高二數學人教A版選修1-2學案3-2-2復數代數形式的乘除運算

3.2.2復數代數形式的乘除運算自主預習·探新知情景引入根據復數的幾何意義和平面向量在坐標表示下的加(減)法運算，我們很容易規(guī)定了復數的加(減)法規(guī)則，因為實數是復數的一部分，且實數有其乘法運算，因此我們有理由且應當規(guī)定復數集內的乘法運算，使實數的乘法作為復數乘法的一種特殊情況，考慮到復數的代數標準形式及i2＝－1，并聯系多項式的乘法法則，就可建立復數的代數乘法規(guī)則．新知導學1．復數代數形式的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__．2．復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝__z2·z1__結合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__3．共軛復數已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則(1)z1，z2互為共軛復數的充要條件是__a＝c且b＝－d__．(2)z1，z2互為共軛虛數的充要條件是__a＝c且b＝－d≠0__．4．復數代數形式的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝__eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i__(c＋di≠0)．預習自測1．(2019·全國Ⅱ卷理，2)設z＝－3＋2i，則在復平面內eq\x\to(z)對應的點位于(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]eq\x\to(z)＝－3－2i，故eq\x\to(z)對應的點(－3，－2)位于第三象限．故選C．2．(2019·全國Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，則z＝(D)A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i[解析]由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i1－i,2)＝i(1－i)＝1＋i.故選D．3．(2019·北京卷理，1)已知復數z＝2＋i，則z·eq\x\to(z)＝(D)A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5[解析]解法一：∵z＝2＋i，∴eq\x\to(z)＝2－i，∴z·eq\x\to(z)＝(2＋i)(2－i)＝5.故選D．解法二：∵z＝2＋i，∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝5.故選D．4．(2020·天津，10)i是虛數單位，復數eq\f(8－i,2＋i)＝__3－2i__．[解析]eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i．5．計算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)．[解析](1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－2－i＋2i－1,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋ii,－i·i)＝－1－3i．(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(1＋4i－4＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(1＋2i,5)．(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(1－i－1－i,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1．(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(1－\r(3)i,3＋2\r(3)i－1)＝eq\f(1－\r(3)i,2＋2\r(3)i)＝eq\f(1－\r(3)i2,21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(1－2\r(3)i－3,8)＝－eq\f(1＋\r(3)i,4)．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?復數的乘法與乘方典例1計算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；(2)(1－i)2(1＋i)2＋4．[思路分析]應用復數的乘法法則及運算律求解．[解析](1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i＝(4－i2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i＝5＋10i－5i＝5＋5i．(2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8．『規(guī)律方法』1.復數的乘法運算可將i看作字母按多項式乘法的運算法則進行，最后將i2＝－1代入合并“同類項”即可．2．復數的乘法運算可以推廣，因此，復數可進行乘方運算，常見的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a、b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即實數的乘方公式對復數也成立．┃┃跟蹤練習1__■(1)(2018·全國Ⅱ卷文，2)i(2＋3i)＝(D)A．3－2i B．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i(2)(2018·全國Ⅲ卷理，2)(1＋i)(2－i)＝(D)A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i[解析](1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i．故選D．(2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i．故選D．命題方向?復數的除法典例2計算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)eq\f(1＋i3－1－i3,1＋i2－1－i2)；(3)(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)4＋eq\f(1－\r(3)i2,2＋2i2)．[思路分析](1)先寫成分式的形式，再分母實數化．(2)分子、分母按復數的乘法先分別展開化簡，或分解因式，再做除法．(3)先展開，后化簡．[解析](1)(1＋2i)÷(3－4i)＝eq\f(1＋2i,3－4i)＝eq\f(1＋2i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(－5＋10i,25)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i．(2)解法一：原式＝eq\f(1＋3i1＋i＋i3－[1－3i1－i－i3],2i＋2i)＝eq\f(4i,4i)＝1．解法二：原式＝eq\f([1＋i－1－i][1＋i2＋1＋i1－i＋1－i2],[1＋i＋1－i][1＋i－1－i])＝1．(3)原式＝[(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2]2＋eq\f(－2－2\r(3)i,41＋i2)＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2－eq\f(1＋\r(3)i,4i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＋eq\f(1,4)i－eq\f(\r(3),4)＝(－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),4))＋(eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2))i．『規(guī)律方法』除數是虛數的復數的除法是將分子、分母同乘以分母的共軛復數，再按復數的乘法進行運算，最后化簡．┃┃跟蹤練習2__■(1)(2020·新高考全國卷Ⅰ，2)eq\f(2－i,1＋2i)＝(D)A．1 B．－1C．i D．－i(2)(2020·全國卷Ⅲ理，2)復數eq\f(1,1－3i)的虛部是(D)A．－eq\f(3,10) B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10) D．eq\f(3,10)[解析](1)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故選D．(2)∵z＝eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)i，∴復數eq\f(1,1－3i)的虛部為eq\f(3,10)．命題方向?共軛復數典例3復數eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復數是(C)A．－eq\f(3,5)i B．eq\f(3,5)iC．－i D．i[思路分析]通過運算把復數寫成a＋bi(a、b∈R的形式)，則其共軛復數為a－bi．[解析]依題意：eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2i－1,1－2i·i)＝－eq\f(1,i)＝i，∴其共軛復數為－i，選C．『規(guī)律方法』1.由比較復雜的復數運算給出的復數，求其共軛復數，可先按復數的四則運算法則進行運算，將復數寫成代數形式，再寫出其共軛復數．2．注意共軛復數的簡單性質的運用．┃┃跟蹤練習3__■(2020·全國卷Ⅲ文，2)若eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，則z＝(D)A．1－i B．1＋iC．－i D．i[解析]∵eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴z＝i，故選D．易混易錯警示計算要細致準確典例4復數eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)等于(A)A．i B．－iC．2eq\r(2)－i D．－2eq\r(2)－i[錯解]Deq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1＋\r(2)i,－1)＝－2eq\r(2)－i．[辨析]錯解中有兩處錯的地方：因為i3＝－i，所以eq\r(2)－i3＝eq\r(2)＋i，(1－eq\r(2)i)(1＋eq\r(2)i)＝1－(eq\r(2)i)2＝1－2·i2＝1＋2＝3．[正解]eq\f(\r(2)－i3,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i,1－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋i1＋\r(2)i,1－\r(2)i1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋2i＋i＋\r(2)i2,1－\r(2)i2)＝eq\f(3i,1＋2)＝i.故選A．學科核心素養(yǎng)復數的有關性質in(n∈N*)的性質計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．這就是說，如果n∈N*，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n