第17章知識資料運動的偏微分方程

第十七章高等結構動力學運動的偏微分方程§17.1

引言§17.2梁的彎曲：基本情況§17.3梁的彎曲：包含軸向力的影響§17.4梁的彎曲：包含粘滯阻尼§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵§17.6軸向振動：無阻尼情況第十七章運動的偏微分方程§17.1引言第二篇所描述的離散坐標體系提供了一個方便而使用的方法進行任意結構的動力反應分析。由于它采用有限數(shù)目的位移坐標來描述體系的運動，因而得到的只能是真實動力行為的近似解。

§17.1引言§17.1引言

研究無限多個連接點的行為的正規(guī)數(shù)學方法是用微分方程，其中取位置坐標為獨立變量。因為在動力問題中時間也是一個獨立變量，所以按此途徑形成運動方程時得到偏微分方程。連續(xù)體系可按描述他們物理性質(zhì)的分布所需的獨立變量數(shù)來分類。后面解運動方程時，假定每一構件的物理性質(zhì)都是常數(shù)，但在推導運動方程時。容許物理性質(zhì)沿軸線隨意變化。因為對可以考慮的情形作了一些嚴格的限制，所以討論主要是想說明建立偏微分方程的一般概念，而不是提供一種有效的使用方法。§17.2梁的彎曲：基本情況

在建立連續(xù)體運動方程中，首先討論圖17-1（a）所示的變截面直梁。假定此梁的主要物理性質(zhì)是抗彎剛度和單位長度的質(zhì)量，它們沿跨度隨位置而任意變化。假定橫向荷載力隨位置和時間任意變化，橫向位移反應也是這些變量的函數(shù)?！?7.2梁的彎曲：基本情況§17.2梁的彎曲：基本情況圖17-1承受動力荷載的簡單梁(a)梁的特性和坐標(b)作用在微段上的力§17.2梁的彎曲：基本情況用作用在圖（b）所示梁段上的力的平衡條件，把全部豎向力加起來可導出第一個動力平衡關系式:式中表示分布橫向慣性力，它等于微段質(zhì)量和該微段加速度的乘積：(17-2)(17-1)§17.2梁的彎曲：基本情況由上兩式可得：對微段右截面和彈性交點求力矩和，得到第二個平衡關系如下：(17-3)(17-4)§17.2梁的彎曲：基本情況簡化為將式（17-5）對x求導，代入（17-3），整理得最后，引入梁的初等理論中彎矩和曲率的基本關系式(17-5)(17-6)導出梁彎曲的初等情況的運動偏微分方程(17-7)§17.3梁的彎曲：包含軸向力的影響

如果前面討論的梁除了承受圖17-l所示橫向荷載外，還承受平行于軸線的力的作用．因為軸向力和橫向位移互相影響，產(chǎn)生力矩平衡表達式中的附加項，所以，微段的力的平衡條件發(fā)生變化．考慮圖17-2所示的梁，其中假定軸向力是常量，不隨時間和位置變化．(原則上，軸向力可以是任意函數(shù)但為簡化起見，考慮它為常數(shù)．)§17.3梁的彎曲：包含軸向力的影響§17.3梁的彎曲：包含軸向力的影響

從圖17-2(b)中明顯地看出軸向力對橫向平衡沒有影響，因為它的方向不隨梁的彎曲而變化，因此方程(17-3)仍然適用．然而，軸向力的作用點隨梁的彎曲而改變，所以力矩平衡方程現(xiàn)在成為：

(17-8)§17.3梁的彎曲：包含軸向力的影響§17.3梁的彎曲：包含軸向力的影響從式中的初橫向力為：把這個的修正表達式代入式（17-3），按前面步驟得方程：

(17-9)(17-10)§17.4梁的彎曲：包含粘滯阻尼在前面建立梁式構件運動方程時未包含阻尼。現(xiàn)在，將考慮兩種形式的分布粘滯阻尼:(1)外阻尼力，單位長度上的阻尼力用圖8-3中的表示;(2)如方程（8-8）中和方程（8-9）第二部分所示的抵抗應變速度的內(nèi)部抗力。首先，需要對圖17-1b中的單元體加上抵抗速度的橫向力§17.4梁的彎曲：包含粘滯阻尼(17-11)§17.4梁的彎曲：包含粘滯阻尼做這些改變之后，重復在17-2節(jié)中的推導過程，最后導出(17-13)其次，需要將（17-7）中的截面彎矩變成式（8-9）的形式，即(17-12)§17.4梁的彎曲：包含粘滯阻尼如果除了上述兩項粘滯阻尼以外，同時還考慮軸向力的作用，那么此方程的左邊還應該包含一項，如方程（17-10）所示§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵正如在第Ⅰ篇單自由度體系和第Ⅱ篇多自由度體系中所討論的，結構和機械系統(tǒng)常常承受支座運動而不是外部荷載作用的激勵。像在第26章中的討論那樣，對如此復雜的體系作實際分析，應該采用離散參數(shù)建模方法進行。但在這里，建立如圖17-1所示的具有分布參數(shù)梁在受支座激勵動力激發(fā)時控制反應的運動偏微分方程是有益的?！?7.5梁的彎曲：廣義支座激勵首先，假定梁在它的兩端承受確定的支座運動（平動和轉動），如圖17-3所示(17-14)§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵在這些式子里，加上上角標“”，以說明梁彈性軸的位移是從它的初始位置計算的總位移。在方程（17-13）中，移去項并用代替后，就得到粘滯阻尼情況的控制偏微分方程。該修改后的運動方程必須在滿足（17-14）所給出的確定的幾何邊界條件下求解。實際做時，把梁總的位移表示成支座運動，，和靜力作用引起的位移，即所謂的擬靜力位移，以及因動力慣性力及粘滯阻尼力作用產(chǎn)生的附加位移之和是方便的，這樣，就有，(17-15)§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵把上式代入方程（17-13）修改后的形式，并將所有與擬靜力位移，以及導數(shù)相關的項移到方程右邊，則可導出(17-16)§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵其中(17-17)該式表示因指定支座激勵所產(chǎn)生的等效分布動力荷載。注意，因為是僅由靜力的支座位移產(chǎn)生的，式（17-17）右邊第一項等于零。因此，該等效荷載可簡化為如下形式§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵(17-18)先前，產(chǎn)生等效荷載的定義為由四個特定的支座位移，，和產(chǎn)生的擬靜力位移。因此，它可以表示成如下形式(17-19)§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵把式（17-19）代入（17-18），給出(17-20)等效荷載表示成如下近似的形式：(17-21)把上式代入方程（17-16）；之后，求解。把所得結果加上由式（17-19）給出的，即可得到總位移。§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵下面考慮圖17-1所示的梁在承受如下兩個確定支座運動的情況(17-22)假定，在處，梁端完全自由，得到的懸臂梁的擬靜力位移是(17-23)由此推導出近似的等效荷載為(17-24)§17.5梁的彎曲：廣義支座激勵因為式（17-23）給出的全部在處由式（17-22）確定的兩個幾何邊界條件，所以在從方程（17-16）求解時必須附加上如下條件：和。另外，在自由端還應該滿足彎矩和剪力為零的條件，即(17-25)由于該懸臂梁不會因式（17-23）的擬靜力位移產(chǎn)生任何彎曲變形，梁中的應力僅因動力反應而產(chǎn)生?！?7.5梁的彎曲：廣義支座激勵

最后，考慮上述懸臂梁僅承受一種指定的支座運動。在這種簡單情況下，和；并且，求解方程（17-16）時應該滿足的邊界條件是，，，?！?7.6軸向振動：無阻尼情況在17-2節(jié)~17-5節(jié)里討論了梁的彎曲，其中的動位移沿彈性軸線的橫向方向。彎曲機理是在一維構件的動力分析中遇到的最普遍的行為形式；但是，在某些重要情況下僅發(fā)生軸向振動。考慮一根直桿，其軸向剛度EI和單位長度的質(zhì)量m沿其長度變化，如圖17-4a所示。如果該桿承受分布的任意軸向荷載，那么將產(chǎn)生隨時間變化的分布力，如圖17-4b中的微段所示。注意，在推導中用代表隨時間變化的軸向力，為的是區(qū)別于在17-3節(jié)使用的不隨時間變化的軸向力（無下劃線）。對沿x方向作用于微段上的力求和，得到§17.6軸向振動：無阻尼情況§17.6

軸向振動：無阻尼情況

§17.6軸向振動：無阻尼情況(17-27)式中表示單位長度的