某社區(qū)印刷了多套宣傳海報(bào)，每套海報(bào)四張，海報(bào)內(nèi)容分別是:

A.防疫道路千萬條，接種疫苗第一條;

B.疫苗接種保安全，戰(zhàn)勝新冠靠全員;

C接種疫苗別再拖，安全保障好處多;

D.疫苗接種連萬家，平安健康樂全家.

志愿者小張和小李利用休息時(shí)間到某小區(qū)張貼海報(bào).

(1)小張從一套海報(bào)中隨機(jī)抽取一張，抽到8海報(bào)的概率是.

(2)小張和小李從同一套海報(bào)中各隨機(jī)抽取一張，用列表法或畫樹狀圖法，求他們兩個(gè)人中有一個(gè)人抽

到〃海報(bào)的概率.

【答案】解：⑴4

(2)畫樹狀圖如圖:

開始

小張ABCD

/N/T\/1\/1\

小李BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，小張和小李兩個(gè)人中有一個(gè)人抽到〃海報(bào)的結(jié)果有6種,

.??小張和小李兩個(gè)人中有一個(gè)人抽到〃海報(bào)的概率為能.

【解析】(1)小張從一套海報(bào)中隨機(jī)抽取一張，抽到8海報(bào)的概率是:，

4

故答案為：:；

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小張和小李兩個(gè)人中有一個(gè)人抽到。海報(bào)的結(jié)果有6種，再

由概率公式求解即可.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的

結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)

與總情況數(shù)之比.

第二部分：考點(diǎn)解讀

一、事件的分類

1.必然事件：在一定條件下一定會(huì)發(fā)生的事件，它的概率是L

2.不可能事件：在一定條件下一定不會(huì)發(fā)生的事件，它的概率是0.

3.隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，它的概率是0~1之間.

二、概率的計(jì)算

1.公式法

m

P(A)=〃，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù).

2.列舉法

(1)列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，應(yīng)不重不漏地列出所有可

能的結(jié)果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率.

(2)畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及2個(gè)或更多的因素時(shí)，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率.

三、利用頻率估計(jì)概率

1.定義

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)P附近，因此，用一個(gè)事件發(fā)生的頻

m

率〃來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率.

2.適用條件

當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，我們一般要通過統(tǒng)計(jì)頻率來估

計(jì)概率.

3.方法

進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個(gè)常數(shù)時(shí)，該常數(shù)就可認(rèn)為是這個(gè)事件發(fā)生的概率.

四、概率的應(yīng)用

概率是和實(shí)際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以對(duì)生活中的某些現(xiàn)象做出評(píng)判，如解釋摸獎(jiǎng)、評(píng)判游戲活

動(dòng)的公平性、數(shù)學(xué)競賽獲獎(jiǎng)的可能性等等，還可以對(duì)某些事件做出決策.

第三部分：自主練習(xí)

1、某超市為回饋廣大消費(fèi)者，在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎(jiǎng)活動(dòng).摸球規(guī)則如下：在一只不透明的口袋

中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后先從中任意摸出1個(gè)球(不放回)，再從余

下的2個(gè)球中任意摸出1個(gè)球.

(1)用樹狀圖列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)活動(dòng)設(shè)置了一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)次，一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)率低于二等獎(jiǎng).現(xiàn)規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸

出顏色相同的兩球分別對(duì)應(yīng)不同獎(jiǎng)次，請(qǐng)寫出它們分別對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)次，并說明理由.

2、據(jù)《德陽縣志》記載，德陽鐘鼓樓始建于明朝成化年間，明末因兵災(zāi)焚毀，清乾隆五十二年重建.在

沒有高層建筑的時(shí)代，德陽鐘鼓樓一直流傳著“半截還在云里頭”的故事.1971年，因破四舊再次遭廢.現(xiàn)

在的鐘鼓樓是老鐘鼓樓的仿制品，于2005年12月27日破土動(dòng)工，2007年元旦落成，坐落東山之巔，百

尺高樓金碧輝煌，流光溢彩；萬丈青壁之間，銀光閃爍，蔚為壯觀，已經(jīng)成為人們休閑的打卡勝地.學(xué)

校數(shù)學(xué)興趣小組在開展“數(shù)學(xué)與傳承”探究活動(dòng)中，進(jìn)行了“鐘鼓樓知識(shí)知多少”專題調(diào)查活動(dòng)，將調(diào)

查問題設(shè)置為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四類.他們隨機(jī)抽取部分市民進(jìn)行

問卷調(diào)查，并將結(jié)果繪制成了如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖：

圖It“紳疑樓知識(shí)多少.條形統(tǒng)計(jì)圖圖2i-忡鼓樓知識(shí)知名少”扇影統(tǒng)計(jì)圖

(1)設(shè)本次問卷調(diào)查共抽取了加名市民，圖2中“不太了解”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角是〃度，分別寫出〃?，

n的值.

(2)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，在12000名市民中，估計(jì)“非常了解”的人數(shù)有多少？

(3)為進(jìn)一步跟蹤調(diào)查市民對(duì)鐘鼓樓知識(shí)掌握的具體情況，興趣組準(zhǔn)備從附近的3名男士和2名女士中隨

機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，請(qǐng)用列舉法(樹狀圖或列表)求恰好抽到一男一女的概率.

3、第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4至20日在我國北京-張家口成功舉辦，其中張家口賽區(qū)

設(shè)有四個(gè)冬奧會(huì)競賽場(chǎng)館，分別為：A.云頂滑雪公園、B.國家跳臺(tái)滑雪中心、C.國家越野滑雪中心、

〃國家冬季兩項(xiàng)中心.小明和小穎都是志愿者，他們被隨機(jī)分配到這四個(gè)競賽場(chǎng)館中的任意一個(gè)場(chǎng)館的

可能性相同.

(1)小明被分配到D.國家冬季兩項(xiàng)中心場(chǎng)館做志愿者的概率是多少？

(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小穎被分配到同一場(chǎng)館做志愿者的概率.

4、“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手

勢(shì)中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢(shì)相同不分輸贏.假設(shè)甲、

乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種.

(1)甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為;

(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕?

5、為傳播數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校開展數(shù)學(xué)學(xué)科月活動(dòng)，七年級(jí)開展了四個(gè)項(xiàng)目：A.閱讀

數(shù)學(xué)名著；B.講述數(shù)學(xué)故事；C.制作數(shù)學(xué)模型；D.挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)游戲要求七年級(jí)學(xué)生每人只能參加一項(xiàng).為

了解學(xué)生參加各項(xiàng)目情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，將調(diào)查結(jié)果制作成統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖(如圖)，請(qǐng)根

據(jù)圖表信息解答下列問題：

項(xiàng)目ABCD

人數(shù)/人515ab

（D?=,b=.（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“8”項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為一

度.

（3）在月末的展示活動(dòng)中，“右’項(xiàng)目中七（1）班有3人獲得一等獎(jiǎng)，七（2）班有2人獲得一等獎(jiǎng)，現(xiàn)從

這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人代表七年級(jí)參加學(xué)校制作數(shù)學(xué)模型比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求抽中的2

名學(xué)生來自不同班級(jí)的概率.

6、北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的跨越式發(fā)展，激發(fā)了青少年對(duì)冰雪項(xiàng)目的濃

厚興趣.某校通過抽樣調(diào)查的方法，對(duì)四個(gè)項(xiàng)目最感興趣的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，含花樣滑冰、短道速滑、

自由式滑雪、單板滑雪四項(xiàng)（每人限選1項(xiàng)），制作了如下統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）.

請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了名學(xué)生；若該校共有2000

名學(xué)生，估計(jì)愛好花樣滑冰運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有人；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）把短道速滑記為人花樣滑

冰記為反自由式滑雪記為G單板滑雪記為〃，學(xué)校將從這四個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中抽出兩項(xiàng)來做重點(diǎn)推介，請(qǐng)

用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到項(xiàng)目中恰有一項(xiàng)為自由式滑雪C的概率.

7、2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，優(yōu)化了課程設(shè)置，將

勞動(dòng)從綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來.某校以中國傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)為契機(jī)，組織全體學(xué)生參加包粽子勞

動(dòng)體驗(yàn)活動(dòng)，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，對(duì)他們每個(gè)人平均包一個(gè)粽子的時(shí)長進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪

制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

等級(jí)時(shí)長：(單位：分鐘)人數(shù)所占百分比

A0</<24X

B2</<420

C4</<636%

Dz>616%

根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為表中X的值為；

(2)該校共有500名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)等級(jí)為5的學(xué)生人數(shù)；

(3)本次調(diào)查中，等級(jí)為A的4人中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行活動(dòng)感想交流，請(qǐng)

利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

8、有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg,

6kg,7kg,7kg,8kg.現(xiàn)將這五個(gè)紙箱隨機(jī)擺放.

(1)若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；

(2)若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選2個(gè)，請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為

15kg的概率.

9、某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)

員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選.

(1)“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.隨機(jī)

(2)若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)