2024屆全國各省市高三上期數(shù)學(xué)聯(lián)考試題重組專題題型三-立體幾何(學(xué)生版)

高考資源網(wǎng)〔〕，您身邊的高考專家PAGE歡迎廣闊教師踴躍來稿，稿酬豐厚。PAGE9高考資源網(wǎng)〔〕，您身邊的高考專家歡迎廣闊教師踴躍來稿，稿酬豐厚。2024屆全國各省市高三上學(xué)期數(shù)學(xué)聯(lián)考試題重組專題題型三立體幾何〔學(xué)生版〕【備考要點(diǎn)】立體幾何在數(shù)學(xué)高考中占有重要的地位，近幾年高考對(duì)立體幾何考察的重點(diǎn)與難點(diǎn)穩(wěn)定〔也是考生的根本得分點(diǎn)〕：高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行的判斷與性質(zhì)、垂直的判斷與性質(zhì)作為考察的重點(diǎn)。新課標(biāo)教材對(duì)立體幾何要求雖有所降低，但考察的重點(diǎn)一直沒有變，常常考察線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系和空間角與距離的計(jì)算。〔1〕從考題的數(shù)量看，一般為2-3題，其中一大一小的設(shè)置更符合課時(shí)比例；從所占分值來看，同一省份不同年份差異不大，不同省份略有差異。〔2〕文理科差異較大，文科以三視圖、面積與體積、平行與垂直關(guān)系的判斷與證明為主要的考查對(duì)象，三視圖幾乎每年必考〔其實(shí)，三視圖是考察學(xué)生空間想象能力的良好素材，大局部省份的情況是文、理同題，位置調(diào)整難度〕?！?〕理科在文科的根底上重點(diǎn)考查空間角的計(jì)算，由此可見“空間角的計(jì)算〞受到的關(guān)注程度最高，與考綱要求吻合。解答題的命制特點(diǎn)是“一題兩法〞，各地標(biāo)準(zhǔn)答案都給出了向量解法?！?〕在“空間角〞的考查中，主要考查的是“二面角〞，高于教材要求，但對(duì)線面角的考查也有加大的趨勢(shì)。預(yù)測(cè)2024年高考的可能情況是：(1)以選擇題或者填空題的形式考查空間幾何體的三視圖以及外表積和體積的計(jì)算．對(duì)空間幾何體的三視圖的考查有難度加大的趨勢(shì)，通過這個(gè)試題考查考生的空間想象能力；空間幾何體的外表積和體積計(jì)算以三視圖為根本載體，交匯考查三視圖的知識(shí)和面積、體積計(jì)算，試題難度中等．(2)以解答題的方式考查空間線面位置關(guān)系的證明，在解答題中的一局部考查使用空間向量方法求解空間的角和距離，以求解空間角為主，特別是二面角．【2024高考題型】立體幾何大題一般出現(xiàn)在試卷中第18、19題，難度中等，少數(shù)省份出現(xiàn)在20、21或17題位置，難度中等偏上或偏下。小題通常為容易題、中等題，中上難度的題也時(shí)有出現(xiàn)。占分比重全國絕大多數(shù)省份是兩小題一大題21-22分，占全卷的14%左右?？疾橹攸c(diǎn)直線與平面的位置關(guān)系判定、證明及角度與距離的計(jì)算。直線平面的平行、垂直作為知識(shí)體系的軸心，在考查中地位突出，貫穿整個(gè)大題。角度的計(jì)算：線線角、線面角、二面角是必考內(nèi)容，線面角、二面角的出現(xiàn)頻率更高些。距離以點(diǎn)面距、異面直線的距離為主，前者的出現(xiàn)頻率更高。另外還應(yīng)注意非標(biāo)準(zhǔn)圖形的識(shí)別、三視圖的運(yùn)用、圖形的翻折、求體積時(shí)的割補(bǔ)思想等，以及把運(yùn)動(dòng)的思想引進(jìn)立體幾何。最近幾年綜合分析全國及各省高考真題，立體幾何開放題是高考命題的一個(gè)重要方向，開放題更能全面的考查學(xué)生綜合分析問題的能力?？疾閮?nèi)容一般有以下幾塊內(nèi)容：1、平行：包括線線平行，線面平行，面面平行；2、垂直：包括線線垂直，線面垂直，面面垂直；3、角度：包括線線〔主要是異面直線〕所成的角，線面所成的角，面面所成的角；4、求距離或體積；高考中的立體幾何題的解法通常一題多解，同一試題的解題途徑和方法中常常潛藏著極其巧妙的解法，尤其是空間向量這一工具性的作用表達(dá)的更為明顯。因此，這就要求考生通過“周密分析、明細(xì)推理、準(zhǔn)確計(jì)算、猜測(cè)探求〞等具有創(chuàng)造性思維活動(dòng)來選擇其最正確解法以節(jié)約做題時(shí)間，從而適應(yīng)最新高考要求。立體幾何解答題的設(shè)計(jì)，注意了求解方法既可用向量方法處理，又可用傳統(tǒng)的幾何方法解決，并且向量方法比用傳統(tǒng)方法解決較為簡單，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用，符合數(shù)學(xué)教材改革的要求，有力地支持了新課程的改革..【2024命題方向】【原題】〔此題總分值13分〕如圖，在四棱錐中，平面平面．底面為矩形，，．〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求二面角的大小.【試題出處】北京市朝陽區(qū)2024-2024學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷【原題】(本小題總分值12分)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分別為CC1和A1B1的中點(diǎn)，且A1A=AC=2AB=2．(I)求證：C1E∥平面A【試題出處】河北省石家莊市2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)數(shù)學(xué)〔文〕試題【原題】(本小題總分值12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點(diǎn)．(I)求證：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得AE上平面PBD?假設(shè)存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【試題出處】河北省石家莊市2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)數(shù)學(xué)〔理〕試題【原題】〔本小題總分值13分〕如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：∥平面；〔Ⅱ〕求證：平面⊥平面；〔Ⅲ〕求平面與平面所成的銳二面角的大小.說明：〔Ⅲ〕小題用幾何法，解答只要言之有理均應(yīng)按步給分.【試題出處】福建省三明市普通高中2024-2024學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)合命題考試高三數(shù)學(xué)〔理科〕試題【原題】〔此題總分值12分〕如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對(duì)稱，，把△ABD沿BD折起〔如圖2〕，使二面角A―BD―C的余弦值等于。對(duì)于圖2，完成以下各小題：〔1〕求A，C兩點(diǎn)間的距離；〔2〕證明：AC平面BCD；〔3〕求直線AC與平面ABD所成角的正弦值?！驹囶}出處】山東省煙臺(tái)市2024屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)〔理〕試題【原題】〔此題總分值12分〕此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值5分，第2小題總分值7分．如圖，在直三棱柱中，，，．〔1〕求三棱柱的外表積；〔2〕求異面直線與所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕．【試題出處】2024學(xué)年嘉定區(qū)高三年級(jí)第一次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷〔理〕【原題】〔本小題總分值12分〕如圖，四邊形為矩形，平面,，平面于點(diǎn)，且點(diǎn)在上.〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求四棱錐的體積；〔Ⅲ〕設(shè)點(diǎn)在線段上，且，試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面.【試題出處】山東省青島市2024屆高三期末檢測(cè)數(shù)學(xué)(文科)【原題】〔本小題總分值12分〕四邊形滿足∥，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折成，使面面，為的中點(diǎn).〔Ⅰ〕求四棱的體積；〔Ⅱ〕證明：∥面；〔Ⅲ〕求面與面所成二面角的余弦值.【試題出處】山東省青島市2024屆高三期末檢測(cè)數(shù)學(xué)(理科)【原題】〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中點(diǎn)。〔1〕求證：平面BED平面SAB；〔2〕求平面BED與平面SBC所成二面角〔銳角〕的大小?！驹囶}出處】唐山市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題〔理〕【原題】〔本小題總分值14分〕如圖，在直三棱柱中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)〔Ⅰ〕求證：DE∥平面ABC；〔Ⅱ〕求三棱錐E-BCD的體積?！驹囶}出處】江蘇省蘇北四市〔徐、連、宿、淮〕2024屆高三元月調(diào)研測(cè)試〔數(shù)學(xué)〕【原題】〔此題總分值14分〕如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，求二面角的余弦值．〔第20題〕〔第20題〕【試題出處】浙江省寧波市2024屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)〔文〕試卷【原題】〔此題總分值14分〕四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，，．〔I〕求證：；〔II〕設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，假設(shè)二面角的正切值為，求的值．【試題出處】浙江省寧波市2024屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)〔理〕試卷【原題】〔本小題總分值14分〕如圖①邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，將△BEF剪去，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P得一三棱錐如圖②示.〔1〕求證：；〔2〕求三棱錐的體積；〔3〕求點(diǎn)E到平面PDF的距離．【試題出處】廣東省揭陽市2024—2024學(xué)年度高三學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)文試題DPABCE【原題】〔本小題總分值DPABCEPD⊥平面ABCD，EC//PD，PD=2EC假設(shè)，求DE與平面PDB所成角的正弦值?！驹囶}出處】溫州市十校聯(lián)合體2024學(xué)年第一學(xué)期高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷【原題】〔本小題總分值12分〕如圖，四棱臺(tái)ABCD–A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2。〔I〕求證：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1〔Ⅱ〕求四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的體積；〔Ⅲ〕求二面角B—C1C【試題出處】湖北省武昌區(qū)2024屆高三年級(jí)元月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)〔理〕試題【原題】(本小題總分值13分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長為的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：A1A⊥BC；〔Ⅱ〕當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時(shí)，求二面角A1—AC—B的大小余弦值；〔Ⅲ〕假設(shè)D為側(cè)棱A1A上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，BD⊥A1C1【試題出處】2024屆廈門市高三上期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)模擬試題〔理〕【原題】〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)。〔1〕求證:平面平面(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由?！驹囶}出處】黑龍江省綏化市2024-2024學(xué)年度高三年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理科試題【原題】〔本小題共14分〕如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)，．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面；〔Ⅲ〕假設(shè)平面，平面平面，求二面角的大?。瓵BCDEABCDEF圖(1)ABCDEF圖(2)ABCDEF圖(2)分別是AB，AC和BC邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如圖(2))(I)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；(III)在線段BC是否存在一點(diǎn)P，但APDE？證明你的結(jié)論.【試題出處】2024年北海市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)【原題】如以下列圖,在棱長為2的正方體中,點(diǎn)分別在棱上,滿足,且.(1)試確定、兩點(diǎn)的位置.(2)求二面角大小的余弦值.【試題出處】南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題【原題】〔本小題總分值12分〕如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P—ABCD中，，平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1?！?〕求證：平面PAB；〔2〕求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值；〔3〕在PC上是否存在一點(diǎn)E，使得DE//平面PAB？假設(shè)存在，請(qǐng)找出；假設(shè)不存在，說明理由?！驹囶}出處】安徽省宿州市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題〔理〕【原題】〔本小題總分值14分〕如圖在四棱錐中，底面是正方形，，垂足為點(diǎn)，,點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．〔I〕求證:；〔II〕求證:平面；〔III〕假設(shè),求平面與平面所成二面角的余弦值.【試題出處】昌平區(qū)2024－2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷〔理科〕【方法總結(jié)】解答題在考查中經(jīng)常涉及的知識(shí)及題型有：①證明“平行〞和“垂直〞；②求多面體的體積；③三種角的計(jì)算；④有關(guān)距離的計(jì)算；⑤多面體外表積或體積的計(jì)算.這類問題的解法主要是化歸思想，如兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角，面面距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離等.一題兩法，支持新課程改革.1.平行、垂直位置關(guān)系的論證證明空間線面平行或垂直需要注意以下幾點(diǎn)：(1)理清平行、垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)由想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.(3)立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一.(4)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮，應(yīng)用時(shí)需要先認(rèn)清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計(jì)算證明線線垂直也是常用方法之一.2.空間角的計(jì)算主要步驟：一作、二證、三算；假設(shè)用向量，那就是一證、二算.(1)兩條異面直線所成的角①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)〞，作另一條直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段引平行線.②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.③向量法：直接利用向量的數(shù)量積公式cos=〔注意向量的方向〕.(2)直線和平面所成的角①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線、找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算.②用公式計(jì)算sin=(PM直線l，M∈面,是l與所成的角，是面的法向量〕.(3)二面角①平面角的作法：求兩平面所成的二面角，就是要求出它的平面角，作二面角的平面角關(guān)鍵在于尋求棱上一點(diǎn)出發(fā)的兩條垂線〔分別位于兩個(gè)平面內(nèi)〕．但如果兩垂線不同時(shí)出現(xiàn)于特殊位置上，就需要構(gòu)思出二面角的平面角．構(gòu)思的一般方法是：〔1〕利用三垂線定理或逆定理，過一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)分別作另一個(gè)平面的垂線、棱的垂線