福建師范大學(xué)2024年2月課程考試《常微分方程》作業(yè)考核試題

《常微分方程》期末考試答題紙姓名：專(zhuān)業(yè)：學(xué)號(hào)：學(xué)習(xí)中心：成績(jī)：注意：全卷請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上作答，否則不得分！一、單項(xiàng)選擇題12345678910ABAABCDDCB11121314151617181920AABCDABACD2122232425AAAA二、求解下列微分方程1、；將方程重寫(xiě)為：dy/dx=6^(x-y)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，得到：ln|dy/dx|=(x-y)ln6再對(duì)方程進(jìn)行積分，得到：ln|y'|=(x-y)ln6+C其中，y'表示y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，C為積分常數(shù)。接下來(lái)需要解出y'，對(duì)上式兩邊同時(shí)取指數(shù)，得到：|y'|=e^[(x-y)ln6+C]由于y'必須為正數(shù)，所以可去絕對(duì)值，得到：y'=e^[(x-y)ln6+C]進(jìn)一步化簡(jiǎn)和移項(xiàng)，得到：dy/e^[(x-y)ln6]=dx對(duì)于等式左邊，進(jìn)行變量代換，令u=x-y，則du/dx=1-dy/dx=1-6^(x-y)由于dy/dx=6^(x-y)，所以可以將右邊代入，得到：du/dx=1-dy/dx=1-y'將等式右邊代入并移項(xiàng)，得到：dy/e^[uln6]+y'/e^[uln6]=1再對(duì)等式兩邊進(jìn)行積分，得到：∫[dy/e^[uln6]]+∫[y'/e^[uln6]]=∫dx對(duì)左邊第一項(xiàng)進(jìn)行換元，令t=e^[uln6]=6^u，則dt=6^udu，代入后得到：∫[1/t]dt=ln|t|+C1對(duì)左邊第二項(xiàng)進(jìn)行換元，令v=e^[uln6]=6^u，則dv=u'6^udu，代入后得到：∫[1/v]vdv=∫u'6^udu∫[1/v]vdv=ln|v|+C2由于v=e^[uln6]，所以v=6^u，代入得到：∫[1/6^u]6^udu=∫u'6^udu化簡(jiǎn)可得：∫[1/6^u]6^udu=u+C3將上述結(jié)果代回原方程中，得到：ln|t|+C1+ln|v|-C2+C3=x+C4化簡(jiǎn)可得：ln(tv)=x+C5由于t=6^u，v=6^u，所以tv=(6^u)^2=6^(2u)因此，可得到最終結(jié)果為：ln(6^(2u))=x+C6化簡(jiǎn)得到：2uln6=x+C6即最終的解為：u=(x+C6)/(2ln6)由于u=x-y，所以可得到y(tǒng)=x-(x+C6)/(2ln6)=(C6-x)/(2ln6)因此，dy/dx=6^(x-y)的通解為：y=(C6-x)/(2ln6)，其中C6為任意常數(shù)。2、；首先我們?cè)O(shè)dx/dt=v，那么d^2x/dt^2=dv/dt。將方程轉(zhuǎn)化為：dv/dt+v+x=0然后我們對(duì)上述方程進(jìn)行變量替換，令u=v+x，則du/dt=dv/dt+dx/dt=dv/dt+v。將變量替換后的方程帶入，得到：du/dt+u=0這是一個(gè)一階線性常微分方程，可以使用分離變量的方法求解。將方程重寫(xiě)為：du/u=-dt對(duì)方程兩邊同時(shí)積分，得到：∫(1/u)du=-∫dt得到ln|u|=-t+C1，其中C1為積分常數(shù)。再將u=v+x代回，得到ln|v+x|=-t+C1對(duì)上式兩邊同時(shí)取指數(shù)，得到：|v+x|=e^(-t+C1)由于v+x可能為正或負(fù)，所以去掉絕對(duì)值，得到：v+x=e^(-t+C1)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：v=e^(-t+C1)-x由于v=dx/dt，所以可以得到：dx/dt=e^(-t+C1)-x這是一個(gè)一階常微分方程，可以使用變量分離的方法求解。將方程重寫(xiě)為：dx/(e^(-t+C1)-x)=dt對(duì)方程兩邊同時(shí)積分，得到：∫(1/(e^(-t+C1)-x))dx=∫dt對(duì)左邊的積分進(jìn)行換元，令u=e^(-t+C1)-x，則du=-e^(-t+C1)dt，代入后得到：-∫(1/u)du=∫dt得到-ln|u|=t+C2，其中C2為積分常數(shù)。再將u=e^(-t+C1)-x代回，得到-ln|e^(-t+C1)-x|=t+C2對(duì)上式兩邊同時(shí)取指數(shù)，得到：|e^(-t+C1)-x|=e^(t+C2)由于e^(-t+C1)-x可能為正或負(fù)，所以去掉絕對(duì)值，得到：e^(-t+C1)-x=e^(t+C2)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：e^(-t+C1)=x+e^(t+C2)移項(xiàng)得到：e^(-t+C1)-e^(t+C2)=x化簡(jiǎn)可得：e^(C1-t)-e^(C2+t)=x由于C1和C2為任意常數(shù)，設(shè)A=e^C1和B=e^C2，則上式可以表示為：Ax-Bx=x化簡(jiǎn)可得：(A-B)x=x由于等式成立，可以得到A-B=1，即A=B+1。因此，最終的解為：x=(A-B)/(A-1)，其中A和B為任意常數(shù)。3、；首先，我們?cè)O(shè)dy/dx=v，那么d^2y/dx^2=dv/dx。將方程轉(zhuǎn)化為：dv/dx+y=4sinx然后我們對(duì)上述方程進(jìn)行變量替換，令u=y，則du/dx=dy/dx=v。將變量替換后的方程帶入，得到：dv/dx+u=4sinx這是一個(gè)一階線性常微分方程，可以使用常數(shù)變易法求解。首先，我們求解齊次方程：dv/dx+u=0對(duì)齊次方程進(jìn)行求解，得到特征方程λ+1=0，解得λ=-1.因此齊次方程的通解為u_h(x)=C1*e^(-x)，其中C1為常數(shù)。接下來(lái)，我們尋找非齊次方程的特解。由于非齊次方程右側(cè)為4sinx，我們猜測(cè)特解形式為u_p(x)=A*sinx+B*cosx，其中A和B為待定系數(shù)。帶入非齊次方程，得到：d(A*sinx+B*cosx)/dx+A*sinx+B*cosx=4sinx化簡(jiǎn)可得：A*cosx-B*sinx+A*sinx+B*cosx=4sinx整理得到：(A+B)*cosx+(A-B)*sinx=4sinx由于等式左側(cè)必須等于等式右側(cè)，所以可以得到以下方程組：A+B=0A-B=4解方程組可得A=2，B=-2。因此，非齊次方程的一個(gè)特解為u_p(x)=2*sinx-2*cosx。最終的通解為u(x)=u_h(x)+u_p(x)=C1*e^(-x)+2*sinx-2*cosx。由于u=y，所以最終的通解為y(x)=C1*e^(-x)+2*sinx-2*cosx，其中C1為常數(shù)。4、5.給定一階微分方程：（1）求出它的通解；求通過(guò)點(diǎn)（2，3）的特解；求出與直線y=2x+3相切的解；求出滿足條件的解。

《常微分方程》期末考試試卷注意：全卷請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上作答，否則不得分！一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共60分）1.是階微分方程.A.一階;B.二階；C.三階；D.四階.2.給定微分方程，它的通解是.A.B.C.D.3.微分方程A.B.C.D.以上都不對(duì)。4.方程A.B.C.D.5.微分方程A.B.C.D.6.微分方程A.B.C.D.7.微分方程A.B.C.D.8.微分方程的通解為。A.B.C.D.9.微分方程A.B.C.D.10.設(shè)A.B.C.D.11.以為通解的二階微分方程為.A.B.C.D.12.以通解的二階微分方程為.A.B.C.D.13.方程通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第二次近似解.A.B.C.D.14.方程通過(guò)點(diǎn)(1,1)的解的存在區(qū)間。A.B.C.D.15.方程通過(guò)點(diǎn)(3,-1)的解的存在區(qū)間。A.B.C.D.16.n階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是個(gè)．A.nB.n-1C.n+1D.n+217.李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的條件．A.充分B.必要C.充分必要D.必要非充分18.下列方程是線性微分方程.A.B.C.D.19.方程A.可分離變量方程B.全微分方程C.一階線性微分方程D.貝努利方程20.n階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)線性空間．A.n+2維B.n+1維C.n-1維D.n維21.線性方程組通解是.A.B.C.D.22.方程組的基解矩陣是.A.B