平面向量線性運(yùn)算經(jīng)典習(xí)題及平面向量習(xí)題整理

MathwangPAGEPAGE1平面向量線性運(yùn)算經(jīng)典習(xí)題1.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在直線BC外,=4,|則||=()A.8B.4C.2D.12.已知△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且則r+s的值是()C.-3D.03.平面向量a,b共線的充要條件是()A.a,b方向相同B.a,b兩向量中至少有一個(gè)為0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ24.已知O?A?B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足則等于()5.設(shè)D?E?F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn),則與A.反向平行 B.同向平行C.不平行 D.無(wú)法判斷6.已知a,b是不共線的向量,=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R),那么A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=17.設(shè)，而是一非零向量，則下列各結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①③8.若化簡(jiǎn)（）A． B． C． D．以上都不對(duì)9.在△ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的重心，則等于 （）A． B． C． D．10.若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足,則△ABC的形狀為_(kāi)_______.11.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量??其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=,若=λμ(λ,μ∈R),則λ+μ的值為_(kāi)_______.12.如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若則m+n的值為_(kāi)_______.13．若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，t∈R，若a，b起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)，a，tb,eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？．14.設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量,(1)若=a-3b,求證:A、B、C三點(diǎn)共線;(2)若8a+kb與ka+2b共線,求實(shí)數(shù)k的值.15.如圖所示,△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AC邊上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求AP:PM的值.向量習(xí)題分類精選向量的模點(diǎn)評(píng)：向量模的處理思路：幾何法，平方，坐標(biāo)(2011·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(B)A.eq\r(2)－1 B．1C.eq\r(2) D．2已知向量a≠e，|e|＝1，滿足：對(duì)任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則(C)A．a(chǎn)⊥e B．a(chǎn)⊥(a－e)C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)(16上期中)若向量滿足,則在方向上的投影的最大值是________.設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于(A)A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C．以a，b為兩邊的三角形的面積D．以b，c為兩邊的三角形的面積【2013，安徽理9】在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)滿足則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是（D）A．B．C．D．【2013湖南6】已知是單位向量，.若向量滿足(A)A．B．C．D．【2015湖南理2】已知點(diǎn)，，在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（B）A.6B.7C.8D.9【2013重慶，理10】在平面上，，,.若，則的取值范圍是（D）A、B、C、D、【2014湖南16】在平面直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足=1，則的最大值是_________.【2015高考浙江，理15】已知是空間單位向量，，若空間向量滿足，且對(duì)于任意，，則___．__．__．，，.【2013高考重慶理第10題】在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||＜，則||的取值范圍是(D)．A．B．C．D．已知中，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn).若，且，則.（2017屆武漢市二月調(diào)考.理11）已知為兩個(gè)非零向量，且，，則的最大值為（D）A．B．C．D．平面向量基本定理，基底轉(zhuǎn)化，雙參數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)處理方法:線性運(yùn)算（加、減、數(shù)乘）直接轉(zhuǎn)化；待定系數(shù)法；方程組法?！?013年.浙江卷.理17】設(shè)為單位向量，非零向量，x，y∈R.若的夾角為，則的最大值等于__________．2如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，則m＋n的值為_(kāi)_______．2點(diǎn)評(píng)：三點(diǎn)共線經(jīng)常作為隱含信息出現(xiàn)，不容易察覺(jué)。在邊長(zhǎng)為1的正中，向量，且則的最大值為_(kāi)_______.點(diǎn)評(píng)：思路1.基底法.可選取為基底.思路2.坐標(biāo)法，關(guān)鍵是D,E兩點(diǎn)坐標(biāo)表示.如圖所示，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up16(→))、eq\o(OB,\s\up16(→))、eq\o(OC,\s\up16(→))，其中eq\o(OA,\s\up16(→))與eq\o(OB,\s\up16(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up16(→))與eq\o(OC,\s\up16(→))的夾角為30°.且|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為_(kāi)_____．λ＋μ＝6.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up16(→))和eq\o(OB,\s\up16(→))，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧eq\x\to(AB)上變動(dòng)．若eq\o(OC,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________．2點(diǎn)評(píng)：思路1.利用,得，基本不等式求得（有漏洞：x、y可能為負(fù)數(shù)！）.思路2.坐標(biāo)法，設(shè)，得求解.思路3.幾何法，設(shè)AB交OC于T，，由A、T、B三點(diǎn)共線得.(2019屆高一3月考16)在扇形中，點(diǎn)為弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)可與點(diǎn)或重合，若，則的最大值為。(2017屆武漢四月調(diào)考理科16)已知的外接圓圓心為，且，若，則的最大值為.在中，已知,,，為線段上的一點(diǎn)，且則的最大值為（C）A． B． C． D．點(diǎn)評(píng)：由條件可得，CA=3，CB=4.由三點(diǎn)共線可得，再消元或湊基本不等式求解.【2014天津，理8】已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)分別在邊上，，．若，，則（C）（A）（B）（C）（D）【2013山東，理15】已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_________．如右圖，，點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是__________，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是__________.向量數(shù)量積、（三點(diǎn)）共線定理、投影常見(jiàn)處理方法:定義，幾何意義（投影），坐標(biāo)，向量轉(zhuǎn)化（基底）在△OAB中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，OD是AB邊上的高，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，則實(shí)數(shù)λ等于(B)A.eq\f(a·b－a,|a－b|2) B.eq\f(a·a－b,|a－b|2)C.eq\f(a·b－a,|a－b|) D.eq\f(a·a－b,|a－b|)正邊長(zhǎng)等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.已知中，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.點(diǎn)評(píng)：思路1.基底法.注意A、B、P三點(diǎn)共線的運(yùn)用以及所設(shè)未知數(shù)范圍的確定.思路2.坐標(biāo)法，以BC為x軸.【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知,動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上,且,則的最小值為_(kāi)_________．【2015高考福建，理9】已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（A）A．13B．15C．19D．21【2014江蘇，理12】如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是.22AADCBP(2012·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\r(2)，則eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))的值是________．eq\r(2)已知中，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.點(diǎn)評(píng)：思路1.基底法.注意A、B、P三點(diǎn)共線的運(yùn)用以及所設(shè)未知數(shù)范圍的確定.思路2.坐標(biāo)法，以BC為x軸.在邊長(zhǎng)為1的正中，向量，且則的最大值為_(kāi)_______.點(diǎn)評(píng)：思路1.基底法.可選取為基底.思路2.坐標(biāo)法，關(guān)鍵是D,E兩點(diǎn)坐標(biāo)表示.(16上期中)如圖所示，在中，，且，則________.點(diǎn)評(píng)：思路1.基底法.可選取為基底.思路2.坐標(biāo)法，關(guān)鍵是C點(diǎn)坐標(biāo)表示.思路3.幾何法，過(guò)C作AD的垂線，運(yùn)用投影意義.三角形形狀、面積問(wèn)題【2015高考安徽，理8】是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（D）（A）（B）（C）（D）已知中，，是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則________.（余弦定理，面積公式，面積和，三項(xiàng)和平方公式）已知的面積為，是三角形的某個(gè)內(nèi)角，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則下列判斷正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【2014山東.理12】在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為_(kāi)_______.(2013遼寧，理9)已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(C)．A．b＝a3B．C．D．在四邊形中，，，則四邊形的面積為_(kāi)_________.的三邊滿足且，則的形狀是(D)A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形設(shè)P是ΔABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則ΔPAB與ΔABC的面積之比為(C)A.B.C.D.【2013年.浙江卷.理7】設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有·≥·，則(D)．A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，S△ABC表示△ABC的面積，λ1＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，λ2＝eq\f(S△PCA,S△ABC)，λ3＝eq\f(S△PAB,S△ABC)，定義f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G是△ABC的重心，f(Q)＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6))，則(A)A．點(diǎn)Q在△GAB內(nèi) B．點(diǎn)Q在△GBC內(nèi)C．點(diǎn)Q在△GCA內(nèi) D．點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合三角形“三線”、“四心”在中，是的內(nèi)心，若，其中，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的圖形的面積為（A）A.B.C.D.已知A，B，C是平面上不共線上三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.則P的軌跡一定通過(guò)的(C)A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.AB邊的中點(diǎn)在△OAB中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，OD是AB邊上的高，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，則實(shí)數(shù)λ等于(B)A.eq\f(a·b－a,|a－b|2) B.eq\f(a·a－b,|a－b|2)C.eq\f(a·b－a,|a－b|) D.eq\f(a·a－b,|a－b|)已知為線段上一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足，，，且，則的值為（B）A.B.3C.4D.三角形“四心”知識(shí)點(diǎn)匯總重心G垂心H外心O內(nèi)心I示意圖定義三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心。三角形三條高線所在的直線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。三解形三條垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，即外接圓圓心。三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。性質(zhì)(1)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對(duì)邊，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。(2)若H在△ABC內(nèi)，且AH、BH、CH分別與對(duì)邊相交于D、E、F，則A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六組四點(diǎn)共圓。(3)△ABH的垂心為C，△BHC的垂心為A，△ACH的垂心為B。(4)三角形的垂心到任一頂點(diǎn)的距離等于外心到對(duì)邊距離的2倍。(1)內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。(2)∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，則D與頂點(diǎn)B、C、內(nèi)心I等距(即D為△BCI的外心)。創(chuàng)新題、知識(shí)點(diǎn)綜合(2012·安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量eq\o(OP,\s\up16(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq\f(3π,4)后得向量eq\o(OQ,\s\up16(→))，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(A)A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2)) B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))C．(－4eq\r(6)，－2) D．(－4eq\r(6)，2)點(diǎn)評(píng)：思路1.三角函數(shù)的一般定義及和差公式.思路2.向量夾角公式.【2014年.浙江卷.理8】記，，設(shè)為平面向量，則（D）A.B.C.D.【2014上海,理16】如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（A）（A）1(B)2(C)4(D)8【2014上海,理17】已知與是直線y=kx+1（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是（B）（A)無(wú)論k，如何，總是無(wú)解（B)無(wú)論k，如何，總有唯一解（C）存在k，，使之恰有兩解（D）存在k，，使之有無(wú)窮多解【20