《5.3誘導公式》教學設計、導學案、同步練習

第五章三角函數(shù)《5.3誘導公式》教學設計【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修第一冊一》（人教A版）第五章《三角函數(shù)》，本節(jié)課是第5課時。本節(jié)主要是推導誘導公式二、三、四、五、六,并利用它們解決一些求值、化簡、證明三角恒等式。本小節(jié)介紹的五組誘導公式在內容上既是公式一的延續(xù),又是后繼學習內容的基礎,它們與公式一組成的六組誘導公式,用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關三角函數(shù)的化簡、證明等問題。在誘導公式的學習中,化歸思想貫穿始末,這一典型的數(shù)學思想,無論在本節(jié)中的分析導入,還是利用誘導公式將求任意角的三角函數(shù)值轉化為求銳角的三角函數(shù)值,均清晰地得到體現(xiàn),在教學中注意數(shù)學思想滲透于知識的傳授之中,讓學生了解化歸思想,形成初步的化歸意識特別是在本課時的三個轉化問題引入后,為什么確定180°+a角為第一研究對象,a角為第二研究對象,正是化歸思想的運用。課本例題實際上是誘導公式的綜合運用,難點在于需要把所求的角看成是一個整體的任意角,學生第一次接觸到此題型,思維上有困難,要多加引導分析,另外,誘導公式中角度制亦可轉化為弧度制,但必須注意同一個公式中只能采取一種制度,因此要加強角度制與弧度制的轉化的練習?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.借助單位圓，推導出正弦、余弦和正切的誘導公式；B.能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題；C.了解未知到已知、復雜到簡單的轉化過程，培養(yǎng)學生的化歸思想。1.數(shù)學抽象：利用單位圓找不同角的關系；2.邏輯推理：誘導公式的推導；3.數(shù)學運算：有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題?！窘虒W重難點】1.教學重點：誘導公式的記憶、理解、運用；2.教學難點：誘導公式的推導、記憶及符號的判斷?！窘虒W過程】教學過程教學設計意圖一、復習回顧，溫故知新1.任意角三角函數(shù)的定義【答案】設角它的終邊與單位圓交于點。那么（1）2.誘導公式一，其中，。終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等二、探索新知思考1：（1）.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關系?【答案】相等（2）.角-α與α的終邊有何位置關系?【答案】終邊關于x軸對稱（3）.角與α的終邊有何位置關系?【答案】終邊關于y軸對稱（4）.角與α的終邊有何位置關系?【答案】終邊關于原點對稱思考2：已知任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x,y),請同學們思考回答點P關于原點、x軸、y軸對稱的三個點的坐標是什么?【答案】點P(x,y)關于原點對稱點P1(-x,-y)點P(x,y)關于x軸對稱點P2(x,-y)點P(x,y)關于y軸對稱點P3(-x,y)探究一如圖，角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系？角π+與角的終邊關于原點O對稱，，（公式二）sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，tan(π+)=tan。探究二角與的三角函數(shù)值之間有什么關系角與角的終邊關于x軸對稱，有。。（公式三）sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan。探究三根據(jù)上兩組公式的推導，你能否推導出角與角的三角函數(shù)值之間的關系？角與角的終邊關于軸對稱，故有所以，（公式二）sin(π-)=sin，cos(π-)=cos，tan(π-)=-tan。思考3：這四個誘導公式有什么規(guī)律？的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號．總結為一句話：函數(shù)名不變，符號看象限。例1.求下列三角函數(shù)值(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2040°).活動:這是直接運用公式的題目類型,讓學生熟悉公式,通過練習加深印象,逐步達到熟練、正確地應用.讓學生觀察題目中的角的范圍,對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=;(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=.思考4：通過例題，你對誘導公式一、二、三、四有什么進一步的認識？你能歸納任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？利用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉化為已知的轉化與化歸的思想方法.例2.化簡：解析見教材探究四作P（x,y)關于直線的對稱點P1,以OP1為終邊的角與角有什么關系？角與角的三角函數(shù)值之間有什么關系？，，公式五探究五：作點P（x,y)關于y軸的對稱點P5，又能得到什么結論？。，公式六思考5：你能概括一下公式五、六的共同特點和規(guī)律嗎？【答案】的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.思考6：誘導公式可統(tǒng)一為的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關系，你有什么辦法記住這些公式？【答案】口訣：奇變偶不變，符號看象限口訣的意義：證明：。解析見教材例4化簡解析見教材例5已知，且，求的值。解析見教材通過復習上節(jié)所學任意角三角函數(shù)的定義與誘導公式一，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。通過思考讓學生了解角終邊之間的關系，為推導誘導公式作鋪墊，提高學生的解決問題、分析問題的能力。通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式二，提高學生分析問題、概括能力。通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式三，提高學生分析問題、概括能力。通過探究，由圖形觀察角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式三，提高學生分析問題、概括能力。通過思考，尋找這四個誘導公式的共同規(guī)律，提高學生分析問題、概括能力。通過例題練習誘導公式，進一步理解誘導公式的作用，提高學生解決問題的能力。通過思考總結用誘導公式求任意角三角函數(shù)值的步驟，提高學生解決問題的能力。通過探究，由圖形觀察角和角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系，進而得到誘導公式五、六，提高學生分析問題、概括能力。通過思考，尋找誘導公式的共同規(guī)律，提高學生分析問題、概括能力。通過例題的講解，讓學生進一步理解用誘導公式化簡三角函數(shù)關系式、求任意角的三角函數(shù)值，提高學生解決與分析問題的能力。三、達標檢測1．下列各式不正確的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)【解析】cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B項錯誤．【答案】B2．sin600°的值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)【解析】sin600°＝sin(720°－120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).故選D．【答案】D3．cos1030°＝()A．cos50° B．－cos50°C．sin50° D．－sin50°【解析】cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.【答案】A4．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))>0，則θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三角限角 D．第四象限角【解析】由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0，所以角θ的終邊落在第二象限，故選B．【答案】B5．已知sinφ＝eq\f(6,11)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)的值.【解】∵sinφ＝eq\f(6,11)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ))＝sinφ＝eq\f(6,11)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)＝eq\f(6,11)＋sin(π－φ)＝eq\f(6,11)＋sinφ＝eq\f(12,11).通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。四、小結1.誘導公式；2.誘導公式的記憶；3.利用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟。五、作業(yè)習題5.34,6題通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力,提高學生的數(shù)學運算能力和邏輯推理能力。【教學反思】對本節(jié)內容在進行教學設計之前,本人反復閱讀了課程標準和教材,針對教材的內容,精心編排了導學精要,讓學生親歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程,積極投入到思維活動中來,通過與學生的互動交流,關注學生的思維發(fā)展,在逐漸展開中,引導學生用己學的知識、方法予以解決,并獲得知識體系的更新與拓展,收到了一定的預期效果,尤其是練習的處理,讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,感受“觀察—一歸納—一概括一一應用”等環(huán)節(jié),在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維,逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力,充分發(fā)揮了學生的主體作用,也提高了學生主體的合作意識,達到了設計中所預想的目標然而還有一些缺憾:對本節(jié)內容,難度不高,本人認為,教師的干預(講解)還是太多。在以后的教學中,對于一些較簡單的內容,應放手讓學生多一些探究與合作。隨著教育改革的深化,教學理念、教學模式、教學內容等教學因素,都在不斷更新,作為數(shù)學教師要更新教學觀念,從學生的全面發(fā)展來設計課堂教學，關注管學生個性和潛能的發(fā)展,使教學過程更加切合《課程標準》的要求。用全新的理論來武裝自己,讓自己的課堂更有效。5.3誘導公式【學習目標】1.借助單位圓，推導出正弦、余弦和正切的誘導公式；2.能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題；3.了解未知到已知、復雜到簡單的轉化過程，培養(yǎng)學生的化歸思想?！局攸c難點】1.教學重點：誘導公式的記憶、理解、運用；2.教學難點：誘導公式的推導、記憶及符號的判斷?！緦W習過程】一、探索新知思考1：.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關系?.角-α與α的終邊有何位置關系?.角與α的終邊有何位置關系?.角與α的終邊有何位置關系?思考2：已知任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x,y),請同學們思考回答點P關于原點、x軸、y軸對稱的三個點的坐標是什么?探究一如圖，角的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關系？探究二角與的三角函數(shù)值之間有什么關系探究三根據(jù)上兩組公式的推導，你能否推導出角與角的三角函數(shù)值之間的關系？思考3：這四個誘導公式有什么規(guī)律？例1.求下列三角函數(shù)值(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2040°).思考4：通過例題，你對誘導公式一、二、三、四有什么進一步的認識？你能歸納任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？化簡：探究四作P（x,y)關于直線的對稱點P1,以OP1為終邊的角與角有什么關系？角與角的三角函數(shù)值之間有什么關系？探究五：作點P（x,y)關于y軸的對稱點P5，又能得到什么結論？思考5：你能概括一下公式五、六的共同特點和規(guī)律嗎？思考6：誘導公式可統(tǒng)一為的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關系，你有什么辦法記住這些公式？證明：。例4化簡例5已知，且，求的值?！具_標檢測】1．下列各式不正確的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)2．sin600°的值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)3．cos1030°＝()A．cos50° B．－cos50°C．sin50° D．－sin50°4．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))>0，則θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三角限角 D．第四象限角5．已知sinφ＝eq\f(6,11)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)的值.參考答案：思考1.（1）相等（2）終邊關于x軸對稱（3）終邊關于y軸對稱（4）終邊關于原點對稱思考2.點P(x,y)關于原點對稱點P1(-x,-y)點P(x,y)關于x軸對稱點P2(x,-y)點P(x,y)關于y軸對稱點P3(-x,y)探究一角π+與角的終邊關于原點O對稱，，（公式二）sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，tan(π+)=tan。探究二角與角的終邊關于x軸對稱，有。。（公式三）sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan。探究三角與角的終邊關于軸對稱，故有所以，（公式二）sin(π-)=sin，cos(π-)=cos，tan(π-)=-tan。思考3.的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號．總結為一句話：函數(shù)名不變，符號看象限。例1.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=;(4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120°)=tan120°=tan(180°-60°）=-tan60°=.思考4.利用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉化為已知的轉化與化歸的思想方法.例2解析見教材探究四，，公式五探究五。，公式六思考5.的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.思考6.口訣：奇變偶不變，符號看象限口訣的意義：例3、例4、例5解析見教材達標檢測1.【解析】cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B項錯誤．【答案】B2.【解析】sin600°＝sin(720°－120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).故選D．【答案】D3.【解析】cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.【答案】A4.【解析】由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0，所以角θ的終邊落在第二象限，故選B．【答案】B5.【解】∵sinφ＝eq\f(6,11)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋φ))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ))＝sinφ＝eq\f(6,11)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)＝eq\f(6,11)＋sin(π－φ)＝eq\f(6,11)＋sinφ＝eq\f(12,11).《5.3誘導公式》同步練習一基礎鞏固1．的值是（）A. B.C. D.2．等腰中，頂角滿足，則底角的正弦值為（）A. B. C. D.3．若，則（）A． B． C． D．4．已知，是第一象限角，則的值為（）A． B． C． D．5．化簡得到（）A.B.C. D.6．若，且是第三象限角，則_________.7．________。8．已知．（1）求的值；（2）求的值．能力提升9．若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．10．________。11．若是第四象限角，，則______.12．已知．（1）化簡；（2）若，求的值．素養(yǎng)達成13．在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于，兩點，已知點，的橫坐標分別為.（1）求和的值；（2）求的值.5.3誘導公式答案解析基礎鞏固1．的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】故答案選A2．等腰中，頂角滿足，則底角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設其中一底角為，根據(jù)等腰三角形性質，則有，即，，由得，又因，所以故選：A3．若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)的誘導公式，可得，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故選B.4．已知，是第一象限角，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，是第一象限角，∴，∴．故選：C5．化簡得到（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，原式.故選：B.6．若，且是第三象限角，則_________.【答案】【解析】因為，所以，因為是第三象限角，所以.所以.故答案為：.7．________?！敬鸢浮俊窘馕觥浚蚀鸢笧椋海?．已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于，所以．（2）原式．能力提升9．若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，所以.故選C.10．________。【答案】【解析】．故答案為：．11．若是第四象限角，，則______.【答案】【解析】是第四象限角，則為第一、四象限角或終邊位于軸上，則，且，因此，，故答案為：.12．已知．（1）化簡；（2）若，求的值．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）（2）若，則當為第一象限角時，當為第二象限角時，.素養(yǎng)達成13．在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于，兩點，已知點，的橫坐標分別為.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，，，因為為銳角，故，從而因為為銳角，故，從而；(2).《5.3誘導公式》同步練習二一、選擇題1．已知α為銳角，且tan(π-α)+3=0，則sinA．13B．31010C．2．已知α∈(π2,π)，tanA．35B．-35C．3．設tan(π+α)=2，則sinA．3B．13C．1D．4．tan690A．-33B．33C．5．已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0A．一B．二C．三D．四6．已知，是第四象限的角，則（）A． B． C． D．7．已知cos（）且||，則tan等于（）A． B． C． D．8．已知sin＝，則cos(π＋α)的值為()A． B．－ C． D．－9．已知sinθ＝－，θ∈(－，)，則sin(θ－5π)sin(－θ)的值是()A． B． C． D．10．已知,那么（）A． B． C． D．11．知α為銳角，且2tan(π-α)-3cos(π2A．355B．37712．已知f(α)=cos(πA．12B．－12C．3二、填空題13．若，則__________.14．若則的值為____.15．已知角α終邊上一點P（-4，3），則cos(16．已知，則_________.三、解答題17．已知cosα=，且,求的值.18．已知角是第三象限角，且．（1）化簡；（2）若求的值；（3）若，求的值．19．求證：.20．(1)化簡;(2)若，求的值.21．已知fa（1）化簡fa（2）若α是第三象限角，且cosα-3π222．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.5.3誘導公式答案解析一、選擇題1．已知α為銳角，且tan(π-α)+3=0，則sinA．13B．31010C．【答案】B【解析】由正切的誘導公式得tan(π-α)=-tanα，故tan(π-α)+3=0?tanα=3，由公式tan22．已知α∈(π2,π)，tanA．35B．-35C．【答案】B【解析】∵α∈π2∴sin故sin故選B3．設tan(π+α)=2，則sinA．3B．13C．1D．【答案】A【解析】由tan(π+α)=2,得tanα=2，故4．tan690A．-33B．33C．【答案】A【解析】tan故選：A5．已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】試題分析：由sin(θ+π)=-sinθ<0?sinθ>0，cos6．