2022年山西省太原市第三十中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022年山西省太原市第三十中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知|x|≤2，|y|≤2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則當(dāng)x，y∈Z時(shí)，P滿足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型，我們列出滿足|x|≤2，|y|≤2（x，y∈Z）的基本事件總數(shù)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，再列出滿足條件（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4（x，y∈Z）的基本事件總數(shù)，然后代入古典概型計(jì)算公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：滿足條件|x|≤2，|y|≤2（x，y∈Z）的基本事件有：（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2）（0，﹣2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2）（2，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），共25種情況其中，滿足條件（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的有（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），共6種情況故滿足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率P=，故選：C2.設(shè)x∈R，則“|x﹣1|＜2”是“x2﹣4x﹣5＜0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：|x﹣1|＜2得：﹣1＜x＜3，解x2﹣4x﹣5＜0得：﹣1＜x＜5，故“|x﹣1|＜2”是“x2﹣4x﹣5＜0”的充分而不必要條件，故選：A3.一枚硬幣，連擲三次，至少有兩次正面朝上的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A4.函數(shù)

（

）

A．既有最大值，又有最小值

B．無(wú)最大值，但有最小值

C．有最大值

，但無(wú)最小值

D．既無(wú)最大值，又無(wú)最小值參考答案：A5.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8，則|AF2|+|BF2|=（）A．20 B．18 C．12 D．10參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=8，a=5．則|AF2|+|BF2|+AF1||+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+8=4a=20．|AF2|+|BF2|=12．故選：C．6.命題“若則”的否命題是（A）若則 （B）若則 （C）若則 （D）若則參考答案：C7.如圖，ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】A中因?yàn)锽D∥B1D1可判，B和C中可由三垂線定理進(jìn)行證明；而D中因?yàn)镃B1∥D1A，所以∠D1AD即為異面直線所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因?yàn)锽D∥B1D1，正確；B中因?yàn)锳C⊥BD，由三垂線定理知正確；C中有三垂線定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正確；D中顯然異面直線AD與CB1所成的角為45°故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體中的線面位置關(guān)系和異面直線所成的角，考查邏輯推理能力．8.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①如果直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則②如果直線與平面的一條垂線垂直，則③如果直線不垂直于，則內(nèi)沒(méi)有與垂直的直線④如果直線不垂直于，則內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與垂直A.

0

B.1

C.2

D.3參考答案：B9.已知,則的值為()A．大于0

B．小于0C．不小于0

D．不大于0參考答案：D10.設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，，有，在(0,+∞)上，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．[2,+∞)

B．[3,∞)

C．[－3，3]

D．(－∞,－2]∪[2,+∞)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算dx的結(jié)果是

．參考答案：π【考點(diǎn)】定積分．【分析】根據(jù)定積分的幾何意義，∫02dx表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，問(wèn)題得以解決．【解答】解：∫02dx表示的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，∴∫02dx==π故答案為：π12.雙曲線﹣=1漸近線方程為．參考答案：y=±x考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，把1換成0，即得此雙曲線的漸近線方程．解答：解：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，把1換成0，即得﹣=1的漸近線方程為﹣=0，化簡(jiǎn)可得y=±x．故答案為：y=±x．點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．13.P、Q分別為與上任意一點(diǎn)，則的最小值為是______________.參考答案：略14.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2處取得極值，并且它的圖象與直線y=﹣3x+3在點(diǎn)（1，0）處相切，則函數(shù)f（x）的表達(dá)式為．參考答案：f（x）=x3+x2﹣8x+6【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】求出f′（x），由函數(shù)在x=﹣2處取得極值得到f′（﹣2）=0，又∵函數(shù)與直線在點(diǎn)（1，0）處相切，∴f′（1）=﹣3，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1，0），代入求出c的值，則函數(shù)f（x）的表達(dá)式可求．【解答】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0，化簡(jiǎn)得：12﹣4a+b=0

①又f′（1）=3+2a+b=﹣3

②聯(lián)立①②得：a=1，b=﹣8又f（x）過(guò)點(diǎn)（1，0）∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6．∴f（x）=x3+x2﹣8x+6．故答案為：f（x）=x3+x2﹣8x+6．15.已知M(–3,0)，N(3,0)，給出曲線：①x–y+5=0，②2x+y–12=0，③x2+y2–12x–8y+51=0，④=1.在所給的曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=10–|NP|的所在曲線方程是

__.

參考答案：解析:滿足|MP|=10–|NP|，點(diǎn)P的軌跡是橢圓.畫(huà)圖可知直線x–y+5=0及雙曲線與它有交點(diǎn)，而直線2x+y–12=0，如圖(x–6)2+(y–4)2=1與它無(wú)交點(diǎn).故填①④.16.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有

．參考答案：960【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】第一步將5名志愿者先排成一排，有A55種方法，第二步將2位老人作一組插入其中，有2×4種方法，故不同的排法共有2?4?A55種，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：5名志愿者先排成一排，有A55種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有2?4?A55=960種不同的排法，故答案為：960．17.已知實(shí)數(shù)1，m，16構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線x2+=1的離心率為．參考答案：或【考點(diǎn)】曲線與方程；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由1，m，16構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，得到m=±4．當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)m=﹣4時(shí)，圓錐曲線是雙曲線，由此入手能求出離心率．【解答】解：∵1，m，16構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，∴m=±4．當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線x2+=1是橢圓，它的離心率是；當(dāng)m=﹣4時(shí)，圓錐曲線x2+=1是雙曲線，它的離心率是．故答案為：或．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若,,求.參考答案：【解】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又單調(diào)遞增，∴=2,=2,∴=2n

┉┉┉┉┉┉┉┉6分（Ⅱ）,∴

①∴

②∴①-②得＝

┉┉┉┉┉┉┉┉12分略19.（12分）求證:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.參考答案：證法1：∵a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=[(a4-2a2b2+b4)+(b4-2a2b2+c4)+(c4-2c2a2+a4)]=[(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2]≥0，∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2（12分）。證法2：不妨設(shè)a2≥b2≥c2,則由排序原理順序和≥亂序和，得a2×a2+b2×b2+c2×c2≥a2b2+b2c2+c2a2，即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2，當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=c2時(shí)，等號(hào)成立（12分）.略20.（本小題滿分10分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．己知（b－2a）cosC＋ccosB＝0．（1）求C；（2）若c＝，b＝3a，求△ABC的面積．參考答案：（1）原式可化為：

………2分

即

………3分

………5分（2）

………7分

………8分

………10分21.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O為AB的中點(diǎn)(1)證明：AB⊥平面A1OC(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．參考答案：(1)證明：連結(jié)A1B.，因?yàn)镃A＝CB，OA＝OB，所OC⊥AB因?yàn)锳B＝AA1，∠BAA1＝60°，所三角形AA1B為等邊三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以O(shè)A1⊥AB，又＝，面A1OC（2）由題可知，與是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，得平面ABC平面A1ABB

平面ABC平面A1ABB＝AB，由（1）OA1⊥AB，平面A1ABB面ABC為三棱柱ABC－A1B1C1的高＝322.設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，已知P（2，m）是拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|=4．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（3，2）的直線l1與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與直線l1垂直的直線l2交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中項(xiàng)，求|MN|．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）通過(guò)將P（2，m）代入拋物線C方程及拋物線的定義計(jì)算即得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)l1：x=m（y﹣2）+3（m≠0），l2：x=﹣y+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x3，y3）、N（x4，y4），分別與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及|QA|?|QB|=|MN|2，計(jì)算即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義得|PF|即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，∴|PF|=2+=4，∴p=4，又P（2，m）是拋物線C上一點(diǎn)，∴m2=2×4×2=16，∴