高等數(shù)學(xué)：定積分及其應(yīng)用

定積分及其應(yīng)用5.1定積分的概念5.2定積分的性質(zhì)5.3微積分的基本定理5.4定積分的換元積分法與分部積分法5.5

反常積分5.6定積分的應(yīng)用本章小結(jié)

5.1定積分的概念

一、引例

1.曲邊梯形的面積

所謂曲邊梯形,是指由一條連續(xù)曲線y=f(x)及三條直線x=a、x=b、y=0(x軸)所圍成的圖形AabB,如圖5-1(a)所示,其中線段ab稱為曲邊梯形的底,線段aA和bB都垂直于x軸,稱為曲邊梯形的腰.在特殊情況下,有一腰或兩腰退化為一點(diǎn)的圖形(見(jiàn)圖5-1(b)(c))仍視為曲邊梯形.圖5-1

現(xiàn)在,我們來(lái)求由任意連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、x=b和y=0圍成的曲邊梯形的面積S,如圖5-2所示.為方便起見(jiàn),不妨假定f(x)>0.圖5-2

我們知道,矩形的高是不變的,它的面積可按公式“S矩形=底×高”來(lái)計(jì)算.而由圖5-2不難看出,曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上是變化的,故不能用矩形的面積公式計(jì)算曲邊梯形AabB的面積.但是,我們可以先求曲邊梯形面積的近似值,再利用極限得到曲邊梯形面積的精確值,分為以下四個(gè)步驟:

1)分割(化“整”為“零”)

2)近似(以“粗”代“精”)

由于f(x)在[a,b]上連續(xù)變化,在很小一段區(qū)間上它的變化很小,近似于不變,因此我們可以在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,3,…,n)上任意取一點(diǎn)ξi,用f(ξi)來(lái)近似代替該區(qū)間上小曲邊梯形的高,這樣得到的小矩形的面積可以看作是該區(qū)間上小曲邊梯形面積的近似值,即

3)求和(合“零”為“整”)

將n個(gè)小矩形面積加起來(lái),得到曲邊梯形面積S的近似值,即

顯然,小曲邊梯形分得越小,近似程度越高.

4)取極限(去“粗”取“精”)

記表示n個(gè)小區(qū)間的最大長(zhǎng)度.當(dāng)λ→0時(shí)(此時(shí)所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零,意味著分點(diǎn)數(shù)n-1無(wú)限增多).若式(5-1)存在極限,則極限值就應(yīng)是曲邊梯形的面積,即

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

我們知道,當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),其路程等于速度乘以時(shí)間.如果物體作變速直線運(yùn)動(dòng),即速度v是時(shí)間t的函數(shù),記v=v(t),那么如何計(jì)算物體在時(shí)間段[T1,T2]上運(yùn)動(dòng)的路程s呢?我們采用上述方法進(jìn)行分析:

從上面兩個(gè)引例可以看出,雖然兩個(gè)問(wèn)題的背景不同,但解決問(wèn)題的思路和方法是相同的,都是用“分割、近似、求和、取極限”這四步解決,最后都統(tǒng)一為求具有相同結(jié)構(gòu)的一種特定和式的極限.在工程中,還有許多實(shí)際問(wèn)題也是用這種方法解決的.我們可拋開(kāi)這類問(wèn)題的實(shí)際意義,抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共同本質(zhì)與特性加以概括,抽象出定積分的概念.

由定積分的定義可知,兩個(gè)引例中的極限可表示成如下定積分:

(1)曲邊梯形的面積是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,即

(2)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程是速度函數(shù)v=v(t)在時(shí)間段[T1,T2]上的定積分,即

定理5-1若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.

定理5-2若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.圖5-4圖5-5

5.2定積分的性質(zhì)

由定積分的定義以及極限的運(yùn)算法則與性質(zhì),可以得到定積分的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì):

性質(zhì)5-1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面,即

性質(zhì)5-2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和,即

性質(zhì)5-3(積分區(qū)間的可加性)設(shè)a≤b≤c,則有

其中a、b、c為任意實(shí)數(shù).

性質(zhì)5-4若被積函數(shù)f(x)≡1,則有

性質(zhì)5-5-若f(x)、g(x)在[a,b]上滿足條件f(x)≤g(x),則

性質(zhì)5-6(估值定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別為M、m,則

它的幾何意義是:設(shè)f(x)≥0,則以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積介于以b-a為底、以最小縱坐標(biāo)m為高的矩形與最大縱坐標(biāo)M為高的矩形面積之間,如圖5-6所示.圖5-6

性質(zhì)5-7(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少有一點(diǎn)ξ,使得式(5-3)成立

性質(zhì)7的幾何意義如圖5-7所示,即以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積等于以b-a為底、f(ξ)為高的矩形面積.

通常稱

為連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.在圖5-7中,f(ξ)可看作曲邊梯形的平均高度.顯然它是算術(shù)平均值概念的推廣.圖5-7

5.3微積分的基本定理

一、引例

由5.1節(jié)可知物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程是速度函數(shù)v=v(t)在時(shí)間[T1,T2]上的定積分,即另外,這段路程也可以通過(guò)路程函數(shù)s(t)在區(qū)間[T1,T2]上的增量s(T2)-s(T1)來(lái)表達(dá),即

二、變上限的定積分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),x∈[a,b],對(duì)于定積分∫xaf(x)dx來(lái)說(shuō),由于定積分的值與積分變量的表示記號(hào)無(wú)關(guān),因此為避免混淆,可把積分變量x換為t,則上面的定積分可以寫(xiě)成

它的幾何意義見(jiàn)圖5-8,為陰影部分面積.如果上限x在[a,b]上變動(dòng)時(shí),對(duì)于x的每一個(gè)取值,這個(gè)定積分都有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng),所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數(shù),記作

稱為變上限積分函數(shù).

這個(gè)函數(shù)Φ(x)具有下列重要性質(zhì).圖5-8

三、微積分的基本定理

定理5-4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),F(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則有

該公式稱為微積分基本公式,也稱為牛頓－萊布尼茲公式.

微積分基本公式進(jìn)一步揭示了定積分和不定積分之間的聯(lián)系,它把定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定積分的問(wèn)題,即定積分的值等于被積函數(shù)的任一原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量.這給定積分的計(jì)算找到了一條捷徑,大大降低了定積分的計(jì)算復(fù)雜性.

5.4定積分的換元積分法與分部積分法

一、定積分的換元積分法函定理5-5-設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),而x=φ(t)是定義在[α,β]上的一個(gè)可微數(shù),且滿足:(1)φ(t)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)φ'(t);

(2)φ(α)=a,φ(β)=b;

則

式(5-6)稱為定積分的換元公式.

注:定積分換元時(shí),一定要將積分限換成新變量的積分限,即“換元必?fù)Q限”.

二、定積分的分部積分法

如果u(x)、v(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),由乘積的求導(dǎo)法則可知

5.5-反常積分

一、引例求由曲線與x軸、y軸所圍成的“開(kāi)口曲邊梯形”的面積A.如圖5-9所示.圖5-9

二、無(wú)窮限上的反常積分

計(jì)算無(wú)窮限的反常積分時(shí),為了書(shū)寫(xiě)上的方便,可以省去極限符號(hào),將其形式改為類似牛頓萊布尼茲公式的格式:圖5-10

三*、無(wú)界函數(shù)的反常積分

5.6定積分的應(yīng)用

一、平面圖形的面積下面我們介紹幾類平面圖形面積的求法:(1)由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b(a<b)、y=0所圍成的曲邊梯形的面積(見(jiàn)圖5-11)為圖5-11圖5-12

(3)由曲線x=φ(y)(φ(y)≥0)與直線y=c、y=d(c<d)及x=0所圍成的曲邊梯形(見(jiàn)圖5-13)的面積為圖5-13

(4)如果在[c,d]上總有ψ(y)≤φ(y),則曲線φ(y)與ψ(y)所圍成的圖形(見(jiàn)圖5-14)面積為圖5-14

例5-20如圖5-15所示,求由拋物線y=x2和y2=x所圍成的圖形的面積.

解由圖5-15易知兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0)和(1,1),因此所求面積為

這是選取x為積分變量.如果選取y為積分變量,則有圖5-1

例5-21如圖5-16所示,求由拋物線y2=2x及直線y=x-4所圍成的圖形的面積.

解由圖5-16易求出拋物線與直線的交點(diǎn)為A(8,4)、B(2,-2).選取y為積分變量,則所求面積為

如果選取x為積分變量,我們就要將陰影面積分成S1和S2兩塊,所求面積為圖5-16

二、旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體,該直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等都可視為旋轉(zhuǎn)體.下面我們給出求旋轉(zhuǎn)體體積的公式.

連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、x=b(a<b)及y=0(x軸)所圍成的平面圖形(見(jiàn)圖5-17)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為圖5-17

連續(xù)曲線x=φ(y)、直線y=c、y=d(c<d)及x=0(y軸)所圍成的平面圖形(見(jiàn)圖5-18)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為圖5-18

例5-22求橢圓所圍成的平面圖形分別繞x軸與y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解如圖5-19所示,由于圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,故只需考慮第Ⅰ象限內(nèi)的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.圖5-19

繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

類似地,繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為

特別地,當(dāng)a=b=R時(shí),可得半徑為R的球體體積為

三、平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積,那么該立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算。

取上述定軸為x軸,并設(shè)該立體在過(guò)點(diǎn)x=a、x=b(a<b)且垂直于x軸的兩平面之間,以A(x)表示過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸