2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第12講 冪的運算及冪函數(shù)與第13講 分段函數(shù)-原卷版 55

第12講冪的運算及冪函數(shù)通關一、五種常見冪函數(shù)的圖像與性質知識通關通關二、冪函數(shù)的性質1.幕函數(shù)在上都有定義；2.幕函數(shù)的圖像過定點；3.當時,幕函數(shù)的圖像都過點和,且在上單調遞增；4.當時,幕函數(shù)的圖像都過點,且在上單調遞減；5.幕函數(shù)在第四象限無圖像.結論一、冪函數(shù)的圖像特征1.當時,函數(shù)圖像與坐標軸沒有交點,類似于的圖像,且在第一象限內,逆時針方向指數(shù)在增大;2.當時,函數(shù)圖像傾向軸,類似于的圖像;3.當時,函數(shù)圖像傾向軸,類似于的圖像，而且逆時針方向指數(shù)在增大，再結合函數(shù)的奇偶性可得一般冪函數(shù)的圖像及性質.【例1】以下命題正確的是（）=1,2,3,4\*GB3,=1\*GB3①冪函數(shù)的圖像都經過；=2\*GB3②冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限；=3\*GB3③當時，函數(shù)的圖像是兩條射線；=4\*GB3④若（）是奇函數(shù)，則在定義域內為減函數(shù). A.=1\*GB3①=2\*GB3② B.=2\*GB3②=4\*GB3④ C.=2\*GB3②=3\*GB3③ D.=1\*GB3①=3\*GB3③【變式】如圖所示的曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖像,已知,相應曲線對應的值依次為（）. A. B. C. D.結論二、冪函數(shù)比較大小當冪的底數(shù)相同，指數(shù)不同時，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較；當冪的底數(shù)不同，指數(shù)相同時，可以利用冪函數(shù)的單調性比較；當冪的底數(shù)和指數(shù)都不相同時，一種方法是作商，通過商與1的大小關系確定兩個冪值的大小；另一種方法是運用媒介法，即找到一個中間值，通過比較兩個冪值與中間值的大小，確定兩個冪值的大?。槐容^多個冪值的大小，一般也采用媒介法，即先判斷這組數(shù)中每個冪值與0，1,等數(shù)的大小關系，據此將它們分成若干組，然后將同一組內的各數(shù)再利用相關方法進行比較，最終確定各數(shù)之間的大小關系.【例2】已知且，則下列各式中一定成立的是（） A. B. C. D.【變式】當，下列不等式正確的是（） A. B. C. D.結論三、冪函數(shù)單調性若在上是增函數(shù)；若在上是減函數(shù).【例3】冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（） A.2或1 B.1 C.2 D.2或1【變式】已知冪函數(shù)在上單調遞增.(1)求實數(shù)m的值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.第13講分段函數(shù)通關一、分段函數(shù)的含義所謂“分段函數(shù)”習慣上指在定義域的不同部分，有不同對應法則的函數(shù).對它應有以下兩點基本認識：（1）分段函數(shù)是一個函教，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.通關二、分段函數(shù)求值與不等式1.根據自變量所在的區(qū)間代入相應段的函數(shù)解析式，若涉及復合函數(shù)值，從內到外逐步求值，注意相應自變量所在的區(qū)間；2.已知函數(shù)值求自變量(或參數(shù))的值，通過分類討論化為若干個方程組求解，要充分利用分段函數(shù)在各段上的值域，減少運算量；3.與分段函數(shù)有關的不等式問題，充分考慮分段函數(shù)的單調性，通過分類討化為不等式組求解；4.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量或參數(shù)的范圍問題，一般畫出分段函數(shù)的像，觀察在相應區(qū)間上函數(shù)圖像與相應直線交點的橫坐標的范圍，列出函數(shù)滿足的不等式，從而解出參數(shù)范圍.結論一、分段函數(shù)求值設分段函數(shù)已知，求：（1）判斷的范圍，即看，還是；（2）代入相應解析式求解.【例1】若函數(shù)，則（） A. B. C. D.【變式】已知，則（） A. B. C. D.結論二、分段函數(shù)求根設分段函數(shù)，已知，求：（1）當時，由，求出；驗證是否屬于若是則留下，反之則舍去；（2）當時，由，求出，驗證是否屬于，若是則留下，反之則舍去；（3）取以上兩種情況并集，寫出結論.【例2】已知，且，則=（） A. B.2 C.3 D.【變式】已知實數(shù)，函數(shù)，若，則的值為_________.結論三、解分段函數(shù)不等式或.【例3】設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（） A. B. C. D.【變式】已知則不等式的解集為（） A. B. C. D.結論四、分段函數(shù)的單調性1.分段函數(shù)為單調遞增函數(shù)2.分段函數(shù)為單調遞減函數(shù)【例4】已知是R上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（） A. B. C. D.【變式】已知函數(shù)，當時，，則的取值范圍是（）結論五、分段函數(shù)的奇偶性1.判斷函數(shù)的奇偶性可以利用特殊值，利用求參數(shù)的值，一般令a=1或a=2.2.若分段圖像均易作出，可以利用圖像法.對于某些不易作圖的分段函數(shù)，在判斷奇偶