（普通班）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七篇 不等式 第4節(jié) 基本不等式基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第4節(jié)基本不等式【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)利用基本不等式比較大小、證明2,4,8,10利用基本不等式求最值1,3,5,7,13,14基本不等式的實(shí)際應(yīng)用9,15基本不等式的綜合應(yīng)用6,11,12基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.(2015遵義校級(jí)期末)下列各函數(shù)中,最小值為2的是(D)(A)y=x+QUOTE1x(B)y=sinx+1sinx,x∈(0,2(C)y=x(D)y=x+4x解析:當(dāng)x=-1時(shí),y=x+QUOTE1x=-2,排除A;當(dāng)sinx=-1時(shí),y=sinx+1sinx=-2,排除B;當(dāng)x=0時(shí),y=x2+2x2+2=2,排除C;對(duì)于y=x+4x-2,利用基本不等式可得y≥24-2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí),2.(2016福州一中月考)已知a,b∈(0,+∞),則下列不等式不一定成立的是(D)(A)a+b+1ab≥22 (B)(a+b)(QUOTE1a+QUOTE1b)≥4(C)a2+b2ab≥2解析:A、因?yàn)閍,b∈(0,+∞),所以a+b+1ab≥2ab+1ab≥22ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22所以A成立;B、因?yàn)閍,b∈(0,+∞),所以(a+b)(QUOTE1a+QUOTE1b)=1+QUOTEba+QUOTEab+1≥2+2ba·ab=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,所以B成立;C、因?yàn)閍,b∈(0,+∞),所以a2+b2ab所以C成立;D、因?yàn)閍,b∈(0,+∞),2aba+b≤當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,所以D不一定成立.3.(2015武清區(qū)模擬)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,則QUOTE1x+13y的最小值是(C)(A)2 (B)22 (C)4 (D)23解析:因?yàn)閘g2x+lg8y=lg2,所以lg(2x·8y)=lg2,所以2x+3y=2,所以x+3y=1.因?yàn)閤>0,y>0,所以QUOTE1x+13y=(x+3y)(QUOTE1x+13y)=2+3yx+x3y當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=QUOTE12時(shí)取等號(hào).4.(2015高考陜西卷)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=f(a+b2),r=QUOTE12(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由題意得p=lnab,q=lna+b2,r=QUOTE12(lna+lnb)=lnab因?yàn)?<a<b,所以a+b2所以lna+b2所以p=r<q.故選C.5.(2015高考福建卷)若直線QUOTExa+QUOTEyb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于(C)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:法一因?yàn)橹本€QUOTExa+QUOTEyb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以QUOTE1a+QUOTE1b=1,所以1=QUOTE1a+QUOTE1b≥21a·1b=2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),所以ab≥2.又a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),所以a+b≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),故選C.法二因?yàn)橹本€QUOTExa+QUOTEyb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以QUOTE1a+QUOTE1b=1,所以a+b=(a+b)(QUOTE1a+QUOTE1b)=2+QUOTEab+QUOTEba≥2+2ab·ba=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),故選C.6.(2016銀川一中高三第三次月考)已知x,y為正實(shí)數(shù),且x,a1,a2,y成等差數(shù)列,x,b1,b2,y成等比數(shù)列,則(a(A)R (B)(0,4](C)[4,+∞) (D)(-∞,0]∪[4,+∞)解析:由已知a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=QUOTE當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).故選C.7.(2016萬(wàn)州模擬)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,則16x+4y的最小值為.

解析:因?yàn)閍⊥b,a=(x-1,2),b=(4,y),所以4(x-1)+2y=0,即4x+2y=4,因?yàn)?6x+4y=24x+22y≥224x+2當(dāng)且僅當(dāng)24x=22y,即4x=2y=2時(shí)取等號(hào).答案:88.若a>b>1,A=lg(a+b2),B=lga·lgb.C=QUOTE12解析:因?yàn)閍>b>1,所以lga>0,lgb>0,則QUOTE12(lga+lgb)>lga·lg即C>B,lg(a+b2)>lgab=QUOTE12lg(ab)=QUOTE12(lga+lgb),所以A>C,綜上,A>C>B.答案:A>C>B9.某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值是萬(wàn)元.

解析:每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為QUOTEyx=18-(x+25x),而x>0,故QUOTEyx≤18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬(wàn)元.答案:5810.(2016開(kāi)封模擬)已知a,b都是正實(shí)數(shù),且a+b=1.(1)求證:QUOTE1a+QUOTE1b≥4;(2)求(a+QUOTE1a)2+(b+QUOTE1b)2的最小值.(1)證明:QUOTE1a+QUOTE1b=a+ba+a+bb=2+QUOTEba+QUOTEab≥2+2ba·a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE12時(shí)等號(hào)成立.(2)解:(a+QUOTE1a)2+(b+QUOTE1b)2≥(a+1a+b+1b)

22≥所以(a+QUOTE1a)2+(b+QUOTE1b)2≥252,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=QUOTE12時(shí)等號(hào)成立.故所求最小值為25211.(2015滕州校級(jí)模擬)已知不等式x2-5ax+b>0的解集為{x|x>4或x<1}.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若0<x<1,f(x)=QUOTEax+b1-x解:(1)由題意可得4+1=5解得a所以實(shí)數(shù)a,b的值分別為1,4.(2)由(1)知f(x)=QUOTE1x+41-x因?yàn)?<x<1,所以0<1-x<1,所以QUOTE1x>0,41-x所以f(x)=QUOTE1x+41-x=(QUOTE1x+41-x=5+1-xx+4x當(dāng)且僅當(dāng)1-xx=4x1-x,即x=所以f(x)的最小值為9.能力提升練(時(shí)間:15分鐘)12.(2015鄭州模擬)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足:a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得aman=16a12,則QUOTE1m+QUOTE4n的最小值為(A)(A)QUOTE32 (B)QUOTE53 (C)256 (D)不存在解析:設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q,易知q≠1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2QUOTEa6q,解得q=2,因?yàn)閍man=16a1所以a12m-1·a12n-1=16所以m+n=6(m>0,n>0),所以QUOTE1m+QUOTE4n=QUOTE16(m+n)(QUOTE1m+QUOTE4n)=QUOTE16(5+QUOTEnm+4mn)≥QUOTE16(5+2nm×4mn)=QUOTE32,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEnm=4mn,且m+n=6,即m=2,n=4時(shí)等號(hào)成立.13.(2016衡水中學(xué)高二上第二次調(diào)研)已知m,n∈R+,m≠n,x,y∈(0,+∞),則有m2x+QUOTEn2y≥(m+n)2x+y,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEmx=QUOTEny時(shí)等號(hào)成立,用此結(jié)論,可求函數(shù)f(x)=43x+解析:由題意可得f(x)=43x+31-x=43x+93(1-x)≥(2+3)2答案:2514.(2015鄭州模擬)已知a,b,c為正實(shí)數(shù).(1)若ab(a+b)=2,求a+b的最小值;(2)若abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.解:(1)因?yàn)?=ab(a+b)≤(a+b2所以a+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào),所以a+b的最小值為2.(2)因?yàn)?a+b)(b+c)=b(a+b+c)+ac≥2abc(所以(a+b)(b+c)的最小值是2.15.(2015高郵校級(jí)模擬)某人購(gòu)置一塊占地1800平方米的矩形地塊,中間建三個(gè)矩形溫室大棚,大棚周?chē)菍挒?米的小路(陰影部分所示),大棚所占地面積為S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)試用x,y表示S;(2)若要使S最大,則x,y的值各為多少?解:(1)由題可得xy=1800,b=2a,則y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)×b=(3x-8)a=(3x-8)y=1808-3x-QUOTE83y.(2)S=1808-3x-QUOTE83×1800=1808-(3x+4≤1808-23=1808-240=1568,當(dāng)且僅當(dāng)3x=4即x=40,y=45時(shí),S取得最大值.精彩5分鐘1.(2015高考福建卷)已知AB→⊥AC→,|AB→|=QUOTE1t,|AC→|=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP→=AB→|AB→(A)13 (B)15 (C)19 (D)21解題關(guān)鍵:求解本題的關(guān)鍵是由AB→⊥AC解析:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(QUOTE1t,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),PB→·PC→=(QUOTE1t-1,-4)·(-1,t-4)=17-(4t+QUOTE1t)≤17-2×2=13(當(dāng)且僅當(dāng)t=QUOTE12時(shí),取“=”),故PB→·PC→的最大值為13,故選A.2.(2015合肥二模)對(duì)?x∈[2,4],QUOTE52x2≥m(x-1)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(D)(A)(-∞,52-5] (B)(-∞,103(C)(-∞,10) (D)(-∞,10]解題關(guān)