2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第51講拋物線（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）

《拋物線》達(dá)標(biāo)檢測(cè)[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．（2020春?平谷區(qū)期末）已知拋物線y2＝8x，那么其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】直接利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：拋物線y2＝8x，那么其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是：4．故選：B．2．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（）A．2 B．3 C．6 D．9【分析】直接利用拋物線的性質(zhì)解題即可．【解答】解：A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，故有：9+＝12?p＝6；故選：C．3．（2020?北京）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線（）A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)O B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP【分析】不妨設(shè)拋物線的方程為y2＝4x，不妨設(shè)P（1，2），可得可得四邊形QAFP為正方形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直可得答案．【解答】解：不妨設(shè)拋物線的方程為y2＝4x，則F（1，0），準(zhǔn)線為l為x＝﹣1，不妨設(shè)P（1，2），∴Q（﹣1，2），設(shè)準(zhǔn)線為l與x軸交點(diǎn)為A，則A（﹣1，0），可得四邊形QAFP為正方形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直，故可得線段FQ的垂直平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，故選：B．4．（2020?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A為拋物線C上第一象限上的點(diǎn)，B為l上一點(diǎn)，滿足，則直線AB的斜率為（）A． B． C．3 D．【分析】作出圖形，根據(jù)拋物線的定義及已知條件可得直線AB的斜率，進(jìn)而得解．【解答】解：作出圖形，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線l，垂足為D，由拋物線的定義可知，|AD|＝|AF|，設(shè)|AF|＝m，∵，∴|FB|＝2|AF|＝2m，∴，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則，∴直線AB的斜率為．故選：D．5．（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（p，0）且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，若|AF|＝1，則拋物線C的方程為（）A． B．y2＝2x C．y2＝3x D．y2＝4x【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出A的坐標(biāo)，利用|AF|＝1，求解p，然后推出拋物線方程．【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），過(guò)點(diǎn)（p，0）且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A（p，p），因?yàn)閨AF|＝1，所以，解得p＝．拋物線C的方程為．故選：A．6．（2020?瀘州四模）焦點(diǎn)為F的拋物線C：y2＝4x的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P在拋物線C上，在△EFP中，sin∠EFP＝sin∠FEP，則|EP|的值是（）A． B．4 C．2 D．1【分析】設(shè)PE的傾斜角為α，利用已知條件求出α的大小，判斷PHEF的形狀，然后求解即可．【解答】解：過(guò)P（x軸上方）作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則由拋物線的定義可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝?sin∠FEP，則△PFE中由正弦定理可知：則|PE|＝|PF|，∴|PE|＝|PH|，設(shè)PE的傾斜角為α，則cosα＝＝＝，α＝，四邊形PHEF是正方形，所以：|PE|＝2．故選：A．7．（2020?梅河口市校級(jí)模擬）已知第四象限內(nèi)拋物線y2＝16x上的一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離的，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣8） B．（1，﹣4） C． D．【分析】由拋物線的性質(zhì)，可知焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出P的橫坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為x＝﹣4，設(shè)P的橫坐標(biāo)為x0，第四象限內(nèi)拋物線y2＝16x上的一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離的，則，所以x0＝1，所以y0＝﹣4，所以M（1，﹣4）．故選：B．8．（2020?雨花區(qū)校級(jí)模擬）拋物線y＝的焦點(diǎn)到圓C：x2+y2﹣6x+8＝0上點(diǎn)的距離的最大值為（）A．6 B．2 C． D．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)為F（0，4），圓的圓心坐標(biāo)與半徑，然后求出F到圓C上點(diǎn)的距離的最大值．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為F（0，4），圓x2+y2﹣6x+8＝0的圓心為C（3，0），半徑r＝1，F(xiàn)到圓C上點(diǎn)的距離的最大值為．故選：A．9．（2020?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線AB與拋物線C的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)D，AA1⊥l于A1，若△AA1D的面積等于，則p＝（）A． B．2 C． D．4【分析】分別求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出|BF|＝t，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，過(guò)B作BN⊥l于N，運(yùn)用拋物線的定義和三角形相似的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣，設(shè)|BF|＝t，由，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，過(guò)B作BN⊥l于N，可得|BN|＝|BF|＝t，又|AA1|＝|AF|＝3t，在△AA1D中，＝，即為＝，可得|BD|＝2t，在△DMF中，＝，即為＝，解得p＝t，又△AA1D的面積等于，可得?3t?＝8，解得t＝，則p＝×＝2．故選：B．10．（2020?黃州區(qū)校級(jí)二模）若點(diǎn)A為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|＝5，點(diǎn)P為直線x＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為（）A．8 B． C． D．【分析】求出點(diǎn)A為（4，4），畫(huà)出圖形，利用對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意可知，p＝2，F(xiàn)（1，0），由拋物線的定義可知，，∴xA＝4，代入拋物線方程，得，不妨取點(diǎn)A為（4，4），設(shè)點(diǎn)F關(guān)于x＝﹣1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，則E（﹣3，0），∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|＝，故選：D．11．（多選）（2020春?懷化期末）已知拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0） B．若直線MN過(guò)點(diǎn)F，則x1x2＝﹣ C．若＝，則|MN|的最小值為 D．若|MF|+|NF|＝，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A，利用拋物線的性質(zhì)，通過(guò)x1x2＝﹣，判斷B；根據(jù)拋物線的通徑，判斷C；通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解判斷D即可．【解答】解：拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F（0，），所以A不正確；根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得：MN過(guò)F時(shí)，則x1x2＝﹣，所以B正確；若＝，則|MN|的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)，為2p＝，所以C正確；拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y＝，過(guò)點(diǎn)M、N、P分別作準(zhǔn)線的垂線MM′，NN′，PP′，則|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，|MM′|+|NN′|＝|MF|+|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以線段MN的中的P到x軸的距離為|PP′|﹣＝＝，所以D正確；故選：BCD．12．（多選）（2020?菏澤模擬）已知直線l過(guò)拋物線C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的長(zhǎng)是16，MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是6，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．拋物線C的方程是y2＝﹣8x B．拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝2 C．直線l的方程是x﹣y+2＝0 D．△MON的面積是【分析】設(shè)M，N的坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，可得|MN|的表達(dá)式，再由MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是6可得M，N的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而可得p的值，求出拋物線的方程，及準(zhǔn)線方程，可判斷A正確B不正確，進(jìn)而求出直線l的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出三角形MON的面積，可判斷所給命題的真假．【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由拋物線的定義可得|MN|＝﹣（x1+x2）+p＝16，又因?yàn)镸N的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是6，所以|x1+x2|＝12，所以x1+x2＝﹣12，所以p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝﹣8x，所以A正確，準(zhǔn)線方程為x＝2，所以B不正確；設(shè)直線l的方程x＝my﹣2，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得y2+8my﹣16＝0，y1+y2＝﹣8m，所以x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝﹣8m2﹣4＝﹣12，解得m＝±1，所以l的方程為：x＝±y﹣2，所以C不正確；S△MON＝|OF|?|y1﹣y2|＝＝＝8，所以D正確；故選：AD．13．（2020?海南）斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝．【分析】由題意求出直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意可得拋物線焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為y＝（x﹣1），代入y2＝4x并化簡(jiǎn)得3x2﹣10x+3＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝；x1x2＝1，∴由拋物線的定義可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．故答案為：．14．（2020?衡水模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（1，1）的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若M恰好為AB的中點(diǎn)，則|AF|+|BF|＝；直線AB的斜率為．【分析】過(guò)點(diǎn)A，B，M分別作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，通過(guò)梯形中位線定理，結(jié)合拋物線的定義，得到關(guān)系式，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法求解直線AB的斜率即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A，B，M分別作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|＝2；根據(jù)梯形中位線定理，得|AA1|+|BB1|＝4．根據(jù)拋物線的定義，得|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝4．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝2，由，，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），則直線AB的斜率為．故答案為：4；2．15．（2020?河南模擬）已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，若斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后求解準(zhǔn)線方程，求出線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求解即可．【解答】解：拋物線C：y2＝8x，可得準(zhǔn)線方程為：x＝﹣2，過(guò)點(diǎn)F（2，0）且斜率2的直線l：y＝2（x﹣2），由題意可得：，可得x2﹣6x+4＝0，直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：3，則線段AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為：3+2＝5．故答案為：5．16．（2020?東湖區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P（3，m）是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向拋物線C的準(zhǔn)線引垂線，垂足為D，若△PDF為等邊三角形，則p＝．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出P、Q坐標(biāo)，再由拋物線的定義，結(jié)合等邊三角形的定義，得到的方程，可得p的值．【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0），焦點(diǎn)為F（，0），準(zhǔn)線為l：x＝﹣，P（3，m）是拋物線上一點(diǎn)，則m2＝6p，由題意可得D（﹣，m），由于△PFD為等邊三角形，則有|PF|＝|PD|＝|FD|，即有：3+＝2p，可得p＝2．故答案為：2．17．（2020?河南模擬）已知拋物線C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩不同點(diǎn)，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，且M的橫坐標(biāo)為2，則弦長(zhǎng)|AB|＝．【分析】由橢圓方程求得F的坐標(biāo)，并求得p，設(shè)直線AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出拋物線在A，B處的切線方程，結(jié)合已知求得A，B的橫坐標(biāo)的和，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得k，進(jìn)一步求出A，B的縱坐標(biāo)的和，再由拋物線的弦長(zhǎng)公式求|AB|．【解答】解：由題意可得，F(xiàn)（0，﹣2），則p＝4，拋物線方程為x2＝﹣8y．設(shè)直線AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中，，由，得y′＝﹣．∴在點(diǎn)A處的切線方程為，化簡(jiǎn)得y＝，①同理可得在點(diǎn)B處的切線為，②聯(lián)立①②得，由M的橫坐標(biāo)為2，得x1+x2＝4．將AB的方程代入拋物線方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝4，得k＝﹣．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣6）＝10．故答案為：10．18．（2020?合肥模擬）過(guò)拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與圓（x﹣1）2+y2＝1交于C，D兩點(diǎn)，（從下至上依次為A，C，D，B）．若|BD|＝2|CA|+1，則直線l的斜率k為．【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），k＞0，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義和已知條件，解方程可得直線的斜率k．【解答】解：拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），k＞0，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，由可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，x1x2＝1（x1＜x2）①，圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為F，半徑為1，可得|BD|＝|BF|﹣1＝x2+1﹣1＝x2，|AC|＝|AF|﹣1+1＝x1+1﹣1＝x1，由題意可得x2＝2x1+1②，由①②可得x1＝，x2＝2，k＝2，故答案為：2．19．（2019?全國(guó)二模）以拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F為圓心，p為半徑作圓交y軸于A，B兩點(diǎn)，連接FA交拋物線于點(diǎn)D（D在線段FA上），延長(zhǎng)FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，則|FD|?|CD|的最大值為．【分析】由題意得到以F為圓心，P為半徑的圓的方程，再令A(yù)為y軸正半軸上的點(diǎn)，從而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線AF的方程，分別與拋物線的準(zhǔn)線方程、拋物線方程聯(lián)立求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可用p表示出|FD|?|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范圍，即可得出結(jié)果．【解答】解：由題意可得拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣，所以以F為圓心，p為半徑的圓的方程為+y2＝p2，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為圓+y2＝p2與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，不妨令A(yù)為y軸正半軸上的點(diǎn)，由x＝0得，A（0，）；所以直線AF的斜率為kAF＝＝﹣，因此直線AF的方程為y＝﹣x+，由得C（﹣，p）；由得D（，），所以|FD|＝+＝，|CD|＝＝p，|AD|＝＝p，又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，因此|FD|?|CD|＝p2≤32，當(dāng)且僅當(dāng)p＝6時(shí)，取等號(hào)．故答案為：32．20．（2019秋?滑縣期末）已知拋物線y2＝x與直線y＝k（x﹣1）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求證：OA⊥OB；（2）當(dāng)S△AOB＝時(shí)，求k的值．【分析】（1）將直線AB的方程代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；（2）求得弦長(zhǎng)AB，以及點(diǎn)O到直線AB的距離，運(yùn)用三角形的面積公式，解方程即可得到所求k的值．【解答】解：（1）證明：將直線y＝k（x﹣1）代入拋物線的方程y2＝x，消去y可得，k2x2﹣（2k2+1）x+k2＝0，判別式為（2k2+1）2﹣4k4＝4k2+1＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2（x1x2+1﹣x1﹣x2）＝k2（1+1﹣2﹣）＝﹣1，即有x1x2+y1y2＝0，則?＝0，即有OA⊥OB；（2）由（1）可得|AB|＝?＝?，點(diǎn)O到直線AB：y＝k（x﹣1）的距離為d＝，則S△AOB＝d?|AB|＝???＝＝，解得k＝±．21．（2020春?武昌區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（0，1），B（1，2），C是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求△ABC周長(zhǎng)的最小值；（2）若C位于直線AB右下方，求△ABC面積的最大值．【分析】（1）由拋物線的方程可得A為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)可得C到A的距離等于到準(zhǔn)線的距離，過(guò)C作準(zhǔn)線的垂線，要使三角形ABC的周長(zhǎng)最小，則過(guò)B作準(zhǔn)線的垂線，則最小周長(zhǎng)為AB與B到準(zhǔn)線之和；（2）要使三角形ABC的面積最大，則C在平行與直線AB且與拋物線相切的直線上，設(shè)切線方程，與拋物線聯(lián)立由判別式為0，求出過(guò)C的切線方程，兩條平行線的距離為C到直線AB的距離，再由面積公式可得面積的最大值．【解答】解：（1）由拋物線的方程x2＝4y可得焦點(diǎn)F坐標(biāo)（0，1），與A重合，準(zhǔn)線方程為：y＝﹣1所以△ABC的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC，過(guò)C作CM垂直于準(zhǔn)線于D，則AC＝CD，所以周長(zhǎng)為：AB+BC+CD≥AB+BD，當(dāng)B，C，D在一條直線上時(shí)，周長(zhǎng)最小，過(guò)B作準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M，交準(zhǔn)線于D，這時(shí)M與C重合，而AB＝＝，BD＝2+1＝3所以周長(zhǎng)的最小值為AB+BD＝3+，（2）直線AB所在的直線方程為：y＝x+1，即y＝x+1，設(shè)過(guò)C與直線AB平行，且與拋物線相切時(shí)C到直線AB的距離最大，設(shè)過(guò)C的切線方程為：y＝x+b，由題意b＜1，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：x2﹣4x﹣4b＝0，則△＝16+16b＝0，解得b＝﹣1，所以過(guò)C的切線方程為：y＝x﹣1，所以?xún)蓷l平行線間的距離d＝＝，即C到直線AB的距離為，所以S△ABC＝|AB|?d＝＝1，所以三角形ABC的最大面積為1．22．（2020?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線C：x2＝4y，過(guò)點(diǎn)D（0，2）的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩切線相交于點(diǎn)P．（1）記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，證明k1，k2為定值；（2）記△PAB的面積為S△PAB，求S△PAB的最小值．【分析】（1）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，．利用拋物線方程求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化證明即可．（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），求出切線PA的方程，切線PB的方程，求出|AB|，點(diǎn)P到直線AB的距表示三角形的面積，求解S△PAB的最小值．【解答】（1）證明：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在曲線x2＝4y上，故設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，．因?yàn)?，所以，則，．設(shè)直線l的斜率為k，則其方程為y＝kx+2，由得x2﹣4kx﹣8＝0，△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，所以，所以k1k2為定值．（2）解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由（1）知切線PA的方程為①切線PB的方程為②，①﹣②得；①×x2﹣﹣②×x1得．由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2k，﹣2），所以＝．因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離．所以．因?yàn)閗2+2≥2，所以當(dāng)k＝0時(shí)，S△PAB的最小值為．23．（2020?重慶模擬）已知A（1，2）為拋物線y2＝2px（p＞0）上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)為拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)．（1）求直線EF的斜率；（2）設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)M（m，0）并交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，且＝（λ＞0），直線x＝﹣m與x軸交于點(diǎn)N，試探究與﹣的夾角是否為定值，若是則求出定值，若不是，說(shuō)明理由．【分析】（1）由A在拋物線上，可得p的值，求出拋物線的方程，設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，可得直線AE，AF的斜率，由題意可得E，F(xiàn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由點(diǎn)差法可得EF的斜率；（2）由題意設(shè)直線l的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出向量，，再由題意可得λ的值，可求得，所以與的夾角為．【解答】解：（1）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）為拋物線y2＝2px（p＞0）上的一點(diǎn)，所以y2＝4x，同時(shí)，有，，，，因?yàn)橹本€AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，即即y1+y2＝﹣4，故；（2）設(shè)直線l的方程為l：x＝ty+m，P（x3，y3），Q（x4，y4），N（﹣m，0），代入y2＝4x得y2﹣4ty﹣4m＝0，所以y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4m，因?yàn)椋?，所以，由題可知，由題可知，＝（x3+m，y3）﹣λ（x4+m，y4）＝（x3+m﹣λ（x4+m），y3﹣λy4）＝（+m﹣λ（+m），y3﹣λy4），又因?yàn)?m﹣λ（+m）＝+m+（+m）＝+m++＝+m﹣m＝＝0，所以，又所以，所以即與的夾角為．[B組]—強(qiáng)基必備1．（2020?長(zhǎng)沙模擬）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交y軸的正半軸于點(diǎn)B，且A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，另有直線l′∥l，且l′與拋物線C相切于點(diǎn)D，則直線AD經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，0） D．（2，0）【分析】設(shè)A（m，m2），B（0，n），根據(jù)A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，可得n＝m2+2，再根據(jù)直線的斜率公式可得直線與直線和平行，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a＝﹣，求出直線AD的方程，即可求出直線AD經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)A（m，m2），B（0，n），∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（0，1）又A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直線l的斜率k＝＝﹣∵直線l′∥l，∴直線l′的斜率為k，設(shè)點(diǎn)D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直線AD的斜率為＝＝＝，∴直線AD的方程為y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直線AD經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），故選：A．2．（2019秋?金安區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰為拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)F，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若以線段BM為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，則|AB|＝．【分析】求出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線求出拋物線方程，設(shè)出A（x1，y1），B（x2，y2）和AB的方程，結(jié)合圓的性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：如圖所示，由橢圓的方程可得a＝2，b＝，∴c＝═1．可得上焦點(diǎn)F（0，1）．又恰為拋物線x2＝2py的焦點(diǎn)F，∴＝1，解得p＝2．∴拋物線方程為：x2＝4y．拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，可得M（0，﹣1）．由題意可知：直線AB的斜率存在且不為0．設(shè)直線AB的方程為：y＝kx+1，（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）．將y＝kx+1代入x2＝4y得，化為x2﹣4kx﹣4＝0．△＝16k2+16k＞0．得k＞0則x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，若以線段BM為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，∵AB⊥AM，∴k?＝﹣1，即k?＝﹣1得x1＝，y1＝kx1+1＝．即A（，．），A在拋物線x2＝4y．∴（）2＝4?．，化為k4+k2﹣1＝0，解得k2＝，∴|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝k（