對數(shù)函數(shù)和性質(zhì)-對數(shù)的公式互化-詳盡的講解

./2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1．對數(shù)的概念一般地,如果ax＝N<a>0,且a≠1>,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x＝logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)．說明：<1>實(shí)質(zhì)上,上述對數(shù)表達(dá)式,不過是指數(shù)函數(shù)y＝ax的另一種表達(dá)形式,例如：34＝81與4＝log381這兩個式子表達(dá)是同一關(guān)系,因此,有關(guān)系式ax＝N?x＝logaN,從而得對數(shù)恒等式：alogaN＝N.<2>"log"同"＋""×""eq\r<>"等符號一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對數(shù)運(yùn)算,不過對數(shù)運(yùn)算的符號寫在數(shù)的前面．<3>根據(jù)對數(shù)的定義,對數(shù)logaN<a>0,且a≠1>具有下列性質(zhì)：①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù),即N>0；②1的對數(shù)為零,即loga1＝0；③底的對數(shù)等于1,即logaa＝1.2．對數(shù)的運(yùn)算法則利用對數(shù)的運(yùn)算法則,可以把乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算,反之亦然．這種運(yùn)算的互化可簡化計算方法,加快計算速度．<1>基本公式①loga<MN>＝logaM＋logaN<a>0,a≠1,M>0,N>0>,即正數(shù)的積的對數(shù),等于同一底數(shù)的各個因數(shù)的對數(shù)的和．②logaeq\f<M,N>＝logaM－logaN<a>0,a≠1,M>0,N>0>,即兩個正數(shù)的商的對數(shù),等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)．③logaMn＝n·logaM<a>0,a≠1,M>0,n∈R>,即正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)．<2>對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)注意點(diǎn)①必須注意M>0,N>0,例如loga[<－3>×<－4>]是存在的,但是loga<－3>與loga<－4>均不存在,故不能寫成loga[<－3>×<－4>]＝loga<－3>＋loga<－4>．②防止出現(xiàn)以下錯誤：loga<M±N>＝logaM±logaN,loga<M·N>＝logaM·logaN,logaeq\f<M,N>＝eq\f<logaM,logaN>,logaMn＝<logaM>n.3．對數(shù)換底公式在實(shí)際應(yīng)用中,常碰到底數(shù)不為10的對數(shù),如何求這類對數(shù),我們有下面的對數(shù)換底公式：logbN＝eq\f<logcN,logcb><b>0,且b≠1；c>0,且c≠1；N>0>．證明設(shè)logbN＝x,則bx＝N.兩邊取以c為底的對數(shù),得xlogcb＝logcN.所以x＝eq\f<logcN,logcb>,即logbN＝eq\f<logcN,logcb>.換底公式體現(xiàn)了對數(shù)運(yùn)算中一種常用的轉(zhuǎn)化,即將復(fù)雜的或未知的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的或需要的底數(shù),這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用．由換底公式可推出下面兩個常用公式：<1>logbN＝eq\f<1,logNb>或logbN·logNb＝1<N>0,且N≠1；b>0,且b≠1>；<2>logbnNm＝eq\f<m,n>logbN<N>0；b>0,且b≠1；n≠0,m∈R>.題型一正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對于a>0且a≠1,下列說法中,正確的是<>①若M＝N,則logaM＝logaN；②若logaM＝logaN,則M＝N；③若logaM2＝logaN2,則M＝N；④若M＝N,則logaM2＝logaN2.A．①與③B．②與④C．②D．①、②、③、④解析在①中,當(dāng)M＝N≤0時,logaM與logaN均無意義,因此logaM＝logaN不成立．在②中,當(dāng)logaM＝logaN時,必有M>0,N>0,且M＝N,因此M＝N成立．在③中,當(dāng)logaM2＝logaN2時,有M≠0,N≠0,且M2＝N2,即|M|＝|N|,但未必有M＝N.例如,M＝2,N＝－2時,也有l(wèi)ogaM2＝logaN2,但M≠N.在④中,若M＝N＝0,則logaM2與logaN2均無意義,因此logaM2＝logaN2不成立．所以,只有②成立．答案C點(diǎn)評正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式,是利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件,使用運(yùn)算性質(zhì)時,應(yīng)牢記公式的形式及公式成立的條件．題型二對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用求下列各式的值：<1>2log32－log3eq\f<32,9>＋log38－5log53；<2>lg25＋eq\f<2,3>lg8＋lg5·lg20＋<lg2>2；<3>eq\f<log5\r<2>·log79,log5\f<1,3>·log7\r<3,4>>.分析利用對數(shù)的性質(zhì)求值,首先要明確解題目標(biāo)是化異為同,先使各項(xiàng)底數(shù)相同,才能使用性質(zhì),再找真數(shù)間的聯(lián)系,對于復(fù)雜的真數(shù),可以先化簡再計算．解<1>原式＝2log32－<log332－log39>＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.<2>原式＝2lg5＋2lg2＋lgeq\f<10,2>·lg<2×10>＋<lg2>2＝2lg<5×2>＋<1－lg2>·<lg2＋1>＋<lg2>2＝2＋1－<lg2>2＋<lg2>2＝3.<3>∵eq\f<log5\r<2>·log79,log5\f<1,3>·log7\r<3,4>>＝eq\f<\f<1,2>log52·2log73,－log53·\f<1,3>log74>＝－eq\f<\f<lg2,lg5>·\f<lg3,lg7>,\f<lg3,lg5>·\f<1,3>·\f<lg4,lg7>>＝－eq\f<3,2>.點(diǎn)評對數(shù)的求值方法一般有兩種：一種是將式中真數(shù)的積、商、冪、方根利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將它們化為對數(shù)的和、差、積、商,然后化簡求值；另一種方法是將式中的和、差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根,然后化簡求值．題型三對數(shù)換底公式的應(yīng)用計算：<log2125＋log425＋log85><log52＋log254＋log1258>．分析由題目可獲取以下主要信息：本題是一道對數(shù)化簡求值題,在題目中各個對數(shù)的底數(shù)都各不相同．解答本題可先通過對數(shù)換底公式統(tǒng)一底數(shù)再進(jìn)行化簡求值．解方法一原式＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<log253＋\f<log225,log24>＋\f<log25,log28>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<log52＋\f<log54,log525>＋\f<log58,log5125>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<3log25＋\f<2log25,2log22>＋\f<log25,3log22>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<log52＋\f<2log52,2log55>＋\f<3log52,3log55>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<3＋1＋\f<1,3>>>log25·<3log52>＝13log25·eq\f<log22,log25>＝13.方法二原式＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<lg125,lg2>＋\f<lg25,lg4>＋\f<lg5,lg8>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<lg2,lg5>＋\f<lg4,lg25>＋\f<lg8,lg125>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3lg5,lg2>＋\f<2lg5,2lg2>＋\f<lg5,3lg2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<lg2,lg5>＋\f<2lg2,2lg5>＋\f<3lg2,3lg5>>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<13lg5,3lg2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<3\f<lg2,lg5>>>＝13.點(diǎn)評方法一是先將括號內(nèi)換底,然后再將底統(tǒng)一；方法二是在解題方向還不清楚的情況下,一次性地統(tǒng)一為常用對數(shù)<當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為底>,然后再化簡．上述方法是不同底數(shù)對數(shù)的計算、化簡和恒等證明的常用方法．已知log<x＋3><x2＋3x>＝1,求實(shí)數(shù)x的值．錯解由對數(shù)的性質(zhì)可得x2＋3x＝x＋3.解得x＝1或x＝－3.錯因分析對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)必須大于0且底數(shù)不等于1,這點(diǎn)在解題中忽略了．正解由對數(shù)的性質(zhì)知eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2＋3x＝x＋3,,x2＋3x>0,,x＋3>0且x＋3≠1.>>解得x＝1,故實(shí)數(shù)x的值為1.對數(shù)的定義及其性質(zhì)是高考中的重要考點(diǎn)之一,主要性質(zhì)有：loga1＝0,logaa＝1,alogaN＝N<a>0,且a≠1,N>0>．1．<上海高考>方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析∵9x－6·3x－7＝0,即32x－6·3x－7＝0∴<3x－7><3x＋1>＝0∴3x＝7或3x＝－1<舍去>∴x＝log37.答案log372．<XX高考>設(shè)g<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<ex,x≤0,,lnx,x>0,>>則geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<g\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>>>＝____.解析geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝lneq\f<1,2><0,geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<ln\f<1,2>>>＝elneq\f<1,2>＝eq\f<1,2>,∴geq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<g\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>>>＝eq\f<1,2>.答案eq\f<1,2>1．對數(shù)式log<a－3><7－a>＝b,實(shí)數(shù)a的取值范圍是<>A．<－∞,7>B．<3,7>C．<3,4>∪<4,7>D．<3,＋∞>答案C解析由題意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a－3>0,,a－3≠1,,7－a>0,>>解得3<a<7且a≠4.2．設(shè)a＝log32,則log38－2log36用a表示的形式是<>A．a(chǎn)－2B．3a－<1＋a>2C．5a－2D．－a2＋3a－1答案A解析∵a＝log32,∴l(xiāng)og38－2log36＝3log32－2<log32＋1>＝3a－2<a＋1>＝a－2.3．log56·log67·log78·log89·log910的值為<>A．1B．lg5C.eq\f<1,lg5>D．1＋lg2答案C解析原式＝eq\f<lg6,lg5>·eq\f<lg7,lg6>·eq\f<lg8,lg7>·eq\f<lg9,lg8>·eq\f<lg10,lg9>＝eq\f<lg10,lg5>＝eq\f<1,lg5>.4．已知loga<a2＋1><loga2a<0,則a的取值范圍是<>A．<0,1>B.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>C.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,1>>D．<1,＋∞>答案C解析由題意,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<0<a<1,,2a>1,>>∵a>0,a≠1,loga<a2＋1><loga2a,∴0<a<1.∴eq\f<1,2><a<1.5．已知函數(shù)f<x>＝ax－1＋logax<a>0,a≠1>在[1,3]上最大值與最小值之和為a2,則a的值為<>A．4B.eq\f<1,4>C．3D.eq\f<1,3>答案D6．若方程<lgx>2＋<lg7＋lg5>lgx＋lg7·lg5＝0的兩根為α,β,則αβ等于<>A．lg7·lg5B．lg35C．35D.eq\f<1,35>答案D解析∵lgα＋lgβ＝－<lg7＋lg5>＝－lg35＝lgeq\f<1,35>∴α·β＝eq\f<1,35>.7．已知f<log2x>＝x,則feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝________.答案eq\r<2>解析令log2x＝eq\f<1,2>,則2eq\f<1,2>＝x,∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>＝2eq\f<1,2>＝eq\r<2>.8．log<eq\r<2>－1><eq\r<2>＋1>＝________.答案－1解析logeq\r<2>－1<eq\r<2>＋1>＝logeq\r<2>－1eq\f<<\r<2>＋1><\r<2>－1>,\r<2>－1>＝log<eq\r<2>－1>eq\f<1,\r<2>－1>＝－1.9．已知lg2＝0.3010,lg3＝0.4771,lgx＝－2＋0.7781,則x＝________.答案0.06解析∵lg2＝0.3010,lg3＝0.4771,而0.3010＋0.4771＝0.7781,∴l(xiāng)gx＝－2＋lg2＋lg3,即lgx＝lg10－2＋lg6.∴l(xiāng)gx＝lg<6×10－2>,即x＝6×10－2＝0.06.10．<1>已知lgx＋lgy＝2lg<x－2y>,求logeq\r<2>eq\f<x,y>的值；<2>已知log189＝a,18b＝5,試用a,b表示log365.解<1>lgx＋lgy＝2lg<x－2y>,∴xy＝<x－2y>2,即x2－5xy＋4y2＝0.即<x－y><x－4y>＝0,解得x＝y(tǒng)或x＝4y,又∵eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>0,,y>0,,x－2y>0,>>∴x>2y>0,∴x＝y(tǒng),應(yīng)舍去,取x＝4y.則logeq\r<2>eq\f<x,y>＝logeq\r<2>eq\f<4y,y>＝logeq\r<2>4＝eq\f<lg4,lg\r<2>>＝4.<2>∵18b＝5,∴l(xiāng)og185＝b,又∵log189＝a,∴l(xiāng)og365＝eq\f<log185,lg1836>＝eq\f<b,log18<18×2>>＝eq\f<b,1＋log182>＝eq\f<b,1＋log18\f<18,9>>＝eq\f<b,1＋<1－log189>>＝eq\f<b,2－a>.11．設(shè)a,b,c均為不等于1的正數(shù),且ax＝by＝cz,eq\f<1,x>＋eq\f<1,y>＋eq\f<1,z>＝0,求abc的值．解令ax＝by＝cz＝t<t>0且t≠1>,則有eq\f<1,x>＝logta,eq\f<1,y>＝logtb,eq\f<1,z>＝logtc,又eq\f<1,x>＋eq\f<1,y>＋eq\f<1,z>＝0,∴l(xiāng)ogtabc＝0,∴abc＝1.12．已知a,b,c是△ABC的三邊,且關(guān)于x的方程x2－2x＋lg<c2－b2>－2lga＋1＝0有等根,試判定△ABC的形狀．解∵關(guān)于x的方程x2－2x＋lg<c2－b2>－2lga＋1＝0有等根,∴Δ＝0,即4－4[lg<c2－b2>－2lga＋1]＝0.即lg<c2－b2>－2lga＝0,故c2－b2＝a2,∴a2＋b2＝c2,∴△ABC為直角三角形．2．2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算<一>學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解對數(shù)的概念,能進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化．2．了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義．3．理解對數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對數(shù)的計算．自學(xué)導(dǎo)引1．如果a<a>0且a≠1>的b次冪等于N,就是ab＝N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù),記作b＝logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質(zhì)有：<1>1的對數(shù)為零；<2>底的對數(shù)為1；<3>零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．3．通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),log10N可簡記為lgN,logeN簡記為lnN.4．若a>0,且a≠1,則ab＝N等價于logaN＝b.5．對數(shù)恒等式：alogaN＝N<a>0且a≠1>.一、對數(shù)式有意義的條件例1求下列各式中x的取值范圍：<1>log2<x－10>；<2>log<x－1><x＋2>；<3>log<x＋1><x－1>2.分析由真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1可得到關(guān)于x的不等式<組>,解之即可．解<1>由題意有x－10>0,∴x>10,即為所求．<2>由題意有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2>0,,x－1>0且x－1≠1,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－2,,x>1且x≠2,>>∴x>1且x≠2.<3>由題意有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<x－1>2>0,,x＋1>0且x＋1≠1,>>解得x>－1且x≠0,x≠1.點(diǎn)評在解決與對數(shù)有關(guān)的問題時,一定要注意：對數(shù)真數(shù)大于零,對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1.變式遷移1在b＝log<a－2><5－a>中,實(shí)數(shù)a的取值范圍是<>A．a(chǎn)>5或a<2B．2<a<5C．2<a<3或3<a<5D．3<a<4答案C解析由題意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<5－a>0,a－2>0,a－2≠1>>,∴2<a<5且a≠3.二、對數(shù)式與指數(shù)式的互化例2將下列對數(shù)形式化成指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式：<1>54＝625；<2>logeq\f<1,2>8＝－3；<3>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,4>>>－2＝16;<4>log101000＝3.分析利用ax＝N?x＝logaN進(jìn)行互化．解<1>∵54＝625,∴l(xiāng)og5625＝4.<2>∵logeq\f<1,2>8＝－3,∴eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>－3＝8.<3>∵eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,4>>>－2＝16,∴l(xiāng)ogeq\f<1,4>16＝－2.<4>∵log101000＝3,∴103＝1000.點(diǎn)評指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算是一對互逆運(yùn)算,在解題過程中,互相轉(zhuǎn)化是解決相關(guān)問題的重要途徑．在利用ax＝N?x＝logaN進(jìn)行互化時,要分清各字母分別在指數(shù)式和對數(shù)式中的位置．變式遷移2將下列對數(shù)式化為指數(shù)式求x值：<1>logx27＝eq\f<3,2>；<2>log2x＝－eq\f<2,3>；<3>log5<log2x>＝0;<4>x＝log27eq\f<1,9>；<5>x＝logeq\f<1,2>16.解<1>由logx27＝eq\f<3,2>,得xeq\f<3,2>＝27,∴x＝27eq\f<2,3>＝32＝9.<2>由log2x＝－eq\f<2,3>,得2－eq\f<2,3>＝x,∴x＝eq\f<1,\r<3,22>>＝eq\f<\r<3,2>,2>.<3>由log5<log2x>＝0,得log2x＝1,∴x＝21＝2.<4>由x＝log27eq\f<1,9>,得27x＝eq\f<1,9>,即33x＝3－2,∴x＝－eq\f<2,3>.<5>由x＝logeq\f<1,2>16,得eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>x＝16,即2－x＝24,∴x＝－4.三、對數(shù)恒等式的應(yīng)用例3<1>alogab·logbc·logcN的值<a,b,c∈R＋,且不等于1,N>0>；<2>4eq\f<1,2><log29－log25>．解<1>原式＝<alogab>logbc·logcN＝blogbc·logcN＝<blogbc>logcN＝clogcN＝N.<2>原式＝2<log29－log25>＝eq\f<2log29,2log25>＝eq\f<9,5>.點(diǎn)評對數(shù)恒等式alogaN＝N中要注意格式：<1>它們是同底的；<2>指數(shù)中含有對數(shù)形式；<3>其值為真數(shù)．變式遷移3計算：3log3eq\r<5>＋<eq\r<3>>log3eq\f<1,5>.解原式＝eq\r<5>＋3eq\f<1,2>log3eq\f<1,5>＝eq\r<5>＋<3log3eq\f<1,5>>eq\f<1,2>＝eq\r<5>＋eq\r<\f<1,5>>＝eq\f<6\r<5>,5>.1．一般地,如果a<a>0,a≠1>的b次冪等于N,就是ab＝N,那么b叫做以a為底N的對數(shù),記作logaN＝b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)．2．利用ab＝N?b＝logaN<其中a>0,a≠1,N>0>可以進(jìn)行指數(shù)與對數(shù)式的互化．3．對數(shù)恒等式：alogaN＝N<a>0且a≠1>．一、選擇題1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是<>A．100＝1與lg1＝0B．27－eq\f<1,3>＝eq\f<1,3>與log27eq\f<1,3>＝－eq\f<1,3>C．log3eq\f<1,2>＝9與9eq\f<1,2>＝3D．log55＝1與51＝5答案C2．指數(shù)式b6＝a<b>0,b≠1>所對應(yīng)的對數(shù)式是<>A．log6a＝aB．log6b＝aC．logab＝6D．logba＝6答案D3．若logx<eq\r<5>－2>＝－1,則x的值為<>A.eq\r<5>－2B.eq\r<5>＋2C.eq\r<5>－2或eq\r<5>＋2D．2－eq\r<5>答案B4．如果f<10x>＝x,則f<3>等于<>A．log310B．lg3C．103D．310答案B解析方法一令10x＝t,則x＝lgt,∴f<t>＝lgt,f<3>＝lg3.方法二令10x＝3,則x＝lg3,∴f<3>＝lg3.5．21＋eq\f<1,2>·log25的值等于<>A．2＋eq\r<5>B．2eq\r<5>C．2＋eq\f<\r<5>,2>D．1＋eq\f<\r<5>,2>答案B解析21＋eq\f<1,2>log25＝2×2eq\f<1,2>log25＝2×2log25eq\f<1,2>＝2×5eq\f<1,2>＝2eq\r<5>.二、填空題6．若5lgx＝25,則x的值為________．答案100解析∵5lgx＝52,∴l(xiāng)gx＝2,∴x＝102＝100.7．設(shè)loga2＝m,loga3＝n,則a2m＋n的值為________．答案12解析∵loga2＝m,loga3＝n,∴am＝2,an＝3,∴a2m＋n＝a2m·an＝<am>2·an＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.7782,則102.7782≈________.答案600解析102.7782≈102×10lg6＝600.三、解答題9．求下列各式中x的值<1>若log3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1－2x,9>>>＝1,則求x值；<2>若log2003<x2－1>＝0,則求x值．解<1>∵log3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1－2x,9>>>＝1,∴eq\f<1－2x,9>＝3∴1－2x＝27,即x＝－13<2>∵log2003<x2－1>＝0∴x2－1＝1,即x2＝2∴x＝±eq\r<2>10．求x的值：<1>x＝logeq\f<\r<2>,2>4；<2>x＝log9eq\r<3>；<3>x＝71－log75；<4>logx8＝－3；<5>logeq\f<1,2>x＝4.解<1>由已知得：eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<2>,2>>>x＝4,∴2－eq\f<1,2>x＝22,－eq\f<x,2>＝2,x＝－4.<2>由已知得：9x＝eq\r<3>,即32x＝3eq\f<1,2>.∴2x＝eq\f<1,2>,x＝eq\f<1,4>.<3>x＝7÷7log75＝7÷5＝eq\f<7,5>.<4>由已知得：x－3＝8,即eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,x>>>3＝23,eq\f<1,x>＝2,x＝eq\f<1,2>.<5>由已知得：x＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>>>4＝eq\f<1,16>.2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算<二>學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其推導(dǎo)．2．能運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值和證明．自學(xué)導(dǎo)引1．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么,<1>loga<MN>＝logaM＋logaN；<2>logaeq\f<M,N>＝logaM－logaN；<3>logaMn＝nlogaM<n∈R>．2．對數(shù)換底公式：logab＝eq\f<logcb,logca>.一、正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)例1若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正確的個數(shù)有<>①logax·logay＝loga<x＋y>；②logax－logay＝loga<x－y>；③logaeq\f<x,y>＝logax÷logay；④loga<xy>＝logax·logay.A．0個B．1個C．2個D．3個答案A解析對數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是把積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算．在運(yùn)算中要注意不能把對數(shù)的符號當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運(yùn)算,如logax≠loga·x,logax是不可分開的一個整體．四個選項(xiàng)都把對數(shù)符號當(dāng)作字母參與運(yùn)算,因而都是錯誤的．點(diǎn)評正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式,是利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件．變式遷移1若a>0且a≠1,x>0,n∈N*,則下列各式正確的是<>A．logax＝－logaeq\f<1,x>B．<logax>n＝nlogaxC．<logax>n＝logaxnD．logax＝logaeq\f<1,x>答案A二、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例2計算：<1>log535－2log5eq\f<7,3>＋log57－log51.8；<2>2<lgeq\r<2>>2＋lgeq\r<2>·lg5＋eq\r<<lg\r<2>>2－lg2＋1>；<3>eq\f<lg\r<27>＋lg8－lg\r<1000>,lg1.2>；<4><lg5>2＋lg2·lg50.分析利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計算．解<1>原式＝log5<5×7>－2<log57－log53>＋log57－log5eq\f<9,5>＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.<2>原式＝lgeq\r<2><2lgeq\r<2>＋lg5>＋eq\r<<lg\r<2>－1>2>＝lgeq\r<2><lg2＋lg5>＋1－lgeq\r<2>＝lgeq\r<2>＋1－lgeq\r<2>＝1.<3>原式＝eq\f<\f<3,2>lg3＋3lg2－\f<3,2>,lg3＋2lg2－1>＝eq\f<3lg3＋6lg2－3,2<lg3＋2lg2－1>>＝eq\f<3,2>.<4>原式＝<lg5>2＋lg2·<lg2＋2lg5>＝<lg5>2＋2lg5·lg2＋<lg2>2＝<lg5＋lg2>2＝1.點(diǎn)評要靈活運(yùn)用有關(guān)公式．注意公式的正用、逆用及變形使用．變式遷移2求下列各式的值：<1>log535＋2logeq\f<1,2>eq\r<2>－log5eq\f<1,50>－log514；<2>[<1－log63>2＋log62·log618]÷log64.解<1>原式＝log5<5×7>－2log22eq\f<1,2>＋log5<52×2>－log5<2×7>＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.<2>原式＝[logeq\o\al<2,6>2＋log62·log6<3×6>]÷log622＝log62<log62＋log63＋1>÷<2log62>＝1.三、換底公式的應(yīng)用例3<1>設(shè)3x＝4y＝36,求eq\f<2,x>＋eq\f<1,y>的值；<2>已知log189＝a,18b＝5,求log3645.解<1>由已知分別求出x和y.∵3x＝36,4y＝36,∴x＝log336,y＝log436,由換底公式得：x＝eq\f<log3636,log363>＝eq\f<1,log363>,y＝eq\f<log3636,log364>＝eq\f<1,log364>,∴eq\f<1,x>＝log363,eq\f<1,y>＝log364,∴eq\f<2,x>＋eq\f<1,y>＝2log363＋log364＝log36<32×4>＝log3636＝1.<2>∵log189＝a,18b＝5,∴l(xiāng)og185＝b.∴l(xiāng)og3645＝eq\f<log1845,log1836>＝eq\f<log18<9×5>,log18<18×2>>＝eq\f<log189＋log185,1＋log182>＝eq\f<a＋b,1＋log18\f<18,9>>＝eq\f<a＋b,2－a>.點(diǎn)評指數(shù)式化為對數(shù)式后,兩對數(shù)式的底不同,但式子兩端取倒數(shù)后,利用對數(shù)的換底公式可將差異消除．變式遷移3<1>設(shè)log34·log48·log8m＝log416,求m；<2>已知log1227＝a,求log616的值．解<1>利用換底公式,得eq\f<lg4,lg3>·eq\f<lg8,lg4>·eq\f<lgm,lg8>＝2,∴l(xiāng)gm＝2lg3,于是m＝9.<2>由log1227＝a,得eq\f<3lg3,2lg2＋lg3>＝a,∴l(xiāng)g3＝eq\f<2alg2,3－a>,∴eq\f<lg3,lg2>＝eq\f<2a,3－a>.∴l(xiāng)og616＝eq\f<4lg2,lg3＋lg2>＝eq\f<4,\f<2a,3－a>＋1>＝eq\f<4<3－a>,3＋a>.1．對于同底的對數(shù)的化簡常用方法是：<1>"收",將同底的兩對數(shù)的和<差>化成積<商>的對數(shù)；<2>"拆",將積<商>的對數(shù)拆成對數(shù)的和<差>．2．對于常用對數(shù)的化簡要充分利用"lg5＋lg2＝1"來解題．3．對于多重對數(shù)符號對數(shù)的化簡,應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡求值．一、選擇題1．lg8＋3lg5的值為<>A．－3B．－1C．1D．3答案D解析lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1000＝3.2．已知lg2＝a,lg3＝b,則log36等于<>A.eq\f<a＋b,a>B.eq\f<a＋b,b>C.eq\f<a,a＋b>D.eq\f<b,a＋b>答案B解析log36＝eq\f<lg6,lg3>＝eq\f<lg2＋lg3,lg3>＝eq\f<a＋b,b>.3．若lga,lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根,則eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<lg\f<a,b>>>2的值等于<>A．2B.eq\f<1,2>C．4D.eq\f<1,4>答案A解析由根與系數(shù)的關(guān)系,得lga＋lgb＝2,lga·lgb＝eq\f<1,2>,∴eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<lg\f<a,b>>>2＝<lga－lgb>2＝<lga＋lgb>2－4lga·lgb＝22－4×eq\f<1,2>＝2.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000,則eq\f<1,x>－eq\f<1,y>等于<>A.eq\f<1,3>B．3C．－eq\f<1,3>D．－3答案A解析由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式：x＝log2.51000,y＝log0.251000,則eq\f<1,x>－eq\f<1,y>＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝eq\f<1,3>.5．設(shè)函數(shù)f<x>＝logax<a>0,且a≠1>,若f<x1x2…x2005>＝8,則f<xeq\o\al<2,1>>＋f<xeq\o\al<2,2>>＋…＋f<xeq\o\al<2,2005>>的值等于<>A．4B．8C．16D．2loga8答案C解析因?yàn)閒<x>＝logax,f<x1x2…x2005>＝8,所以f<xeq\o\al<2,1>>＋f<xeq\o\al<2,2>>＋…＋f<xeq\o\al<2,2005>>＝logaxeq\o\al<2,1>＋logaxeq\o\al<2,2>＋…＋logaxeq\o\al<2,2005>＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2005|＝2loga|x1x2…x2005|＝2f<x1x2…x2005>＝2×8＝16.二、填空題6．設(shè)lg2＝a,lg3＝b,那么lgeq\r<1.8>＝__________.答案eq\f<a＋2b－1,2>解析lgeq\r<1.8>＝eq\f<1,2>lg1.8＝eq\f<1,2>lgeq\f<18,10>＝eq\f<1,2>lgeq\f<2×9,10>＝eq\f<1,2><lg2＋lg9－1>＝eq\f<1,2><a＋2b－1>．7．若logax＝2,logbx＝3,logcx＝6,則logabcx的值為____．答案1解析logabcx＝eq\f<1,logxabc>＝eq\f<1,logxa＋logxb＋logxc>∵logax＝2,logbx＝3,logcx＝6∴l(xiāng)ogxa＝eq\f<1,2>,logxb＝eq\f<1,3>,logxc＝eq\f<1,6>,∴l(xiāng)ogabcx＝eq\f<1,\f<1,2>＋\f<1,3>＋\f<1,6>>＝eq\f<1,1>＝1.8．已知log63＝0.6131,log6x＝0.3869,則x＝________.答案2解析由log63＋log6x＝0.6131＋0.3869＝1.得log6<3x>＝1.故3x＝6,x＝2.三、解答題9．求下列各式的值：<1>eq\f<1,2>lgeq\f<32,49>－eq\f<4,3>lgeq\r<8>＋lgeq\r<245>；<2><lg5>2＋2lg2－<lg2>2.解<1>方法一原式＝eq\f<1,2><5lg2－2lg7>－eq\f<4,3>·eq\f<3,2>lg2＋eq\f<1,2><2lg7＋lg5>＝eq\f<5,2>lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f<1,2>lg5＝eq\f<1,2>lg2＋eq\f<1,2>lg5＝eq\f<1,2><lg2＋lg5>＝eq\f<1,2>lg10＝eq\f<1,2>.方法二原式＝lgeq\f<4\r<2>,7>－lg4＋lg7eq\r<5>＝lgeq\f<4\r<2>×7\r<5>,7×4>＝lg<eq\r<2>·eq\r<5>>＝lgeq\r<10>＝eq\f<1,2>.<2>方法一原式＝<lg5＋lg2><lg5－lg2>＋2lg2＝lg10·lgeq\f<5,2>＋lg4＝lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>×4>>＝lg10＝1.方法二原式＝<lg10－lg2>2＋2lg2－lg22＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1.10．若26a＝33b＝62c,求證：eq\f<1,a>＋eq\f<2,b>＝eq\f<3,c>.證明設(shè)26a＝33b＝62c＝k<k>0>,那么eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<6a＝log2k,,3b＝log3k,,2c＝log6k,>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<1,a>＝\f<6,log2k>＝6logk2,,\f<1,b>＝\f<3,log3k>＝3logk3,,\f<1,c>＝\f<2,log6k>＝2logk6.>>∴eq\f<1,a>＋eq\f<2,b>＝6·logk2＋2×3logk3＝logk<26×36>＝6logk6＝3×2logk6＝eq\f<3,c>,即eq\f<1,a>＋eq\f<2,b>＝eq\f<3,c>.2．2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的概念形如y＝logax<a>0且a≠1>的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)．對于對數(shù)函數(shù)定義的理解,要注意：<1>對數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來的,由指數(shù)式與對數(shù)式關(guān)系知,對數(shù)函數(shù)的自變量x恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值y,所以對數(shù)函數(shù)的定義域是<0,＋∞>；<2>對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)＝logax中,logax前面的系數(shù)為1,自變量在真數(shù)的位置,底數(shù)a必須滿足a>0,且a≠1；<3>以10為底的對數(shù)函數(shù)為y＝lgx,以e為底的對數(shù)函數(shù)為y＝lnx.2．對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)?lt;0,＋∞>,值域?yàn)?lt;－∞,＋∞>函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)<1,0>,即恒有l(wèi)oga1＝0當(dāng)x>1時,恒有y>0；當(dāng)0<x<1時,恒有y<0當(dāng)x>1時,恒有y<0；當(dāng)0<x<1時,恒有y>0函數(shù)在定義域<0,＋∞>上為增函數(shù)函數(shù)在定義域<0,＋∞>上為減函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系比較名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax<a>0,且a≠1>y＝logax<a>0,且a≠1>定義域<－∞,＋∞><0,＋∞>值域<0,＋∞><－∞,＋∞>函數(shù)值變化情況a>1時,；0<a<1時,xa>1時,logax；0<a<1時,logax圖象必過定點(diǎn)點(diǎn)<0,1>點(diǎn)<1,0>單調(diào)性a>1時,y＝ax是增函數(shù)；0<a<1時,y＝ax是減函數(shù)a>1時,y＝logax是增函數(shù)；0<a<1時,y＝logax是減函數(shù)圖象y＝ax的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于直線y＝x對稱實(shí)際上,觀察對數(shù)函數(shù)的圖象不難發(fā)現(xiàn),對數(shù)函數(shù)中的值y＝logmn有以下規(guī)律：<1>當(dāng)<m－1><n－1>>0,即m、n范圍相同<相對于"1"而言>,則logmn>0；<2>當(dāng)<m－1><n－1><0,即m、n范圍相反<相對于"1"而言>,則logmn<0.有了這個規(guī)律,我們再判斷對數(shù)值的正負(fù)就很簡單了,如log2eq\f<1,3><0,log52>0等,一眼就看出來了！題型一求函數(shù)定義域求下列函數(shù)的定義域：<1>y＝log3x－1eq\f<\r<2x＋3>,x－1>；<2>y＝eq\f<1,\r<1－loga<x＋a>>><a>0,a≠1>．分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍．解<1>要使函數(shù)有意義,必須eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x＋3>0,x－1>0,3x－1>0,3x－1≠1>>同時成立,解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－\f<3,2>,x>1,x>\f<1,3>,x≠\f<2,3>.>>∴x>1.∴定義域?yàn)?lt;1,＋∞>．<2>要使原函數(shù)有意義,需1－loga<x＋a>>0,即loga<x＋a><1＝logaa.當(dāng)a>1時,0<x＋a<a,∴－a<x<0.當(dāng)0<a<1時,x＋a>a,∴x>0.∴當(dāng)a>1時,原函數(shù)定義域?yàn)閧x|－a<x<0}；當(dāng)0<a<1時,原函數(shù)定義域?yàn)閧x|x>0}．點(diǎn)評求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題,首先要考慮：真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1,若分母中含有x,還要考慮不能使分母為零．題型二對數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用<1>log43,log34,logeq\f<4,3>eq\f<3,4>的大小順序?yàn)?lt;>A．log34<log43<logeq\f<4,3>eq\f<3,4>B．log34>log43>logeq\f<4,3>eq\f<3,4>C．log34>logeq\f<4,3>eq\f<3,4>>log43D．logeq\f<4,3>eq\f<3,4>>log34>log43<2>若a2>b>a>1,試比較logaeq\f<a,b>,logbeq\f<b,a>,logba,logab的大小．<1>解析∵log34>1,0<log43<1,logeq\f<4,3>eq\f<3,4>＝logeq\f<4,3>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<4,3>>>－1＝－1,∴l(xiāng)og34>log43>logeq\f<4,3>eq\f<3,4>.答案B<2>解∵b>a>1,∴0<eq\f<a,b><1.∴l(xiāng)ogaeq\f<a,b><0,logbeq\f<b,a>∈<0,1>,logba∈<0,1>．又a>eq\f<b,a>>1,且b>1,∴l(xiāng)ogbeq\f<b,a><logba,故有l(wèi)ogaeq\f<a,b><logbeq\f<b,a><logba<logab.點(diǎn)評比較對數(shù)的大小,一般遵循以下幾條原則：①如果兩對數(shù)的底數(shù)相同,則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性<底數(shù)a>1為增；0<a<1為減>比較．②如果兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同,通常引入中間變量進(jìn)行比較．③如果兩對數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同,如y＝loga1x與y＝loga2x的比較<a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1>．當(dāng)a1>a2>1時,曲線y1比y2的圖象<在第一象限內(nèi)>上升得慢．即當(dāng)x>1時,y1<y2；當(dāng)0<x<1時,y1>y2.而在第一象限內(nèi),圖象越靠近x軸對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．當(dāng)0<a2<a1<1時,曲線y1比y2的圖象<在第四象限內(nèi)>下降得快．即當(dāng)x>1時,y1<y2；當(dāng)0<x<1時,y1>y2即在第四象限內(nèi),圖象越靠近x軸的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越?。阎猯ogaeq\f<1,2><1,那么a的取值范圍是________．分析利用函數(shù)單調(diào)性或利用數(shù)形結(jié)合求解．解析由logaeq\f<1,2><1＝logaa,得當(dāng)a>1時,顯然符合上述不等式,∴a>1；當(dāng)0<a<1時,a<eq\f<1,2>,∴0<a<eq\f<1,2>.故a>1或0<a<eq\f<1,2>.答案a>1或0<a<eq\f<1,2>點(diǎn)評解含有對數(shù)符號的不等式時,必須注意對數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1,然后再利用相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答．理解會用以下幾個結(jié)論很有必要：<1>當(dāng)a>1時,logax>0?x>1,logax<0?0<x<1；<2>當(dāng)0<a<1時,logax>0?0<x<1,logax<0?x>1.題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用若不等式2x－logax<0,當(dāng)x∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>時恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解要使不等式2x<logax在x∈時恒成立,即函數(shù)y=logax的圖象在內(nèi)恒在函數(shù)y=2x圖象的上方,而y=2x圖象過點(diǎn).由圖可知,loga>,顯然這里0<a<1,∴函數(shù)y=logax遞減．又loga>=log,∴a>,即a>.∴所求的a的取值范圍為<a<1.點(diǎn)評原問題等價于當(dāng)x∈時,y1=2x的圖象在y2=logax的圖象的下方,由于a的大小不確定,當(dāng)a>1時,顯然y2<y1,因此a必為小于1的正數(shù),當(dāng)y2的圖象通過點(diǎn)時,y2滿足條件,此時a=.那么a是大于a還是小于a才滿足呢？可以畫圖象觀察,請試著畫一畫．這樣可以對數(shù)形結(jié)合的方法有更好地掌握．設(shè)函數(shù)f<x>＝lg<ax2＋2x＋1>,若f<x>的值域是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．錯解∵f<x>的值域是R,∴ax2＋2x＋1>0對x∈R恒成立,即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0Δ<0>>?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>04－4a<0>>?a>1.錯因分析出錯的原因是分不清定義域?yàn)镽與值域?yàn)镽的區(qū)別．正解函數(shù)f<x>＝lg<ax2＋2x＋1>的值域是R?真數(shù)t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正數(shù)．當(dāng)a＝0時,只要x>－eq\f<1,2>,即可使真數(shù)t取到所有的正數(shù),符合要求；當(dāng)a≠0時,必須有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>0Δ≥0>>?eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>04－4a≥0>>?0<a≤1.∴f<x>的值域?yàn)镽時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,1]．本節(jié)內(nèi)容在高考中考查的形式、地位與指數(shù)函數(shù)相似,著重考查對數(shù)的概念與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用．1．<XX高考>已知函數(shù)f<x>＝eq\f<1,\r<1－x>>的定義域?yàn)镸,g<x>＝ln<1＋x>的定義域?yàn)镹,則M∩N等于<>A．{x|x>－1}B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1}D．?解析由題意知M＝{x|x<1},N＝{x|x>－1}．故M∩N＝{x|－1<x<1}．答案C2．<XX高考>下列不等式成立的是<>A．log32<log23<log25B．log32<log25<log23C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32解析∵y＝log2x在<0,＋∞>上是增函數(shù),∴l(xiāng)og25>log23>log22＝1.又y＝log3x在<0,＋∞>上為增函數(shù),∴l(xiāng)og32<log33＝1.∴l(xiāng)og32<log23<log25.答案A3．<全國高考>若x∈<e－1,1>,a＝lnx,b＝2lnx,c＝ln3x,則<>A．a(chǎn)<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a解析∵eq\f<1,e><x<1,∴－1<lnx<0.令t＝lnx,則－1<t<0.∴a－b＝t－2t＝－t>0.∴a>b.c－a＝t3－t＝t<t2－1>＝t<t＋1><t－1>,又∵－1<t<0,∴0<t＋1<1,－2<t－1<－1,∴c－a>0,∴c>a.∴c>a>b.答案C1．已知函數(shù)f<x>＝eq\r<1＋2x>的定義域?yàn)榧螹,g<x>＝ln<1－x>的定義域?yàn)榧螻,則M∩N等于<>A．{x|x>－1}B．{x|x<1}C.eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x|－\f<1,2><x<1>>D．?答案C2．已知函數(shù)f<x>＝lgeq\f<1－x,1＋x>,若f<a>＝eq\f<1,2>,則f<－a>等于<>A.eq\f<1,2>B．－eq\f<1,2>C．－2D．2答案B解析f<－a>＝lgeq\f<1＋a,1－a>＝－lgeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1＋a,1－a>>>－1＝－lgeq\f<1－a,1＋a>＝－f<a>＝－eq\f<1,2>.3．已知a＝log23,b＝log32,c＝log42,則a,b,c的大小關(guān)系是<>A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．c<a<b答案A解析因?yàn)閍＝log23>1,b＝log32<1,所以a>b；又因?yàn)?>eq\r<3>,則log32>log3eq\r<3>＝eq\f<1,2>,而log42＝log2eq\r<2>＝eq\f<1,2>,所以b>eq\f<1,2>,c＝eq\f<1,2>,即b>c.從而a>b>c.4．函數(shù)f<x>＝lg|x|為<>A．奇函數(shù),在區(qū)間<0,＋∞>上是減函數(shù)B．奇函數(shù),在區(qū)間<0,＋∞>上是增函數(shù)C．偶函數(shù),在區(qū)間<－∞,0>上是增函數(shù)D．偶函數(shù),在區(qū)間<－∞,0>上是減函數(shù)答案D解析已知函數(shù)定義域?yàn)?lt;－∞,0>∪<0,＋∞>,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,且f<－x>＝lg|－x|＝lg|x|＝f<x>,所以它是偶函數(shù)．又當(dāng)x>0時,|x|＝x,即函數(shù)y＝lg|x|在區(qū)間<0,＋∞>上是增函數(shù)．又f<x>為偶函數(shù),所以f<x>＝lg|x|在區(qū)間<－∞,0>上是減函數(shù)．5．函數(shù)y＝ax與y＝－logax<a>0,且a≠1>在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能為<>答案A解析方法一若0<a<1,則曲線y＝ax下降且過<0,1>,而曲線y＝－logax上升且過<1,0>；若a>1,則曲線y＝ax上升且過<0,1>,而曲線y＝－logax下降且過<1,0>．只有選項(xiàng)A滿足條件．方法二注意到y(tǒng)＝－logax的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象的表達(dá)式為y＝logax,又y＝logax與y＝ax互為反函數(shù)<圖象關(guān)于直線y＝x對稱>,則可直接選定選項(xiàng)A.6．設(shè)函數(shù)f<x>＝log2a<x＋1>,若對于區(qū)間<－1,0>內(nèi)的每一個x值都有f<x>>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為<>A．<0,＋∞>B.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,＋∞>>C.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,1>>D.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<1,2>>>答案D解析已知－1<x<0,則0<x＋1<1,又當(dāng)－1<x<0時,都有f<x>>0,即0<x＋1<1時都有f<x>>0,所以0<2a<1,即0<a<eq\f<1,2>.7．若指數(shù)函數(shù)f<x>＝ax<x∈R>的部分對應(yīng)值如下表：x－202f<x>0.69411.44則不等式loga<x－1><0的解集為__________．答案{x|1<x<2}解析由題可知a＝1.2,∴l(xiāng)og1.2<x－1><0,∴l(xiāng)og1.2<x－1><log1.21,解得x<2,又∵x－1>0,即x>1,∴1<x<2.故原不等式的解集為{x|1<x<2}．8．函數(shù)y＝logax<1≤x≤2>的值域?yàn)閇－1,0],那么a的值為________．答案eq\f<1,2>解析若a>1,則函數(shù)y＝logax在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),其值域不可能為[－1,0]；故0<a<1,此時當(dāng)x＝2時,y取最小值－1,即loga2＝－1,得a－1＝2,所以a＝eq\f<1,2>.9．已知函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<<3a－1>x＋4a,x<1,logax,x≥1>>是實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．答案eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,7>,\f<1,3>>>解析函數(shù)f<x>為實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù),一方面,0<a<1且3a－1<0,所以0<a<eq\f<1,3>,另一方面,由于f<x>在R上為減函數(shù),因此應(yīng)有<3a－1>×1＋4a≥loga1,即a≥eq\f<1,7>.因此滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\f<1,7>≤a<eq\f<1,3>.10．已知f<x>＝1＋log2x<1≤x≤4>,求函數(shù)g<x>＝f2<x>＋f<x2>的最大值和最小值．解∵f<x>的定義域?yàn)閇1,4],∴g<x>的定義域?yàn)閇1,2]．∵g<x>＝f2<x>＋f<x2>＝<1＋log2x>2＋<1＋log2x2>＝<log2x＋2>2－2,又1≤x≤2,∴0≤log2x≤1.∴當(dāng)x＝1時,g<x>min＝2；當(dāng)x＝2時,g<x>max=7.學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．2．能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),把握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)系的實(shí)質(zhì)．自學(xué)導(dǎo)引1．對數(shù)函數(shù)的定義：一般地,我們把函數(shù)y＝logax<a>0,且a≠1>叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是<0,＋∞>．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義y＝logax<a>0,且a≠1>底數(shù)a>10<a<1圖象定義域<0,＋∞>值域R單調(diào)性在<0,＋∞>上是增函數(shù)在<0,＋∞>上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過點(diǎn)<1,0>,即loga1＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈<0,1>時,y∈<－∞,0>；x∈[1,＋∞>時,y∈[0,＋∞>x∈<0,1>時,y∈<0,＋∞>；x∈[1,＋∞>時,y∈<－∞,0]對稱性函數(shù)y＝logax與y＝logeq\f<1,a>x的圖象關(guān)于x軸對稱3.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y＝logax<a>0且a≠1>和指數(shù)函數(shù)y＝ax_<a>0且a≠1>互為反函數(shù)．一、對數(shù)函數(shù)的圖象例1下圖是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象,已知a值取eq\r<3>,eq\f<4,3>,eq\f<3,5>,eq\f<1,10>,則圖象C1,C2,C3,C4相應(yīng)的a值依次是<>A.B．C．D．答案A解析方法一因?yàn)閷?shù)的底數(shù)越大,函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離y軸的正方向,所以C1,C2,C3,C4的a值依次由大到小,即C1,C2,C3,C4的a值依次為.方法二過<0,1>作平行于x軸的直線,與C1,C2,C3,C4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為<a1,1>,<a2,1>,<a3,1>,<a4,1>,其中a1,a2,a3,a4分別為各對數(shù)的底,顯然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底值依次由大到?。c(diǎn)評函數(shù)y=logax<a>0,且a≠1>的底數(shù)a的變化對圖象位置的影響如下：①上下比較：在直線x=1的右側(cè),底數(shù)大于1時,底數(shù)越大,圖象越靠近x軸；底數(shù)大于0且小于1時,底數(shù)越小,圖象越靠近x軸．②左右比較：<比較圖象與y=1的交點(diǎn)>交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大．變式遷移1借助圖象比較m,n的大小關(guān)系：<1>若logm5>logn5,則mn；<2>若logm0.5>logn0.5,則mn.答案<1><<2>>二、求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：<1>y＝eq\r<3,log2x>；<2>y＝eq\r<log0.5<4x－3>>；<3>y＝log<x＋1><2－x>．分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍．解<1>∵該函數(shù)是奇次根式,要使函數(shù)有意義,只要對數(shù)的真數(shù)是正數(shù)即可,∴定義域是{x|x>0}．<2>要使函數(shù)y＝eq\r<log0.5<4x－3>>有意義,必須log0.5<4x－3>≥0＝log0.51,∴0<4x－3≤1.解得eq\f<3,4><x≤1.∴定義域是eq\b\lc\{\rc\}<\a\vs4\al\co1<x|\f<3,4><x≤1>>.<3>由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋1>0,x＋1≠1,2－x>0>>,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>－1,x≠0,,x<2>>即0<x<2或－1<x<0,所求定義域?yàn)?lt;－1,0>∪<0,2>．點(diǎn)評求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時,除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外,還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對性的解不等式．變式遷移2求y＝eq\r<loga<4x－3>><a>0,a≠1>的定義域．解loga<4x－3>≥0.<*>當(dāng)a>1時,<*>可化為loga<4x－3>≥loga1,∴4x－3≥1,x≥1.當(dāng)0<a<1時,<*>可化為loga<4x－3>≥loga1,∴0<4x－3≤1,eq\f<3,4><x≤1.綜上所述,當(dāng)a>1時,函數(shù)定義域?yàn)閇1,＋∞>,當(dāng)0<a<1時,函數(shù)定義域?yàn)閑q\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<3,4>,1>>.三、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3比較大?。?lt;1>log0.81.5與log0.82；<2>log35與log64.分析從比較底數(shù)、真數(shù)是否相同入手．解<1>考查對數(shù)函數(shù)y＝log0.8x在<0,＋∞>內(nèi)是減函數(shù),∵1.5<2,∴l(xiāng)og0.81.5>log0.82.<2>log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同,找出中間量"搭橋",再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求解．∵log35>log33＝1＝log66>log64,∴l(xiāng)og35>log64.點(diǎn)評比較兩個對數(shù)值的大小,常用方法有：①底數(shù)相同真數(shù)不同時,用函數(shù)的單調(diào)性來比較；②底數(shù)不同而真數(shù)相同時,常借助圖象比較,也可用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對數(shù)后比較；③底數(shù)與真數(shù)都不同,需尋求中間值比較．變式遷移3比較下列各組中兩個值的大小：<1>log0.52.7,log0.52.8；<2>log34,log65；<3>logaπ,logae<a>0且a≠1>．解<1>∵0<0.5<1,∴對數(shù)函數(shù)y＝log0.5x在<0,＋∞>上是減函數(shù)．又∵2.7<2.8,∴l(xiāng)og0.52.7>log0.52.8.<2>∵y＝log3x在<0,＋∞>上是增函數(shù),∴l(xiāng)og34>log33＝1.∵y＝log6x在<0,＋∞>上是增函數(shù),∴l(xiāng)og65<log66＝1.∴l(xiāng)og34>log65.<3>當(dāng)a>1時,y＝logax