數(shù)學(xué)-專題36 一次函數(shù)中的將軍飲馬問題（帶答案）

專題36一次函數(shù)中的將軍飲馬問題【模型展示】特點(diǎn)在直線上求一點(diǎn)，使最短將對(duì)稱到，連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)結(jié)論兩點(diǎn)之間，線段最短【模型證明】解決方案1、在直線上分別求點(diǎn)，使周長(zhǎng)最小分別將點(diǎn)關(guān)于兩直線對(duì)稱到，連接與兩直線交點(diǎn)即為兩點(diǎn)之間，線段最短2、在直線上分別求點(diǎn)，使四邊形周長(zhǎng)最小

將分別對(duì)稱到，連接與直線的交點(diǎn)即為兩點(diǎn)之間，線段最短3、在直線上求兩點(diǎn)（在左），使得，并使最短將向右平移個(gè)單位到，對(duì)稱到，連接與交點(diǎn)即為，左平移個(gè)單位即為兩點(diǎn)之間，線段最短4、在直線上求點(diǎn)，使最大將點(diǎn)對(duì)稱到，作直線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)三角形任意兩邊之差小于第三邊【題型演練】一、填空題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之和達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___

；當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是___．【答案】

【詳解】思路引領(lǐng)：（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)可以求得直線AB′的解析式，根據(jù)該解析式可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖2，求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．答案詳解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y得：y1＝2，y2，∴A（，2），B（2，）．（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，則B′（2，）．設(shè)直線AB′為y＝kx+b（k≠0），則．解得．故直線AB′的解析式為：yx．令y＝0，解得，x＝1.7．故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，設(shè)直線AB的解析式是y＝ax+c（a≠0）把A、B的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線AB的解析式是y＝﹣x，當(dāng)y＝0時(shí)，x，即P（，0）；故答案是：（1.7，0）；（，0）．2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】【分析】設(shè)D（-1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，

ED，作ES⊥x軸于S，根據(jù)題意OE就是OB+CB的最小值，由直線的解析式求得F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得ED的長(zhǎng)，從而求得OS和ES，然后根據(jù)勾股定理即可求得OE.【詳解】解：設(shè)D（-1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，ED，作ES⊥x軸于S，∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，∴四邊形ABOD和四邊形ABCO是平行四邊形，∴AD=OB，OA=BC，∴AD+OA=OB+BC，∵AE=AD，∴AE+OA=OB+BC，即OE=OB+BC，∴OB+CB的最小值為OE，由可知∠AFO=30°，F(xiàn)（-4，0），∴FD=3，∠FDG=60°，∴DG=DF=，∴DE=2DG=3，∴ES=DE=，DS=DE=，∴OS=，∴OE=，∴OB+CB的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題以及平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，證

得OE是OB+CB的最小值是本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則面積的最小值為________．【答案】2【分析】如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．首先證明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．求出MN，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝1，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．∵直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，

∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE＝＝5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN＝，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值＝×5×（﹣1）＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．二、解答題4．（2022·江蘇·靖江外國(guó)語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）直線和雙曲線交于點(diǎn)，．(1)求，，的值；(2)在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)，使的值最小，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)

【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可解出m、n的值；（2）線段和的最短距離問題，首先想到的是利用“將軍飲馬”模型進(jìn)行解決，做A點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，在之后再進(jìn)行計(jì)算，需要注意的是，本題需要進(jìn)行分情況進(jìn)行討論，最終確定最短距離下的M坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點(diǎn)，在直線上，，，，，，點(diǎn)在雙曲線上，；（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸與，則，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，；；如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸與，

則，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形變化-軸對(duì)稱、最短路線問題，注意待定系數(shù)法求直線解析式的運(yùn)用．5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y＝kx﹣6過點(diǎn)A（﹣2，﹣2），與y軸交于點(diǎn)B．(1)求一次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)在x軸上找一點(diǎn)C，連接BC，AC．當(dāng)BC＋AC最小時(shí)，

①請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；②請(qǐng)直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為______；③在坐標(biāo)軸上找點(diǎn)D，連接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為_____．【答案】(1)y=-2x-6，B（0，-6）(2)①（-，0）；②y=-4x-6；③或或（0，-2）或（0，-10）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解式，進(jìn)入求得B的坐標(biāo)；（2）①作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（0，6），連，交x軸于點(diǎn)C，此時(shí)BC+AC最小，用待定系數(shù)法求出，進(jìn)一步求出C點(diǎn)坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式；③求得△ABC的面積，然后根據(jù)三角形面積公式得CD和BD的長(zhǎng)度進(jìn)而即可求得D的坐標(biāo)．(1)解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣6過點(diǎn)A（﹣2，﹣2）∴-2=-2k-6，解得k=-2∴y=-2x-6∴B（0，-6）(2)①B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交x軸于點(diǎn)C，此時(shí)AC+BC最小，設(shè)直線的解析式為y=ax+b，則解得∴y=4x+6∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-，∴點(diǎn)C（-，0）故答案為：（-，0）②設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，則，解得

∴y=-4x-6故答案為：y=-4x-6③∵A（-2，-2），B（0，-6），C∴當(dāng)D在x軸時(shí)，，即∴CD=1∴點(diǎn)D為或當(dāng)D在y軸上時(shí)，即∴BD=4∴點(diǎn)D為（0，-2）或（0，-10）故答案為：或或（0，-2）或（0，-10）【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，軸對(duì)稱一最短路線問題，熟練掌握待定數(shù)法是解題的關(guān)鍵．6．（2020·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的．（2）若B為坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)寫出、、的坐標(biāo)，并直接寫出的長(zhǎng)度．．（3）如圖2，A，C是直線同側(cè)固定的點(diǎn)，D是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)D，使最?。ūＡ糇鲌D痕跡）

【答案】（1）畫圖見解析；（2），；（3）畫圖見解析【分析】（1）分別確定關(guān)于對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)再順次連接從而可得答案；（2）根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)的位置直接寫其坐標(biāo)與的長(zhǎng)度即可；（3）先確定關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再連接交于則從而可得答案.【詳解】解：（1）如圖1，是所求作的三角形，（2）如圖1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

（3）如圖2，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查的是畫軸對(duì)稱圖形，建立坐標(biāo)系，用根據(jù)點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的坐標(biāo)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握“利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到兩條線段和取最小值時(shí)點(diǎn)的位置”是解本題的關(guān)鍵.7．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，求PB+PD的最小值．請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)充其推理過程或理由．解：如圖2，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)B′，使得BC＝B′C，連接PB′∵∠ACB＝90°（已知）∴（垂直的定義）∴PB＝（線段垂直平分線的性質(zhì)）∴PB+PD＝PB′+PD（等式性質(zhì)）∴過點(diǎn)B′作B′D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PD取最小值，連接AB′，在△ABC和△AB′C中，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°，∴△ABC≌△AB′C（理由：）∴S△ABB′＝S△ABC+＝2S△ABC（全等三角形面積相等）∵S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48

∴（同一三角形面積相等）∴B′D＝∴【答案】AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB?B′D＝48；PB+PD的最小值為【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)PB+PD有最小值，連接AB′，根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，BP=B′P，證明△ABC≌△AB′C，根據(jù)S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．【詳解】解：如圖2，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)B′，使得BC=B′C，連接PB′，∵∠ACB=90°（已知），∴AC⊥BB'（垂直的定義），∴PB=PB'（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴PB+PD=PB′+PD（等式性質(zhì)），∴過點(diǎn)B′作B′D⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PD取最小值，連接AB′．在△ABC和△AB′C中，∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，BC=B′C，∴△ABC≌△AB′C（理由：SAS），∴SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面積相等），∵S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D，又∵S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48，∴

AB?B′D＝48（同一三角形面積相等），∴B′D=，∴PB+PD的最小值為．故答案為：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；AB?B′D＝48；PB+PD的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是軸對(duì)稱-最短路線問題的處理：作對(duì)稱點(diǎn)．8．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．

（1）求邊AB的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）AB=；（2）C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）M（﹣1，0）．【分析】（1）分別求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出AB；（2）作CE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F，證明△BCE≌△DAF≌ABO，得到BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，進(jìn)而得到OE=3，OF=3，即可求出點(diǎn)C、D坐標(biāo)；（3）連接BD，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△BMD周長(zhǎng)最小，求出直線B′D的解析式為y=﹣x﹣1，令y=0，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由一次函數(shù)y=x+1得，令x=0，得到y(tǒng)=1；令y=0，得到x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，根據(jù)勾股定理得：；

（2）如圖，作CE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F，∴∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，∴△BCE≌△DAF≌ABO，

∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）如圖，連接BD，∵BD為定值，∴作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△BMD周長(zhǎng)最小，∵B坐標(biāo)為（0，1），∴B′坐標(biāo)為（0，﹣1），設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b，把B′與D坐標(biāo)代入得：，解得：，即直線B′D的解析式為y=﹣x﹣1，令y=0，得到x=﹣1，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將軍飲馬求最短距離問題，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意添加輔助線，求出點(diǎn)C、D坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）作圖探究：如圖，點(diǎn)P是直角坐標(biāo)系xOy第三象限內(nèi)一點(diǎn)．

（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過O、P兩點(diǎn)且圓心在x軸的⊙M；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．①請(qǐng)求出⊙M的半徑；②填空：若Q是⊙M上的點(diǎn)，且∠PMQ＝90°，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．【答案】（1）見解析；（2）①；②或【詳解】思路引領(lǐng)：（1）連接OP，作OP的垂直平分線交x軸于M點(diǎn)，以MO我半徑作⊙M，即為所求；（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r，則PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可；②過M點(diǎn)作PM的垂線，交⊙M于Q1，Q2，再過Q1，Q2，作x軸的垂線，利用三角形全等求Q點(diǎn)坐標(biāo)．答案詳解：（1）⊙M如圖所示；（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r，則PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，PH2+MH2＝PM2，即22+（4﹣r）2＝r2，解得r；②如圖，過M點(diǎn)作PM的垂線，交⊙M于Q1，Q2，再過Q1，Q2，作x軸的垂線，垂足為N1，N2，利用互余關(guān)系，PM＝Q1M＝Q2M，可證Rt△PMH≌Rt△Q1MN1≌Rt△Q2MN2，

∴PH＝MN1＝MN2＝2，MH＝Q1N1＝Q2N2＝4﹣r，∴Q（，）或（，）．故答案為：（，）或（，）．10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．

（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）如圖②，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的面積為，請(qǐng)求出關(guān)于的關(guān)系式；（3）如圖③，在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出四邊形周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）；（3）存在，在軸、軸上分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為．【分析】（1）求出CF和AE的長(zhǎng)度即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用x表示出PD長(zhǎng)度，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)一步表示DH，PH的長(zhǎng)度，運(yùn)用三角形面積公式即可求解；（3）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，求出E′和F′的坐標(biāo)直接求線段長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），∴OA=3，OC=2，

根據(jù)矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折疊知DA=DF=OC=2，∴OD=OA-DA=1，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EA=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，1）；（2）如圖2∵將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3-2=1，若設(shè)OP的長(zhǎng)為x，則，PD=x-1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，PH=DH=DP×=（x-1），∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=（1＜x＜3）；（3）如圖3

作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，可求，點(diǎn)F（1，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（-1，2），點(diǎn)E（3，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（3，-1），用兩點(diǎn)法可求直線E′F′的解析式為：y=-，當(dāng)x=0時(shí)，y=，當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴N（0，），M（，0），此時(shí)，四邊形MNFE的周長(zhǎng)=E′F′+EF=；∴在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，最小為5+．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用軸對(duì)稱求最短路線和勾股定理等知識(shí)，掌握根據(jù)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題是解題的關(guān)鍵．11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、，點(diǎn)、分別是直線和軸上的動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】周長(zhǎng)的最小值為．【分析】分別作點(diǎn)關(guān)于軸、直線的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，分別交軸、直線于點(diǎn)、，由對(duì)稱性質(zhì)可得，，此時(shí)的周長(zhǎng)為．【詳解】如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于軸、直線的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，分別交軸、直線于點(diǎn)、，由對(duì)稱性質(zhì)可得，，此時(shí)的周長(zhǎng)為．

此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)．、，，．，，．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，．．周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱正確找到點(diǎn)的位置．12．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最??？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．

(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)；(3)∠QAC的正弦值為【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，,此時(shí)最小，設(shè)，則根據(jù)，列出方程，解方程求解即可求得，進(jìn)而即可求得的長(zhǎng)，即最小值；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，則當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最小，最小值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可．（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直線AD是△ABC的自相似分割線．（2）如圖，連接，，

垂直平分AB，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，,此時(shí)最小，，設(shè)，則解得：PA+PC=當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)；（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，

，由（2）知，平分點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即此時(shí)的值最小，最小值為∠QAC的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．13．（2022·重慶開州·八年級(jí)期末）如圖，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，直線與直線

交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PDCB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形PDCB的面積；(3)把直線沿y軸向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新直線與直線交于點(diǎn)E，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F使得以點(diǎn)D，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，，，【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，然后聯(lián)立直線與直線，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，連接DP，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形PDCB的周長(zhǎng)最小，求出直線的解析式為，則可求，進(jìn)而由求解即可；（3）由題意可知直線的解析式為，聯(lián)立線與直線，求出，設(shè)，分三種情況，①當(dāng)ED為菱形對(duì)角線時(shí)，利用可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；②當(dāng)EQ為菱形對(duì)角線時(shí)，利用可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；③當(dāng)EF為菱形對(duì)角線時(shí)，利用可得點(diǎn)Q坐標(biāo)．(1)解：設(shè)直線的解析式為，由直線經(jīng)過、兩點(diǎn)可得：

，解得，直線的解析式為，又直線與直線交于點(diǎn)C，，解得，當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，連接DP，根據(jù)兩點(diǎn)之間“線段最短”可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形PDCB的周長(zhǎng)最小，直線與x軸的交點(diǎn)為，又點(diǎn)D和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，可得，解得，直線的解析式為，令，則，得點(diǎn)，，又，，，，；

(3)解：由題意可得直線的解析式為，聯(lián)立線與直線，即，解得，，設(shè)，①當(dāng)ED為菱形對(duì)角線時(shí)，，即，解得，；②當(dāng)EQ為菱形對(duì)角線時(shí)，，，，解得或，，；③當(dāng)EF為菱形對(duì)角線時(shí)，，即，解得，，綜上：存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．14．（2022·貴州銅仁·八年級(jí)期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像經(jīng)過A（1，4），B（4，1

）兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若y軸存在一點(diǎn)P使PA＋PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA＋PB的最小值；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y＝-x＋5(2)；(3)存在，或【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可寫出一次函數(shù)的表達(dá)式．(2)先作出A(1，4)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-1，4)，連接A′B與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．求出直線A′B的函數(shù)表達(dá)式，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出A′B的長(zhǎng)，即PA+PB的最小值．(3)先求出△AOB的面積，再根據(jù)△MOA的面積等于△AOB的面積列方程求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x+5；（2）

作A(1，4)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-1，4)，連接A′B交y軸于P點(diǎn)，連接PA，此時(shí)PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，設(shè)A′B的表達(dá)式為y=mx+n，則，解得，∴直線A′B的表達(dá)式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=，∴P(0，)，且，∴PA+PB的最小值為；（3）由y=-x+5得C(5，0)，∴S△AOB=S△AOC-S△BOC，設(shè)M(xM，yM)，∵S△MOA=S△AOB，，

∴，∴或，∴M(，0)或（，0），∴存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積，且M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)或（，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式，求兩條線段之和的最小值(即將軍飲馬)，兩點(diǎn)之間距離公式，以及利用面積法求點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，其中OA＝2，S△ABC＝12，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．(1)求直線AB的解析式；(2)將直線AB向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l1，直線l1與y軸交于點(diǎn)E，與直線CB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作y軸的垂線l2，若點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若點(diǎn)M為直線AB上的一點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y＝2x+4(2)(3)存在以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，10）【分析】（1）設(shè)OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）將直線AB向下平移6個(gè)單位，則直線l1解析式為y＝2x?2，可得E（0，?2），垂線l2的解析式為y

＝?2，由B（0，4），C（4，0），得直線BC解析式為y＝?x＋4，從而可求得D（2，2），作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，作D關(guān)于直線y＝?2對(duì)稱點(diǎn)D，連接DD交y軸于P，交直線y＝?2于Q，此時(shí)PD＋PQ＋DQ的最小，根據(jù)D（?2，2），D（2，?6），得直線DD解析式為y＝?2x?2，從而P（0，?2），Q（0，?2），故此時(shí)PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值為4．（3）設(shè)P（p，2p＋4），N（0，q），而A（?2，0），D（2，2），①以AD、MN為對(duì)角線，此時(shí)AD中點(diǎn)即為MN中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式得N（0，?2）；②以AM、DN為對(duì)角線，同理可得N（0，10）；③以AN、DM為對(duì)角線，同理可得N（0，?2）．（1）解：（1）設(shè)OB＝OC＝m，∵OA＝2，∴AC＝m+2，A（﹣2，0），∵S△ABC＝12，∴AC?OB＝12，即m?（m+2）＝12，解得m＝4或m＝﹣6（舍去），∴OB＝OC＝4，∴B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB解析式為y＝2x+4；（2）將直線ABy＝2x+4向下平移6個(gè)單位，則直線l1解析式為y＝2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，∴E（0，﹣2），垂線l2的解析式為y＝﹣2，∵B（0，4），C（4，0），設(shè)直線BC解析式為y＝px+q，∴，

解得，∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，由得：，∴D（2，2），作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，作D關(guān)于直線y＝﹣2對(duì)稱點(diǎn)D''，連接D'D''交y軸于P，交直線y＝﹣2于Q，此時(shí)PD+PQ+DQ的最小，如圖：∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），設(shè)直線D'D''解析式為y＝sx+t，則，解得，∴直線D'D'解析式為y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此時(shí)PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，∴PD+PQ+DQ的最小值為4．（3）存在，理由如下：設(shè)P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN為對(duì)角線，如圖：

此時(shí)AD中點(diǎn)即為MN中點(diǎn)，∴，解得，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN為對(duì)角線，如圖：同理可得：，解得，∴N（0，10）；③以AN、DM為對(duì)角線，如圖：

同理可得，解得，∴N（0，﹣2），綜上所述，以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，10）．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)及應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征、線段和的最小值、平行四邊形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行四邊形對(duì)角線互相平分，列方程組解決問題．16．（2021·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合），在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，（，）或（，-）或（，-）【分析】（1）把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；

（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，由對(duì)稱可知，PB′=PB，即△PBC周長(zhǎng)的最小值為：BC+CB′；（3）設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，則N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；②當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，EF的中點(diǎn)為（，），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可．（1）解：把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，得，，解得，∴拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4；（2）解：由拋物線解析式可知，對(duì)稱軸直線l：x=，∵點(diǎn)A（4，0），∴點(diǎn)C（-1，0），如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，此時(shí)B′（3，4），設(shè)直線B′C的解析式為y=kx+b1，∴，解得：，∴直線B′C的解析式為：y=x+1，

把x=代入得：y=+1=，∴P（，），∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），∴BC=，CB′==4，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值為：；（3）解：存在，以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，-）或（，-）．理由如下：由拋物線解析式可知，E（，），∵A（4，0）、B（0，4），∴直線AB的解析式為：y=-x+4，∴F（，）．∴EF=．設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，∴N（m，-m+4），∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，解得m=（舍）或或或，∴M（，）或（，-）或（，-）．②當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，EF的中點(diǎn)為（，），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-m，m2-3m+），∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，∴M（，）．綜上，滿足以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，-

）或（，-）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形存在性問題，解題過程中注意需要分類討論．17．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC，CD的垂直平分線的交點(diǎn)，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，則_______°；（2）當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點(diǎn)F，滿足．P為直線CF上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為_______，并證明．【答案】（1）80；（2）是等邊三角形；（3）．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得，，利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得，由此求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出即可證明是等邊三角形；（3）根據(jù)利用對(duì)稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)的P點(diǎn)位置，再證明對(duì)稱點(diǎn)與AD兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明，從而可知，再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)E為線段AC，CD的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∴，∵，

∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案為：．（2）①結(jié)論：是等邊三角形．證明：∵在中，，，∴，由（1）得：，，∴是等邊三角形．②結(jié)論：．證明：如解圖1，取D點(diǎn)關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)，連接、；∴，∵，等號(hào)僅P、E、三點(diǎn)在一條直線上成立，如解圖2，P、E、三點(diǎn)在一條直線上，

由（1）得：，又∵，∴，又∵，，∴，∵點(diǎn)D、點(diǎn)是關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴（SAS）∴，∵，∴，在中，，，∴，

∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱將轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系找到P的位置，并證明對(duì)稱點(diǎn)與AD兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形．18．（2021·湖北·沙市中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求的最小值；（3）過點(diǎn)Q作交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積分別為，設(shè)，當(dāng)S最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求S的最大值．【答案】（1）x2?2x?6；（2）QO＋QA有最小值10；（3）P（3，?）時(shí)，S有最大值【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法設(shè)y＝a（x＋2）（x?6），將C（0，?6）代入，即可求得答案；（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′關(guān)于直線BC對(duì)稱，得出四邊形BOCO′是正方形，根據(jù)QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，得出答案；（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC、AC、PQ的解析式，設(shè)P（m，m2?2m?6），聯(lián)立方程組，得：，求得Q（，），再運(yùn)用三角形面積公式求得答案．【詳解】解：（1）∵拋物線交x軸于A（?2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，∴設(shè)y＝a（x＋2）（x?6），將C（0，?6）代入，

得：?12a＝?6，解得：a＝，∴y＝（x＋2）（x?6）＝x2?2x?6，∴拋物線的解析式為x2?2x?6；（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AO′，QO′，CO′，BO′，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵O、O′關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴BC垂直平分OO′，∴OO′垂直平分BC，∴四邊形BOCO′是正方形，∴O′（6，?6），在Rt△ABO′中，AO′＝，∵QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，∴QO＋QA＝QA＋QO′≥AO′＝5，即點(diǎn)Q位于直線AO′與直線BC交點(diǎn)時(shí)，QO＋QA有最小值10；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋d，∵B（6，0），C（0，?6），∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x?6，設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋n，∵A（?2，0），C（0，?6），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y＝?3x?6，∵PQ∥AC，∴直線PQ的解析式可設(shè)為y＝?3x＋b，由（1）可設(shè)P（m，m2?2m?6），代入直線PQ的解析式，得：m2?2m?6＝?3m＋b，解得：b＝m2＋m?6，∴直線PQ的解析式為y＝?3x＋m2＋m?6，聯(lián)立方程組，得：，解得：，

∴Q（，），由題意：S＝S△PAQ＋S△PBQ＝S△PAB?S△QAB，∵P，Q都在第四象限，∴P，Q的縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，∴S＝|AB|?（?m2＋2m＋6）?|AB|?（）＝，由題意，得0＜m＜6，∴m＝3時(shí)，S最大，即P（3，?）時(shí)，S有最大值．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將軍飲馬的最值問題，利用二次函數(shù)求最值等，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．19．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．（1）求直線AE的解析式；（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM＋MN＋NK的最小值；（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y＝x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）y＝x＋；（2）3，（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．【詳解】試題解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣，∴y＝（x＋1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．當(dāng)x＝4時(shí)，y＝．∴E（4，）．設(shè)直線AE的解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：，解得：k＝，b＝．∴直線AE的解析式為y＝x＋．（2）設(shè)直線CE的解析式為y＝mx﹣，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：4m﹣＝，解得：m＝．∴直線CE的解析式為y＝x﹣．過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣），則點(diǎn)F（x，x﹣），則FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2＋x．∴△EPC的面積＝×（x2＋x）×4＝﹣x2＋x．∴當(dāng)x＝2時(shí)，△EPC的面積最大．∴P（2，﹣）．如圖2所示：作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．∵K是CB的中點(diǎn)，∴k（，﹣）．∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對(duì)稱，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，﹣）．∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對(duì)稱，∴點(diǎn)G（0，0）．∴KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋GN．當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí)，KM＋MN＋NK有最小值，最小值＝GH．∴GH＝＝3.∴KM＋MN＋NK的最小值為3.（3）如圖3所示：∵y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，∴點(diǎn)F（3，﹣）．∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，∴G（2，）．∴FG＝．

∴當(dāng)FG＝FQ時(shí)，點(diǎn)Q（3，），Q′（3，）．當(dāng)GF＝GQ時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y＝對(duì)稱，∴點(diǎn)Q″（3，2）．當(dāng)QG＝QF時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，a）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知：a＋＝，解得：a＝﹣．∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，﹣）．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．20．（2021·廣東·嶺南畫派紀(jì)念中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2