新教材2023版高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊(cè)

1．3.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題?.批注?利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．(2)用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是：基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問(wèn)題要先求定義域．()(2)將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為3和5.()(3)做一個(gè)容積為256m3的方底無(wú)蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為4m．()2．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(A．8B．203C．－1D．－3．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－13x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為(A．13萬(wàn)件B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件D．7萬(wàn)件4．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若所制作容器的底面一邊比高長(zhǎng)出0.5m，則當(dāng)高為________m時(shí)，容器的容積最大．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性利潤(rùn)最大問(wèn)題例1某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系y＝ax-3＋10(x－6)2式，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．方法歸納利潤(rùn)最大問(wèn)題是生活中常見的一類問(wèn)題，一般根據(jù)“利潤(rùn)＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．解此類問(wèn)題需注意兩點(diǎn)：①價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本；②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利．鞏固訓(xùn)練1某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．設(shè)該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，且Q與p有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元用料、費(fèi)用最少問(wèn)題例2為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用15年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與15(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．方法歸納用料、費(fèi)用最少問(wèn)題是日常生活中常見的問(wèn)題之一．解決這類問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象，然后正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答．鞏固訓(xùn)練2一艘船從A地到B地，其燃料費(fèi)w與船速v的關(guān)系為w(v)＝1000v2v-8(18≤v≤30)，要使燃料費(fèi)最低，則A．18B．20C．25D．30幾何中的最值問(wèn)題例3將一塊2m×6m的矩形鋼板按如圖所示的方式劃線，要求①至⑦全為矩形，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個(gè)以⑦為底，⑤⑥為蓋的水箱，設(shè)水箱的高為xm，容積為ym3.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，水箱的容積最大？方法歸納解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的面積、體積公式，能夠依據(jù)題意確定出自變量的取值范圍，建立準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法加以解決．鞏固訓(xùn)練3用長(zhǎng)為18cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？1．3.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)函數(shù)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時(shí)，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是－1.答案：C3．解析：由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．當(dāng)0＜x＜9時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0.故當(dāng)x＝9時(shí)，y取得極大值，也是最大值．答案：C4．解析：由題意列出函數(shù)表達(dá)式，再用導(dǎo)數(shù)求最值，設(shè)高為xm，則體積V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1或x＝－415(舍去)答案：1題型探究·課堂解透例1解析：(1)因?yàn)楫?dāng)x＝5時(shí)，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y＝2x-3＋10(x－所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)＝(x－3)[2x-3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．鞏固訓(xùn)練1解析：由題意知：毛利潤(rùn)等于銷售額減去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝-3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時(shí)，L(30)＝23000.因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)＞0，右側(cè)L′(p)＜0.所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知，答案：D例2解析：(1)隔熱層厚度xcm，依題意，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝k3x+5，由C(0)＝8，得k＝40因此C(x)＝403x+5，而建造費(fèi)用為C1(x)＝8x則隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和為15C(x)＋C1(x)＝15·403x+5＋8x＝6003x+5＋8所以f(x)＝6003x+5＋8x(0≤x≤10)(2)由(1)知，f′(x)＝8－18003x+5令f′(x)＝0，即18003x+52＝8，而0≤x≤10，解得x＝當(dāng)0<x<103時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)103<x<10時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(0，103)上遞減，在(10則當(dāng)x＝103時(shí)，f(x)取最小值f103＝60010+5＋8×10所以當(dāng)隔熱層修建103cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為200鞏固訓(xùn)練2解析：w′(v)＝2000vv-8當(dāng)18<v<30時(shí)，w′(v)>0，所以w(v)在[18，30]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)v＝18時(shí)，w(v)取得最小值．答案：A例3解析：(1)由水箱的高為xm，得水箱底面的寬為(2－2x)m，長(zhǎng)為6-2x2＝(3故水箱的容積y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，令y′＝0，解得x＝4+73(舍去)或x＝所以y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在(0，4-73)內(nèi)單調(diào)遞增，在(4所以當(dāng)x＝4-鞏固訓(xùn)練3解析：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x(m)，則長(zhǎng)為2x(m)，高為：h＝18-12x4＝4.5－3x(m)(0<x<故長(zhǎng)方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0<x<32)從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝