四川省遂寧市射洪中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題

射洪中學(xué)高2022級高二（上）第三次學(xué)月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對應(yīng)題號(hào)的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷選擇題一、本大題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合要求的.1.已知，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以它在?fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出該拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】由題意知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為．故選：C．3.已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線化為，然后根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式，計(jì)算即可得出答案.【詳解】將直線化為，所以，這兩條平行直線之間的距離.故選：C.4.在不超過10的正偶數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于10的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出所有事件情況，得到滿足題意的情況數(shù)，利用古典概型即可得到答案.【詳解】不超過10的正偶數(shù)有，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有；；；；；；；；；；共10種，和等于10的有10，共2種，所以和等于10的概率．故選：A．5.已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（）A.24 B.36 C.48 D.64【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再由，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由.故選：B.6.橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，若直線與以A為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的方程，依題意，直線與圓相切即用點(diǎn)到直線的距離等于半徑列等式即可求解.【詳解】依題意，，所以直線的方程為：，又直線與以A為圓心半徑為的圓相切，故，化簡得，即或，又橢圓的離心率，所以，故選：B.7.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，則該塔筒的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件先求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再計(jì)算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與分別為上，下底面對應(yīng)點(diǎn).設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以.又喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，所以，所以雙曲線的方程為.由題意可知，代入雙曲線方程，得，所以該塔筒的高為.故選:C.8.直線過圓的圓心，且與圓相交于兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.0【答案】D【解析】【分析】求出圓的圓心的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的混合運(yùn)算法則推出再由兩點(diǎn)間的距離公式，配方法，即可得解．【詳解】圓，所以圓心，半徑為1．設(shè),，在雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，所以,對稱軸為,開口向上，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值為．故選：D．二、本大題4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有一個(gè)或一個(gè)以上的選項(xiàng)符合要求，全選對得5分，選對但不全得3分，有錯(cuò)或不選得0分.9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）①若，，則②若，，那么③若，，，則④若，，則A.②④ B.①② C.②③ D.③④【答案】A【解析】【分析】舉例說明判斷①③；利用面面平行的性質(zhì)判斷②；利用線面平行的性質(zhì)、面面垂直的判定推理判斷④即可得解.【詳解】三棱柱一底面三角形兩邊所在直線都平行于另一底面，而這兩邊所在直線相交，①錯(cuò)誤；若，，由面面平行的性質(zhì)得，②正確；若，令的交線為，，，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；由，知存在過與平面相交的平面，令交線為，有，而，則，因此，④正確，所以正確命題的序號(hào)是②④.故選：A10.已知，，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則，【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可；B選項(xiàng)，根據(jù)模的公式計(jì)算；CD選項(xiàng)，根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算.【詳解】，所以，故A正確；，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)椋?，解得，故C正確；因?yàn)椋?，即，解得，故D正確.故選：ACD.11.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則以下結(jié)論一定正確的是（）A. B.的最大值為C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，借助通項(xiàng)公式、求和公式、等差中項(xiàng)性質(zhì)依次分析，即得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，則，故，所以，所以，故A正確；由于的正負(fù)不清楚，故可能為最大值或最小值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，故C正確；因?yàn)?，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC.12.己知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，圓，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓M上，則下列說法正確的有（）A.若橢圓C和圓M沒有交點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍是B.若，則的最大值為4C.若存在點(diǎn)P使得，則D.若存在點(diǎn)Q使得，則【答案】ACD【解析】【分析】A根據(jù)已知，數(shù)形結(jié)合得時(shí)橢圓C和圓M沒有交點(diǎn)，進(jìn)而求離心率范圍；B令，求得，結(jié)合橢圓有界性得，即可判斷；C由題設(shè)，令，進(jìn)而得到，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到公共解求范圍；D將問題化為圓心為，半徑為的圓與圓有交點(diǎn).【詳解】由橢圓中，圓中圓心，半徑為1，如下圖示，A：由于，由圖知：當(dāng)時(shí)橢圓C和圓M沒有交點(diǎn)，此時(shí)離心率，對；B：當(dāng)時(shí)，令，則，而，所以，又，故，所以最大值為，錯(cuò)；C：由，若，則，由，令，且，則，即，所以，則，且，故，對；D：令，若，所以，則，所以，軌跡是圓心為，半徑為的圓，而與的距離為，要使點(diǎn)Q存在，則，可得，且，即，對；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于C，根據(jù)已知得到，設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式得到方程組，求出公共解為關(guān)鍵；對于D，問題化為圓心為，半徑為的圓與圓有交點(diǎn)為關(guān)鍵.第II卷非選擇題三、填空題（每題5分，共20分）13.若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程及拋物線定義有，求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)及拋物線定義知：且.故答案為：14.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩根，則____________【答案】4【解析】【分析】由等比中項(xiàng)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，故正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中等比中項(xiàng)，故答案為：4.15.已知圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則圓：的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】借助數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得答案.【詳解】圓：與圓：的方程相減，可得，即直線的方程為.圓：的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線的距離，則圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值為，故答案為：.16.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和，為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，點(diǎn)的軌跡的長度為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)是的中點(diǎn)，可證的軌跡與的軌跡相同，求得的軌跡之后再求的軌跡.【詳解】由，，為邊的中點(diǎn)設(shè)是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則且，而且，所以且，即為平行四邊形，故且，故的軌跡與的軌跡相同.因?yàn)槊?，且，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)的中點(diǎn)為O，則，，又面，面，所以面，故的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以軌跡長度為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷點(diǎn)的軌跡，從圓、橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)出發(fā)求解.四、解答題（共70分）17.如圖，在正四棱柱中，，是棱上任意一點(diǎn)．（1）求證：；（2）若是棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法從而求證；（2）利用空間向量法求解異面直線夾角.【小問1詳解】證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；因?yàn)?，所以，，，，所以，所?【小問2詳解】是棱的中點(diǎn)，故，則，設(shè)異面直線與所成角的大小為，則，故異面直線與所成角的余弦值為.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)設(shè)公差為，根據(jù)列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求得首項(xiàng)和公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求；(2)利用分組求和法求即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由得，，解得，∴；【小問2詳解】由得，∴.19.已知橢圓的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分．求此弦所在的直線方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由離心率、短軸長及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，將點(diǎn)代入橢圓方程，點(diǎn)差法求直線斜率，最后應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【小問1詳解】由題意，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】令過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線交橢圓于，所以，兩式作差得，則，又，，故直線斜率為，所以直線為，即.20.某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）求實(shí)數(shù)a值；（2）估計(jì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）現(xiàn)在要從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5）間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間的概率.【答案】（1）（2）（萬元）（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程，能求出實(shí)數(shù)a的值；（2）利用頻率分布直方圖能求出平均數(shù)的估計(jì)值；（3）從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5)間用分層抽樣的方法抽取6人，則購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，4)間的有4人，記為，購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，通過列舉法求出抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4)間的概率.【小問1詳解】由題意知，，解得；【小問2詳解】平均數(shù)的估計(jì)值為(萬元)【小問3詳解】從購車補(bǔ)貼金額心理預(yù)期值在[3，5)間用分層抽樣的方法抽取6人，則購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，4）間的有4人，記為，購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，則基本事件有:共15種情況，其中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有共6種情況，所以抽到的2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有6種情況，所以抽到的2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3,4)間的概率為21.在如圖所示的六面體中，矩形平面，，，，．（1）設(shè)為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由線面平行的向量證明方法可證得結(jié)論；（2）利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】四邊形為矩形，，平面平面，平面平面，平面，平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，中點(diǎn)，；平面軸，平面的一個(gè)法向量，，即，BH不含于面ADEF平面.【小問2詳解】由（1）知：，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，；平面軸，平面的一個(gè)法向量，，即平面與平面所成角的余弦值為.22.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過.（1）求橢圓的方程；（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）6【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出橢圓方程，用待定系數(shù)法求解即可得解；（2）（i）根據(jù)題意只要證為鈍角即即可，求出坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可得證；（ii）求出四邊形面積，對面積的表達(dá)式變形利用基本不等式和對勾函數(shù)單調(diào)性求出最大值得解.【小問1詳解】由題