高三二輪復(fù)習(xí)專題05解三角形

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)第5講：解三角形解析版2023年考情考題示例考點(diǎn)關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第17題三角形面積公式三角恒等變換2023年新Ⅱ卷，第17題余弦定理、面積公式同角三角函數(shù)關(guān)系2023年天津卷，第16題正弦、余弦定理兩角之差公式2023年北京卷，第7題正弦定理化簡無2023年乙卷理科，第18題余弦定理、面積公式無2023年甲卷理科，第16題余弦定理、面積公式角平分線的性質(zhì)2023年甲卷文科，第17題正、余弦定理，面積公式無題型一：正、余弦定理【典例例題】例1.（2023春·廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，設(shè)(I)求C；(Ⅱ)若,求解：(I)由正弦定理得化簡得，(Ⅱ)由正弦定理得即【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省汕頭市二模）在中，已知C=45°，，，則角B為（）A.30 B.60 C.30或150 D.60或120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理可得，又因?yàn)?，可得，即，所?故選：A.2.（2023春·黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)模擬）三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面積公式得到，根據(jù)角度范圍得到答案.【詳解】，故，，.故選：C3.（2023春·山東省聊城市聊城一中東校模擬）記的內(nèi)角的對邊分別為．已知，為邊的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，，求的周長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正余弦定理求出，再利用三角函數(shù)證明出；（2）利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，進(jìn)而求出周長.【小問1詳解】對于，因?yàn)?，所以，所?即.利用正弦定理,得.利用余弦定理,所以，即.因?yàn)?，所以，利用正弦定理，得?因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】在中，，，所以，.所以.因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以.在直角三角形中，利用勾股定理得：，解得：.所以.所以周長.4.（2023春·廣東省二模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若，求sinA．【答案】（1）（2）或1．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；（2）方法一：根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；方法二：利用余弦定理解三角形，分析運(yùn)算.【小問1詳解】由正弦定理，得，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，則，可得，所以，則，所以．【小問2詳解】方法一：因?yàn)?，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，則，所以或，所以或，故或1．方法二：因?yàn)?，由余弦定理得，將代入?）式得，整理得，因式分解得，解得或，①當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)?，所以，②?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以sinA的值為或1．題型二：面積公式【典例例題】例1.（2023春·廣東省佛山市一模）中，，，分別是角，，的對邊，且有.（1）求角；（2）當(dāng)，時(shí)，求的面積.【答案】（1）或或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將式子化簡，即可求出角大??；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊的長度，再根據(jù)三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以或，解得或?【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，根?jù)余弦定理得，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的面積的面積為或.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校模擬）設(shè)分別是的內(nèi)角的對邊，已知，設(shè)是邊的中點(diǎn)，且的面積為1，則等于（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可求得，由三角形的面積可求得，由平面向量減法法則可得，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】，由正弦定理可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，由，可得：，又的面積為1，即，又故選：B2.（2023秋·山東省德州市第一中學(xué)模擬）在中，點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的3倍，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______；若的面積為1，當(dāng)最短時(shí)，______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得，得到，再由的面積為，求得可得，根據(jù)由余弦定理得，令，化簡得到，結(jié)合基本不等式，得到時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求得，即可求得的值.【詳解】設(shè)的三個(gè)角對的邊分別為，因?yàn)榍移椒?，可得，可得，由三角形的?nèi)角平分線定理，可得，又由，則，因?yàn)?，可得，所以，則，所以，由的面積為，可得，可得，又由余弦定理得，令，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)，則，所以，可得，即當(dāng)最短時(shí)，.3.（2023春·廣東省深圳市一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，求的的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由可得，由正弦定理及輔助公式得,即可求得答案；(2)在中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得，，從而得，再由，可得，，由三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】解：由已知得，，由正弦定理可得，，因?yàn)?，所?代入上式，整理得，又因?yàn)椋?，所以，?又因?yàn)?，所以，所以，解得；【小?詳解】在中，由余弦定理得，．而，，所以，①在中，由余弦定理得，，②由①②兩式消去a，得，所以，又，解得，．所以的面積．4.（2023春·福建省廈門第六中學(xué)模擬）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B：（2）若，點(diǎn)D滿足,，求平面四邊形ABCD的面積【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角可求出結(jié)果；（2）求出，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】由以及正弦定理得，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?小問2詳解】由余弦定理得，所以，，，如圖：因?yàn)?，所以，又，則，所以平面四邊形ABCD的面積為.5.（2023春·河北省唐山市邯鄲市模擬）在中，角、、所對的邊長分別為、、，且．（1）求的值．（2）若的面積為1，求的周長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及誘導(dǎo)公式求出結(jié)果；（2）由三角形面積公式、余弦定理及基本不等式求得結(jié)果.【小問1詳解】由已知得，即，因?yàn)?，所以，所以，∵為?nèi)角，∴，∴，，∴．【小問2詳解】∵，，則．且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立．∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號．∴周長最小值為．6.（2023春·河北省秦皇島市青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角可求得，由的范圍可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：，即又（2）由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即面積的最大值為7.（2023春·遼寧省丹東市等2地大石橋市模擬）的內(nèi)角的對邊分別為，，.設(shè).（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，結(jié)合，求出；（2）由正弦定理得到，表達(dá)出，利用為銳角三角形，求出，從而得到，.【小問1詳解】變形為，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以；【小?詳解】由正弦定理得：，故，故，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，解得：，故，，則.題型三：解三角形實(shí)例應(yīng)用【典例例題】例1.（2023秋·河北省九師聯(lián)盟中學(xué)模擬）如圖，某商家欲在廣場播放露天電影，幕布最高點(diǎn)A處離地面，最低點(diǎn)B處離地面．胡大爺?shù)难劬Φ降孛娴木嚯x為，他帶著高的小板凳去觀影，由于觀影人數(shù)眾多，胡大爺決定站在板凳上觀影，為了獲得最佳觀影效果（視角最大），胡大爺離幕布的水平距離應(yīng)為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)可得，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正切公式表達(dá)，利用基本不等式即可求解最值.【詳解】過點(diǎn)C作于D，設(shè)，則，胡大爺站在板凳上眼睛到地面的距離為．在和中，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），又，則當(dāng)時(shí)，視角最大．即胡大爺離幕布的水平距離為時(shí)，觀影效果最佳．故答案為：【變式訓(xùn)練】1.（2023春·河南省洛陽市第一高級中學(xué)模擬）如圖，為了測量兩個(gè)信號塔塔尖之間的距離，選取了同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與（在同一鉛垂平面內(nèi)）．已知在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)的仰角為，且米，則（）A.米 B.400米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】將實(shí)際問題抽象出幾何圖形，在多個(gè)三角形中解三角形，從而得出實(shí)際問題的解.【詳解】如圖，過作，垂足為，過作，垂足為.由題意可知，，,在中，,即，;在中，,且,由正弦定理得，,即，即，在中，,且，由余弦定理得，解得，故選：D.2.（2023秋·湖南省部分校模擬）如圖，某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對該校旗桿的高度進(jìn)行測量，該社團(tuán)的同學(xué)在A處測得該校旗桿頂部P的仰角為，再向旗桿底部方向前進(jìn)15米到達(dá)B處，此時(shí)測得該校旗桿頂部P的仰角為．若，則該校旗桿的高度為（）A.14米 B.15米 C.16米 D.17米【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形中的邊角關(guān)系列式求解旗桿高度即可.【詳解】解：如圖由題可知：（米），則在中，①，在中，②，聯(lián)立①②解得：（米），（米）.即該校旗桿的高度為15米.故選：B.3.（2023秋·河北省九師聯(lián)盟模擬）如圖，某商家欲在廣場播放露天電影，幕布最高點(diǎn)A處離地面，最低點(diǎn)B處離地面．胡大爺?shù)难劬Φ降孛娴木嚯x為，他帶著高的小板凳去觀影，由于觀影人數(shù)眾多，胡大爺決定站在板凳上觀影，為了獲得最佳觀影效果（視角最大），胡大爺離幕布的水平距離應(yīng)為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)可得，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正切公式表達(dá)，利用基本不等式即可求解最值.【詳解】過點(diǎn)C作于D，設(shè)，則，胡大爺站在板凳上眼睛到地面的距離為．在和中，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），又，則當(dāng)時(shí)，視角最大．即胡大爺離幕布的水平距離為時(shí)，觀影效果最佳．故答案為：題型四：解三角形在幾何中應(yīng)用【典例例題】例1.（2023春·廣東省汕頭市一模）如圖，在中，D是邊上的一點(diǎn)，，．（1）證明：；（2）若D為靠近B的三等分點(diǎn)，，，，為鈍角，求．【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）在和中分別用正弦定理表示出，相比即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論可求得，繼而由余弦定理求得的長，即可得長，從而求得的長，即可求得答案.【小問1詳解】證明：在中，，在中，,由于,故，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，故，由為鈍角，故為銳角，又，且D為靠近B的三等分點(diǎn)，，，故，故,故，則,故.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·黑龍江省海倫市第二中學(xué)模擬）在中，.（1）求角；（2）若為中點(diǎn)，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角恒等變換化簡即可；（2）在中由余弦定理可得的長與，再在中由余弦定理可得，再在中由余弦定理可得即可.【小問1詳解】由正弦定理，，因?yàn)椋?，則，即.又，故，故，故【小問2詳解】由余弦定理，故，.在中由余弦定理可得.在中由余弦定理可得，故.在中由余弦定理，即的余弦值為.2.（2023春·遼寧省朝陽市模擬）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）如圖，若D是外接圓的劣弧AC上一點(diǎn)，且．求AD．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】(1)利用正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換即可求解；(2)利用余弦定理分別在和解三角形可求解.小問1詳解】由邊化角可得，即，即，所以，因?yàn)?，所以，所以?所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，所以，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知,在中，由余弦定理得，所以即，解得或（舍）.3.（2023春·廣東省廣州市二模）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若點(diǎn)在邊上，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化簡可得出，可求出的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）求出、的值，設(shè)，則，分別在和中，利用正弦定理結(jié)合等式的性質(zhì)可得出、的等式，即可求得的值，即為所求.【小問1詳解】解：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，化簡可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以?【小問2詳解】解：因?yàn)椋瑒t為銳角，所以，，因?yàn)椋?，，所以，，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因?yàn)?，上面兩個(gè)等式相除可得，得，即，所以，.4.（2023春·廣東省揭陽市二模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，．（1）求角；（2）是邊上的點(diǎn)，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角、切化弦，結(jié)合三角恒等變換公式可化簡已知等式求得，由此可得；（2）設(shè)；在和分別利用正弦定理和余弦定理可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得結(jié)果.【小問1詳解】由得：，由正弦定理得：，，又，，；有意義，，，即，又，.【小問2詳解】，，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，即；在中，由余弦定理得：；，解得：，即，又，.5.（2023春·廣東省茂名市二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點(diǎn)，且，試判斷的形狀.【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設(shè)，利用正弦定理，化簡求出，得到，即可證明.【小問1詳解】由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所?【小問2詳解】設(shè)，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.6.（2023春·廣東省佛山市二模）已知為銳角三角形，且．（1）若，求；（2）已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用正弦定理結(jié)合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；【小?詳解】因?yàn)椋?，又，可得，在中，，所以，在中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.題型五：解三角形綜合應(yīng)用【典例例題】例1.（2023春·廣東省一模）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換和正弦定理的得到，進(jìn)而由余弦定理得到，求出；（2）由三角函數(shù)和差公式求出，由求出取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋?，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所?【小問2詳解】在中，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍?【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，，則a2＋b2的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定等式求出三角形的內(nèi)角C，再利用正弦定理及三角恒等變換、三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】因，顯然，，銳角中，，，則，令，由得：，由正弦定理得，，因此，而，則，即有，所以a2＋b2的取值范圍為.故答案為：2.（2023春·廣東省江門市一模）在銳角中，角的對邊分別為，且，，依次組成等差數(shù)列.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列結(jié)合三角恒等變換可得，由正弦定理即可求得的值；（2）由（1）得，根據(jù)銳角三角形結(jié)合余弦定理可得的取值范圍，將轉(zhuǎn)化為，令，設(shè)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)取值范圍，即得的取值范圍.【小問1詳解】由條件得：，所以，由正弦定理得：，所以.【小問2詳解】及，則，角一定為銳角，又為銳角三角形，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，又，所以.又，令，則，，所以在上遞增，又，，所以的取值范圍是.3.（2023春·河北省張家口市張?jiān)?lián)盟模擬）在中，角的對邊分別為，若，且.（1）求角的大小；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理的邊角變換得到，從而得到，由此得解；（2）利用正弦定理與三角形恒等變換得得關(guān)于的三角函數(shù)式，結(jié)合的取值范圍即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，則，整理得，所以，又，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，所以，故，因?yàn)槭卿J角三角形，則，解得，所以，則，故.4.（2023春·廣東省潮州市一模）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】，又,所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,【小問2詳解】由于，所以,故,由于為銳角三角形，所以且，故，則，故，故的取值范圍為5.（2023春·廣東省潮陽區(qū)二模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2），BD=3，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，得到求解.（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解：由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，整理得：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即.整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，因?yàn)?，所以，所以ABC面積的最大值為.6.（2023秋·江蘇省南京市六校中學(xué)模擬）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）若，求面積的最大值；（2）若，在邊的外側(cè)取一點(diǎn)（點(diǎn)在外部），使得，且四邊形的面積為.求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得到，從而求出，再由余弦定理和基本不等式求出，利用三角形面積公式求出答案；（2）利用三角形面積公式得到，結(jié)合第一問得到，從而求出四邊形的面積，列出方程，求出.【小問1詳解】由，得，即，由得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故，在中，由余弦定理得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，【小問2詳解】設(shè)，則，在中，，由（1）知為正三角形，故，故四邊形的面積，故，所以，因?yàn)?，所以，?1.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文））在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2.（全國甲卷數(shù)學(xué)（理））在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．【答案】【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：?.（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.4.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.5.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.6.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．7.（新高考天津卷）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．1.（2023秋·湖南省常德市漢壽縣第一中學(xué)模擬）已知的面積為，則的中線長的一個(gè)值為___________.【答案】或【解析】【分析】結(jié)合已知條件和三角形面積公式求，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，故或；①當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)?，所以，故；②?dāng)時(shí)，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.綜上所述，的中線長為或.故答案為：或.2.（2023秋·福建省廈門第二中學(xué)模擬）在中，，則A． B． C． D．【答案】【解析】由正弦定理為三角形外接圓半徑)可得：，，，所以可化為，即，，又，．故選：．3.（2023秋·河南省新鄉(xiāng)市長垣市第一中學(xué)模擬）在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意和三角恒等變換的公式，求得，根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)得到且，得出，求得，，結(jié)合正弦定理，即可求解.【詳解】因?yàn)?，即，所以，可得，所以，由正弦函?shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，因?yàn)榍?，所以，解得，所以，又由正弦定理可?故選：C.4.（2023秋·河北省邢臺市四校質(zhì)檢聯(lián)盟模擬）（多選）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的取值可能是（）A. B. C.2 D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理得到或，分兩種情況，求出答案.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以或．?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，，則，當(dāng)時(shí)，，綜上：的值為或2.故選：BC5.（2023春·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)模擬）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和余弦定理求解；（2）利用正弦定理即可；（3）利用二倍角的正余弦公式以及兩角和的正弦公式求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，所以【小問2詳解】由可得解得.【小問3詳解】因?yàn)樗詾殇J角，由（2）可知，所以，，，所以.6.（2023春·密山市第四中學(xué)模擬）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對于已知條件使用正弦定理，結(jié)合三角恒等變換求解；（2）用余弦定理進(jìn)行求解.【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，，由，則，約去可得，則.【小問2詳解】由（1）及余弦定理可得，即，整理可得，解得（負(fù)值舍去）7.（2023春·模擬）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求的大小；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，再根據(jù)正弦定理得到，得到答案.（2）確定，，再根據(jù)正弦定理計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，故意，即，所以，，故，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】，，所以.故，故.8.（2023秋·湖南省部分校模擬）的內(nèi)角的對邊分別是.已知.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦的二倍角公式變形可求得角；（2）由面積公式求得，再由余弦定理求得，從而得三角形周長．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周長為.9.（2023春·廣東省大灣區(qū)二模）在中，角，，的對邊分別為，，．點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，已知，，．（1）求b；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，邊角互化后，再結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）由條件可知，，再結(jié)合向量數(shù)量積公式，求，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?由正弦定理得，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，化簡得，解得：或（舍去），因?yàn)?，所?所以.10.（2023秋·河北省邢臺市四校質(zhì)檢聯(lián)盟模擬）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡求解；（2）由，得到，再由的面積為，得到，然后利用余弦定理求解.【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】由（1）可得，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，則.由余弦定理可得，即，所以，則.故的周長為.11.（2023秋·廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)模擬）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，.（1）證明：;（2）若的面積為，求邊上的高.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理以及二倍角公式證明即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論以及利用正弦定理或余弦定理求出角的值，再根據(jù)三角形面積公式以及等面積法求解即可.【小問1詳解】證明：，由正弦定理，及余弦定理得，①，又，②由①②得，，.【小問2詳解】由（1）得，，（或由余弦定理得）的面積，設(shè)邊上的高為，則的面積，，即邊上的高為.12.（2023春·廣東省廣州市一模）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡可證得結(jié)論成立；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可得出，結(jié)合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面積.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，即，由正弦定理可得，因此，.【小問2詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，由平面向量?shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.13.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)二模）記的內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知.（1）證明：；（2）若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理結(jié)合條件可得，然后利用角平分線定理及余弦定理即得.【小問1詳解】由正弦定理得：所以可化為,因?yàn)?，所以所以，所以，即，所以；【小問2詳解】角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，,由角平分線定理可得，,,又，由余弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，所以.所以.14.（2023春·廣東省梅州市一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知.（1）求內(nèi)角；（2）點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，已知，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內(nèi)角；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，再利用數(shù)量積公式和基本不等式即可求得面積的最大值.【小問1詳解】在中，因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，于是有，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，?【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，所以，對上式兩邊平分得：，因?yàn)椋?，即，而，有，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因此.即面積的最大值為.15.（2023春·山西省運(yùn)城市稷山縣稷王中學(xué)模擬）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求證：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化簡已知條件可得，再利用正弦定理化邊為角，即可證明（2）消元，將要求取值范圍的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為，利用第一問得出的結(jié)論求出角的取值范圍，從而得到的取值范圍，最后應(yīng)用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解【小問1詳解】由余弦定理得，∵，∴∴∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴【小問2詳解】由（1）得，∴，∵，又，∴，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴的取值范圍為．16.（2023春·山東省青島萊西市模擬）給出下列三個(gè)條件：①；②；③．請從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，然后對下面的問題進(jìn)行作答．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，______．（1）求A；（2）設(shè)AD是的內(nèi)角平分線，邊b，c的長度是方程的兩根，求線段AD的長度．

【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件①，利用正弦定理可得答案；選擇條件②，利用余弦定理可得答案；選擇條件③，利用兩角和的正切展開式化簡可得答案.（2）利用韋達(dá)定理和三角形的面積公式計(jì)算可得答案.【小問1詳解】選擇條件①：因?yàn)?，由正弦定理得：，即，在中，∵，∴，即，因?yàn)锳為的內(nèi)角，所以；選擇條件②：∵，由余弦定理得：，整理得：，所以，因?yàn)锳為的內(nèi)角，所以；選擇條件③：∵，∴，即，∵，∴，因?yàn)锳，B，C為的內(nèi)角，所以，從而，所以；【小問2詳解】∵邊b，c的長度是方程的兩根，∴；∵，∴，即，∴.17.（2023春·廣東省深圳市二模）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且.（1）證明:；（2）若，，，求AM的長度.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，再利用正弦定理和余弦定理化角為邊，整理即可得證；（2）在中，由（1）結(jié)合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.【小問1詳解】由，得，則，由正弦定理和余弦定理得，化簡得；【小問2詳解】在中，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，由，得，在中，，所?18.（2023春·廣東省深圳市二模）已知a?b?c分別為三內(nèi)角A?B?C所對的邊，且.（1）求A；（2）若，且，求c的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及和差正弦公式化簡即可求解；（2）結(jié)合余弦定理與條件即可求解【小問1詳解】依題意，因?yàn)?，由正弦定理得：，由，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】由（1）以及余弦定理變形式得：即，由，解得或（舍去），所以，.19.（2023春·河南省洛陽市第一高級中學(xué)模擬）在中，角所對的邊分別為．（1）求角；（2）已知，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用余弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用正弦定理結(jié)合兩角和差公式計(jì)算即可；（2）應(yīng)用正弦定理邊角互化,再應(yīng)用面積公式結(jié)合三角恒等變換,求三角函數(shù)值域可得范圍.【小問1詳解】，，．，，，．，．，．【小問2詳解】由（1）知．由正弦定理知，．，，，．面積的取值范圍為．20.（2023春·河南省洛陽市第一高級中學(xué)模擬）如圖所示，在平面四邊形中，的面積為．AI（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理面積公式得到，再利用余弦定理求解即可.（2）作，垂足分別為，根據(jù)題意得到，，再利用求解即可.【小問1詳解】，，由余弦定理知，，．【小問2詳解】由（1）知，，所以如圖所示，作，垂足分別為，則．，，．．21.（2023春·廣東省高州市二模）已知中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，點(diǎn)、在邊上，，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用余弦定理將用邊表示后，再用余弦定理即可求得角；（2），用面積公式將的面積表示為角的函數(shù)進(jìn)行求解.【小問1詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，化簡整理得：，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，即角的大小?【小問2詳解】如圖：設(shè)，在中，由正弦定理，得，由（1）和可知，，，所以，在中，同理可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)面積取得最小值為.22.（2023春·廣東省惠州市一模）平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．（1）當(dāng)長度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由．（2）記與的面積分別為和，請求出的最大值．【答案】（1）為定值，定值為1（2）14【解析】【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；（2）由面積公式可得，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方求最值即可．【小問1詳解】法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當(dāng)長度變化時(shí)，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡得，即，所以當(dāng)長度變化時(shí)，為定值，定值為1；【小問2詳解】，令，所以，所以，即時(shí)，有最大值為14．23.（2023秋·山東省德州市第一中學(xué)模擬）如圖，四邊形ABCD中，已知，.（1）若ABC的面積為，求ABC的周長；（2）若，，，求∠BDC的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長；（2）由（1）結(jié)合，，可設(shè)，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【小問1詳解】由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長為.【小問2詳解】由（1）可知，又，，四邊形內(nèi)角和為，則.設(shè)，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.24.（2023春·廣東省梅州市二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求BD的長；（2）求BD的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）在中，求得，然后在中，由余弦定理求解即可；（2）在中，求得，然后在中，由余弦定理求出的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值.【小問1詳解】在中，．在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，，因此．【小?詳解】在中，．在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，，所以．所以?dāng)，即時(shí)，BD最長，的最大值為．25.（2023春·廣東省韶關(guān)市二模）在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn).（1）若（圖1），求的面積；（2）若（圖2），求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，從而可得，利用面積公式即可求解；（2）設(shè)，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【小問1詳解】在中，，，由余弦定理得，又，，故．【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)?，則，則，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因?yàn)?，則，即當(dāng)時(shí)，．26.（2023秋·江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，求邊上的中線長度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）邊化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解決.【小問1詳解】由得,,即.【小問2詳解】,即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．27.（2023春·江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)模擬）在中，所對的邊分別為，且，其中是三角形外接圓半徑，且不為直角.（1）若，求的大??；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求出的大小.(2)運(yùn)用正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡，再利用基本不等式求解的最小值.【小問1詳解】在中，，進(jìn)而，，，又不為直角，則，，，.【小問2詳解】由(1)知，轉(zhuǎn)化為，又，，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，的最小值為.28.（2023秋·河南省新鄉(xiāng)市長垣市第一中學(xué)模擬）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小