新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點精講精練 第03講 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性（高頻精講）（解析版）

第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 4第三部分：高頻考點一遍過 8高頻考點一：函數(shù)奇偶性 8角度1：判斷函數(shù)奇偶性 8角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式 10角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 13角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù) 15角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式 18高頻考點二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用 21角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值 21角度2：由函數(shù)周期性求解析式 24高頻考點三：函數(shù)的對稱性 26角度1：由函數(shù)對稱性求解析式 26角度2：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù) 27角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用 30第四部分：高考新題型 33溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)奇偶性定義奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點對稱）．（2）常用結(jié)論與技巧：①對數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來判斷奇偶性.②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）2、函數(shù)對稱性（異號對稱）（1）軸對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則①；②；③（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則①②③（2）點對稱：若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則①②③3、函數(shù)周期性（同號周期）（1）周期函數(shù)定義對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期，則（）也是這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧設(shè)函數(shù)，.①若，則函數(shù)的周期；②若，則函數(shù)的周期；③若，則函數(shù)的周期；④若，則函數(shù)的周期；⑤，則函數(shù)的周期第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（乙卷理）·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D2．（2021·全國（新高考Ⅱ）·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.3．（2021·全國（甲卷文）·高考真題）設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.4．（2021·全國（甲卷理）·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．5．（2021·全國（乙卷文理）·高考真題）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B6．（2022·全國（乙卷文）·高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】

；

．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：函數(shù)奇偶性角度1：判斷函數(shù)奇偶性典型例題例題1．（2023秋·廣東揭陽·高一校考期末）下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A項，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，故A項正確；對于B項，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，，所以不是偶函數(shù)，故B項錯誤；對于C項，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，，所以不是偶函數(shù)，故C項錯誤；對于D項，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，，所以是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故D項錯誤.故選:A.例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C．D．【答案】BC【詳解】對于A,的定義域為R,關(guān)于原點對稱，而，為偶函數(shù)，對于B,的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，為奇函數(shù)，對于C，的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，為奇函數(shù)，對于D,的定義域為R，關(guān)于原點對稱，而，不是奇函數(shù)，故選：BC例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的表達式，討論的奇偶性，并說明理由．【答案】答案見解析【詳解】定義域，當(dāng)時，，，是偶函數(shù)；當(dāng)時，，，，，是非奇非偶函數(shù)．練透核心考點1．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，是奇函數(shù)，B是；對于C，函數(shù)中，，解得，即的定義域為，，是奇函數(shù)，C是；對于D，函數(shù)的定義域為，，是奇函數(shù)，D是.故選：BCD2．（2023春·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1);(2).【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)【詳解】（1）解:由題知,所以定義域為:,因為,所以為偶函數(shù);（2）由題,可知定義域為:,因為,所以為奇函數(shù).3．（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．【答案】(1)(2)偶函數(shù)，理由見解析【詳解】（1）由解得函數(shù)的定義域為；（2）為偶函數(shù).由，定義域關(guān)于原點對稱，得函數(shù)為偶函數(shù)角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式典型例題例題1．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，所以①，又因為為奇函數(shù)，所以②，結(jié)合①，②得，，則.故選：B例題2．（多選）（2023秋·廣東深圳·高一校考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則（

）A．的最大值為1 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的解集為 D．當(dāng)時，【答案】ABC【詳解】解：函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，又當(dāng)時所以當(dāng)時，，故D錯誤；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)單調(diào)遞減，所以，由于偶函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)單調(diào)遞減，所以，的最大值為1，故A正確，B正確；當(dāng)時，，，解得，當(dāng)時，，解得，所以的解集為，故C正確.故選：ABC.例題3．（2023春·北京·高一校考開學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，求的解析式___________.【答案】【詳解】當(dāng)時，，由于是定義在R上的奇函數(shù)，，=；故答案為：=.例題4．（2023秋·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，.(1)求函數(shù)在上的解析式，并判斷其單調(diào)性（無需證明）；【答案】(1)函數(shù)在上的解析式為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【詳解】（1）設(shè)，則，所以，又因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，則函數(shù)在上的解析式為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；練透核心考點1．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式是_____________．【答案】【詳解】函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故答案為：.2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求函數(shù)的解析式；【答案】(1)【詳解】（1）設(shè)，則，，因為定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，即.3．（2023秋·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知為上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)當(dāng)時，求的解析式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時，，，又為上的偶函數(shù)，，即當(dāng)時，.4．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，試用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，則，而，解得，此時，，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.（2）由（1）知，而，則，，，因為，則，有，即，因此，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用典型例題例題1．（2023秋·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．2022 C．2023 D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，，則，而，所以.故選：C.例題2．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，解得：.故選：A.例題3．（2023秋·廣東湛江·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的值為__________．【答案】1【詳解】由題意知，，設(shè)，則，因為，所以為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以．故答案為：1.練透核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則______．【答案】【詳解】，則，，故答案為：.2．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎?，若，求______.【答案】-2017【詳解】令，則的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，從而，即，因為，所以.故答案為：.3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若奇函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值．【答案】最小值為；最大值為【詳解】因為為奇函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且最大值為7，最小值為4，所以，，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)的最小值為，最大值為，角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·湖北荊州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【詳解】是偶函數(shù)，，即，得．故選：D．例題2．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）如果為奇函數(shù)，那么__．【答案】【詳解】由題意知：的定義域為，又為奇函數(shù)，，解得：；當(dāng)時，，，，滿足為奇函數(shù)，.故答案為：.例題3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則__________（結(jié)果用數(shù)字表示）.【答案】【詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以，所以.故答案為：.例題4．（2023春·北京·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)___________【答案】4【詳解】因為函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，所以所以圖像關(guān)于對稱，即，即恒成立，化簡為當(dāng)時，，不可能恒成立，舍去；當(dāng)時，恒成立，，解得.故答案為：4.練透核心考點1．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知定義域為的奇函數(shù)，則_______.【答案】3【詳解】由題意，，是奇函數(shù)，則恒成立，即，恒成立，，，所以．故答案為：3.2．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的值；【答案】(1)【詳解】（1）因為為偶函數(shù)，且定義域為，所以對于，，即對恒成立，所以恒成立，因為不恒為零，所以.3．（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；【答案】(1)【詳解】（1）因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以即，整理得，則，解得.4．（2023秋·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；【答案】(1)(2)在上為減函數(shù)，證明見解析【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得.此時，，所以，所以是上的奇函數(shù)，故.（2）由（1）知，，任取，，且，則，因為，所以，即，又，，所以，即，所以在上為減函數(shù).角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2023秋·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增,則，有，解得，即不等式的解集為，故選：B例題2．（2023秋·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由，可得或解得或，即，故選：C.例題3．（2023春·新疆·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】因為當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增．而是定義在R上的奇函數(shù)，所以，且當(dāng)時，也單調(diào)遞增．因為，所以．的大致圖象如下：根據(jù)的單調(diào)性可知，不等式的解集為或，故選：C例題4．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集是___________.【答案】【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增,當(dāng)越遠離軸，越大，又，，解得或，即不等式的解集是.故答案為：.練透核心考點1．（2023春·廣東廣州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若定義在R的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為定義在R的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以由可得，故選：D2．（2023春·湖南長沙·高一長沙麓山國際實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的對稱軸為，又函數(shù)向右平移1個單位可得，函數(shù)的對稱軸為，且在上單調(diào)遞增，由得解得或故選：B.3．（2023秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，若、時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的，，所以，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且，由可得，即，即，所以，，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，由可得，故.故選：B.4．（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┤艉瘮?shù)f(x)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使成立的x的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】若函數(shù)f(x)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，則，解得；綜上所述：使成立的x的取值范圍是.故答案為：.高頻考點二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值典型例題例題1．（陜西省安康市2023屆高三下學(xué)期二模文科數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2．【答案】B【詳解】由及是奇函數(shù)得，，所以，所以是周期函數(shù)，周期為4，，故選：B．例題2．（陜西省安康市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為是定義域為R的偶函數(shù)，所以，故，所以的周期為，故.故選：C例題3．（廣東省廣州市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則_______________．【答案】1【詳解】因，則，得周期為，則，又時，，則.故答案為：1.練透核心考點1．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題）設(shè)f（x）是定義城為R的奇函數(shù)，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知，，，則，，變形可得，，的周期為：，，故選：.2．（山東省山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，則，且，又為偶函數(shù)，則，于是得，，因此函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)時，，則，，所以.故選：C3．（遼寧省阜新市第二十中學(xué)2023屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則_________．【答案】【詳解】因為，所以.因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以.即，故函數(shù)的周期為4.，故答案為：角度2：由函數(shù)周期性求解析式典型例題例題1．（2023秋·湖南郴州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，綜上所述，當(dāng)時，.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【詳解】由為奇函數(shù)知，∴，即，∴，∴是周期為3的周期函數(shù)，故，即，解得：..故選：B.例題3．（2022秋·江蘇無錫·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時，，則當(dāng)時，________.【答案】【詳解】當(dāng)時，，則，因為是定義域為R的偶函數(shù)，所以；當(dāng)時，，則，又的周期為2，所以；故答案為：.練透核心考點1．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知，則，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時，，且是定義在上的奇函數(shù)，所以時，，，所以當(dāng)時，，.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且滿足,當(dāng)時，，則當(dāng)時的最大值為A． B． C．1 D．0【答案】C【詳解】由，因此可以得到：，所以函數(shù)的周期為4，當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，函數(shù)的最大值為1.故選：C3．（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在上周期為的函數(shù)，當(dāng)時，，那么當(dāng)時，______.【答案】【詳解】解：因為當(dāng)時，,是定義在上周期為的函數(shù)所以，，故答案為：高頻考點三：函數(shù)的對稱性角度1：由函數(shù)對稱性求解析式典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在函數(shù)的圖象上任取一點，則點關(guān)于直線對稱的點為，且點在函數(shù)的圖象上，所以.故選：C.例題2．（2022·高一課時練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)不是常函數(shù)，且同時滿足：①的圖象關(guān)于對稱；②對任意，均存在使得成立.則函數(shù)______.（寫出一個符合條件的答案即可）【答案】（答案不唯一）【詳解】解：由對任意，均存在使得成立，可知函數(shù)的值域為或或，又的圖象關(guān)于對稱，∴符合要求.故答案為：(答案不唯一).例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足，則______.【答案】2【詳解】由于，故是函數(shù)的對稱軸，由于的對稱軸為，故，解得.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且滿足，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以的圖象關(guān)于對稱，而關(guān)于對稱，所以，.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：①；②在上是減函數(shù)；③.請寫出一個滿足以上條件的___________.【答案】【詳解】由可得關(guān)于對稱，所以開口向下，對稱軸為，且過原點的二次函數(shù)滿足題目中的三個條件，故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若在上時單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2)（1）解：因為，所以函數(shù)的對稱軸為：，函數(shù)的對稱軸為：，所以有，即.（2）解：，該函數(shù)的對稱軸為：，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，解得；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.角度2：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對任意的，，因為，則，因此，.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，則，又，所以，即，函數(shù)的周期為4，取，則，所以，則D選項正確，B、C選項錯誤；由已知條件不能確定的值，A選項錯誤；故選：D.例題3．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，若的圖像關(guān)于直線對稱，則_________.【答案】1【詳解】因為，令所以，所以，又的圖像關(guān)于直線對稱，所以，令，則，即，所以.故答案為：1.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對定義域內(nèi)任意的都有則實數(shù)等于（

）A．4 B．-4 C． D．【答案】B【詳解】則關(guān)于對稱，故故選：2．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，且函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于對稱，因為函數(shù)的定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，且，所以，故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且滿足，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以的圖象關(guān)于對稱，而關(guān)于對稱，所以，.故選：B.角度3：對稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①的一個周期為2

②③④直線是圖象的一條對稱軸A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因為偶函數(shù)，所以，則，即函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱，因為函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位，所以函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，則，且，對于①，，，則函數(shù)的周期，故①錯誤；對于②，，故②正確；對于③，，則，，則，由，則，故③正確；對于④，，而函數(shù)不是偶函數(shù)，所以不恒成立，故④錯誤.故選：B.例題2．（多選）（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】BC【詳解】依題意，上的函數(shù)，，則，函數(shù)的周期為4，A錯誤；因為函數(shù)是偶函數(shù)，則，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且，即，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，B正確；由得，則函數(shù)為偶函數(shù)，C正確；由得，由得，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，D錯誤.故選：BC例題3．（2023秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足是上的偶函數(shù)，且，則__________.【答案】##0.5【詳解】由題意，，在中，是奇函數(shù)，是偶