第四節(jié)-屈服準(zhǔn)則-2015

1本節(jié)主要內(nèi)容第四節(jié)屈服準(zhǔn)則金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則基本概念★★屈雷斯加屈服準(zhǔn)則★★★米塞斯屈服準(zhǔn)則★★★屈服準(zhǔn)則的幾何描述★★屈服準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與比較★應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則★掌握標(biāo)準(zhǔn)★★★要求熟練掌握并能應(yīng)用★★要求熟練掌握★

要求了解2

因此，單向拉伸時(shí)，當(dāng)應(yīng)力σ1達(dá)到σs值時(shí)材料開(kāi)始屈服。故σ1=σs就是單向拉伸時(shí)的屈服準(zhǔn)則。

材料受外力作用，發(fā)生彈性、塑性變形，那么在什么條件下發(fā)生塑性變形？這是大家關(guān)心的問(wèn)題。4.1基本概念大家知道，單向拉伸時(shí)，只要拉應(yīng)力達(dá)到屈服點(diǎn)σs時(shí)，則該點(diǎn)開(kāi)始由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)，即處于屈服。3

因此，單向拉伸時(shí)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得屈服條件。

4

而在多向應(yīng)力狀態(tài)下，顯然不能用某一個(gè)應(yīng)力分量來(lái)判斷受力物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)是否進(jìn)入塑性狀態(tài)。多向應(yīng)力狀態(tài)下，屈服準(zhǔn)則便取決于六個(gè)應(yīng)力分量的組合。5定義：屈服準(zhǔn)則是描述不同應(yīng)力狀態(tài)下變形體某點(diǎn)從彈性進(jìn)入塑性狀態(tài)并使?fàn)顟B(tài)繼續(xù)進(jìn)行，應(yīng)力分量所必須遵守的條件。屈服準(zhǔn)則又稱屈服條件或塑性條件。金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則6數(shù)學(xué)表達(dá)式C為與材料性能有關(guān)而與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)的常數(shù)對(duì)于各向性材料，一般f(σij)是應(yīng)力張量不變量的函數(shù)，與第二、第三不變量有關(guān)，與坐標(biāo)軸選擇無(wú)關(guān)……(4.1)屈服函數(shù)7金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則

屈服準(zhǔn)則可用主應(yīng)力來(lái)表示又因J1′=σ1′+σ2′+σ3′=0∴因靜水壓力（球張量）不影響屈服，故屈服準(zhǔn)則只是應(yīng)力偏張量的函數(shù)。8質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)

質(zhì)點(diǎn)處于塑性狀態(tài)

在實(shí)際變形中不存在

說(shuō)明：

屈服準(zhǔn)則是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言的，當(dāng)某區(qū)域中的質(zhì)點(diǎn)全部滿足屈服條件時(shí)，該區(qū)域才開(kāi)始變形。即：質(zhì)點(diǎn)屈服——部分區(qū)域屈服——整體屈服9屈服準(zhǔn)則是求解塑性成形問(wèn)題必要的補(bǔ)充方程

目前，公認(rèn)的屈服準(zhǔn)則有兩種：

Tresca準(zhǔn)則

Mises準(zhǔn)則Tresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則104-2材料性質(zhì)的基本概念1

理想彈塑性材料：進(jìn)入塑性狀態(tài)后，應(yīng)力不再增加?！m用于熱變形時(shí)的小變形，如圖b2

理想剛塑性材料：塑性變形前，無(wú)彈性變形?！m用于熱變形時(shí)的大變形，如圖c113硬化的彈塑性材料：塑性變形時(shí)，產(chǎn)生硬化的材料?！m用于冷變形時(shí)的小變形，如圖d4

硬化的剛塑性材料：塑性變形前，無(wú)彈性變形；塑性變形時(shí)，產(chǎn)生硬化的材料?！m用于冷變形時(shí)的大變形，如圖e12b理想彈塑性a實(shí)際金屬材料②①d彈塑性硬化c理想剛塑性e剛塑性硬化真實(shí)應(yīng)力真實(shí)應(yīng)變有物理屈服點(diǎn)無(wú)明顯物理屈服點(diǎn)132、數(shù)學(xué)表達(dá)式：4-3.Tresca屈服準(zhǔn)則（最大剪應(yīng)力不變條件）1、理論描述：在一定變形條件下（溫度、速度等），金屬的塑性變形只有當(dāng)變形體內(nèi)的最大剪應(yīng)力達(dá)到一定值時(shí)，才有可能產(chǎn)生，該值由變形體性質(zhì)而定，與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。1864年，法國(guó)工程師屈雷斯加……(4.2)143、“C”值確定則或……(4.3)……(4.4)式（4.3）、式（4.4），稱為屈雷斯加屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式，式中K為材料屈服時(shí)的最大切應(yīng)力值，即剪切屈服強(qiáng)度將其代入（4.2）式，解得取最簡(jiǎn)單形式，單向拉伸時(shí)154、Tresca普遍表達(dá)式

金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則Tresca準(zhǔn)則又稱主應(yīng)力差不變條件。式中三個(gè)式子中只要滿足一個(gè)，該點(diǎn)即進(jìn)入塑性狀態(tài)。當(dāng)主應(yīng)力不知時(shí)，上述Tresca準(zhǔn)則不便使用材料2010.第5周3.28，，29、30節(jié)16對(duì)于平面變形及主應(yīng)力為異號(hào)的平面應(yīng)力問(wèn)題屈雷斯加屈服準(zhǔn)則可寫(xiě)成……(4.6)17屈服Tresca屈服準(zhǔn)則,寫(xiě)出Tresca數(shù)學(xué)表達(dá)式

屈服準(zhǔn)則18

某理想塑性材料的屈服應(yīng)力為σs=100（MPa），試用屈雷斯加判斷下列應(yīng)力狀態(tài)處于什么狀態(tài)（是否存在、彈性或塑性）。注:應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

MPa=106N/m219下圖中，屬于理想剛塑性材料是（）圖，適用

-屬于硬化的彈塑性材料是（）圖，適用

-屬于理想彈塑性材料是（）圖，適用

-屬于硬化的剛塑性材料是（）圖，適用

-20下列提法相互間是完全等同的呢？還是有差別的呢？各用于何處？試各舉一例。（1）理想彈塑性材料（2）理想剛塑性材料（3）ν=1/2（4）忽略體積變形（5）忽略彈性變形21下列屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式哪些相互間是完全等同的。哪些是有差別的。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）224—3米塞斯（Mises）屈服準(zhǔn)則（彈性形變能不變條件）

在一定的變形條件下，當(dāng)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力偏張量的第二不變量J2ˊ達(dá)到某一定值時(shí)，該點(diǎn)就進(jìn)入塑性狀態(tài)。

也可描述為：在一定的變形條件下，當(dāng)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的等效應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，該點(diǎn)就進(jìn)入塑性狀態(tài)。該值與金屬材料性質(zhì)有關(guān)，與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)。1.理論描述金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則1913年，德國(guó)力學(xué)家米塞斯23屈服函數(shù)為：

應(yīng)力偏張量第二不變量為

:……(4.7)2、數(shù)學(xué)表達(dá)式：243.“C”值的確定對(duì)于單向拉伸

將上式代入(4.7a)得

用主應(yīng)力表示

……(4.7a)25金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則+==4.普遍表達(dá)式265、Mises屈服準(zhǔn)則的物理意義：Mises未考慮其物理意義，1924年漢基（H.Hencky）解釋為：1）在一定的變形條件下，當(dāng)材料的單位體積形狀改變的彈性位能達(dá)到某臨界值時(shí)，材料開(kāi)始屈服。27設(shè)單位體積內(nèi)總的變形位能為An其中體積變化位能為Av其中形狀變化位能為Aφ（彈性形變能）即28選主軸為坐標(biāo)軸，由彈性理論可知，則總的變形位能……(b)在彈性范圍內(nèi)，有廣義虎克定律……(a)將（b）代入（a）（即消除正應(yīng)變?chǔ)牛?，整理后得…?c)……(b)……(a)3030……(d)式（d）可簡(jiǎn)化為體積變化（由球張量引起）位能上式中31……(e)……(f)……(g)將式（c）、式（e）代入式（a），整理后得上式表明，單位體積的彈性形變能達(dá)到常數(shù)時(shí)，該材料就開(kāi)始處于屈服狀態(tài)。這也是從能量的角度說(shuō)明米塞斯準(zhǔn)則的物理意義。故將米塞斯稱為能量準(zhǔn)則或能量條件。屈服時(shí)彈性形變能：=常數(shù)金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則2)八面體剪應(yīng)力達(dá)到定值，材料屈服上式表明在塑性變形時(shí)，主剪應(yīng)力的平方和等于流動(dòng)應(yīng)力平方的一半。用主剪應(yīng)力可以表示為333)等效應(yīng)力達(dá)到定值，材料屈服34

1）兩準(zhǔn)則都是不變量的函數(shù)

2）兩準(zhǔn)則都與主應(yīng)力大小順序的選擇無(wú)關(guān)

3）兩準(zhǔn)則都與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)1.兩準(zhǔn)則的共同特點(diǎn)6.

Tresca、Mises屈服準(zhǔn)則的比較352.兩準(zhǔn)則的不同點(diǎn):屈雷斯加屈服準(zhǔn)則未考慮中間應(yīng)力使用不方便米塞斯屈服準(zhǔn)則考慮中間應(yīng)力使用方便

1）

2）+==36

某理想塑性材料的屈服應(yīng)力為σs=100（MPa），試分別用屈雷斯加及米塞斯準(zhǔn)則判斷下列應(yīng)力狀態(tài)處于什么狀態(tài)（是否存在、彈性或塑性）。37例題：試判斷下列中的主應(yīng)力狀態(tài)是彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)。（a）（b）（c）（d）38解：利用米塞斯屈服準(zhǔn)則判別：1）對(duì)于圖（a）代入米塞斯屈服準(zhǔn)則得滿足米塞斯屈服條件，所以處于塑性狀態(tài)。392）對(duì)圖（b）代入米塞斯屈服準(zhǔn)則得滿足米塞斯屈服條件，所以處于塑性狀態(tài)。403）對(duì)于圖（c）不滿足米塞斯條件，所以處于彈性狀態(tài)。代入米塞斯屈服準(zhǔn)則得41代入米塞斯屈服準(zhǔn)則得不滿足米塞斯條件，所以處于彈性狀態(tài)。金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則按Tresca屈服準(zhǔn)則判別其結(jié)果如何？4）對(duì)于圖（d）424—4．屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)—屈服軌跡和屈服表面曲面或曲線到底是什么形狀？這是我們正要討論的問(wèn)題。屈雷斯加六角柱面密塞斯圓柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL43屈服表面：在σ1σ2σ3坐標(biāo)系中，屈服準(zhǔn)則函數(shù)在主應(yīng)力空間的幾何圖形稱為屈服表面。（空間圖形）如果應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)在屈服表面上，則該點(diǎn)開(kāi)始屈服。對(duì)于各向同性的理想塑性材料，屈服面是連續(xù)的，不隨塑性流動(dòng)而變化。44屈服軌跡：兩向應(yīng)力狀態(tài)屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式在主應(yīng)力坐標(biāo)平面上的幾何圖形是一封閉的曲線，稱屈服軌跡。（平面圖形）45一、兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡直線方程—組成六邊形Teresa準(zhǔn)則ACEGIKσ1σ24647BDHJACEGIKFLPσ1σ2sss=148金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則Mises屈服軌跡

Teresa屈服軌跡

49化簡(jiǎn)，得為橢圓方程

Mises準(zhǔn)則BDHJACEGIKFLPσ1σ2sss=150為了表達(dá)清楚，把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)45o，則新老坐標(biāo)的關(guān)系為上式為σ1ˊ-σ2ˊ坐標(biāo)平面上的橢圓方程。51純剪純剪Teresa六邊形和Mises橢圓，都叫屈服軌跡。幾何圖形顯示：Teresa六邊形內(nèi)接于Mises橢圓，也意味著在六個(gè)交點(diǎn)上，兩個(gè)準(zhǔn)則是一致的。(坐標(biāo)系是建立于σ1oσ2坐標(biāo)系中，圖中的任意一點(diǎn)P都表示任一兩向應(yīng)力狀態(tài)，用矢量OP表示。)52純剪純剪屈服軌跡的幾何意義：（1）當(dāng)一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)在屈服軌跡里面時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)。（2）P點(diǎn)在軌跡上即處于塑性狀態(tài)。（3）對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不能在圓柱面之外。53純剪ACEGIKFLPσ1σ2結(jié)論：圖中有12個(gè)特征點(diǎn)（其中六個(gè)重合、六個(gè)差別最大），各代表不同的應(yīng)力狀態(tài)。

1）單向拉、壓時(shí)，兩準(zhǔn)則無(wú)差異。即A、E、G、K四點(diǎn)。

2）兩向的等向拉、壓時(shí)，兩準(zhǔn)則無(wú)差異。即C、I兩點(diǎn)。

3）純剪狀態(tài)時(shí)，兩準(zhǔn)則差別最大，達(dá)15.5%。即F、L兩點(diǎn)。54對(duì)于T式差值為因?yàn)椋杭兗魰r(shí)

對(duì)于M式55

4）當(dāng)或時(shí)，即為平面應(yīng)變狀態(tài)兩準(zhǔn)則也差別最大(B、D、H、J)，達(dá)15.5%。

5）橢圓在六邊形外，意味著按Mises準(zhǔn)則要較大的應(yīng)力才能使材料屈服。56二、主應(yīng)力空間中的屈服表面

在三向應(yīng)力坐標(biāo)軸可構(gòu)成一個(gè)主應(yīng)力空間。一種應(yīng)力狀態(tài)（σ1，σ2，σ3)可用該空間中的一點(diǎn)P來(lái)表示，且可用矢量OP表示。設(shè)ON為第一象限的等傾線，PM垂直O(jiān)N，這時(shí)矢量OP可分解成矢量OM及MP，則OM就是應(yīng)力張量中的球張量，而MP為偏張量部分。

P（σ1

，σ2，σ3)OM球張量σ1=σ2=σ3MP為偏張量主應(yīng)力空間57證明：等傾線ON的方向余弦

而則等傾線ON上任意的點(diǎn)分量為：式中d沿ON線從原點(diǎn)到平面的距離。垂直于ON的任意平面的方程式為：主應(yīng)力空間σ3σ2σ1σ1σ2σ30PMN58當(dāng)即時(shí)材料就進(jìn)入屈服。由于靜水應(yīng)力不影響屈服，根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則59σ3σ2σ1σ1σ2σ30主應(yīng)力空間PMN靜水應(yīng)力不影響屈服，所以，以O(shè)N為軸線，以為半徑作一圓柱面，則此圓柱面上的點(diǎn)都滿足米塞斯屈服準(zhǔn)則，這個(gè)圓柱面就稱為主應(yīng)力空間中的米塞斯屈服表面。60屈服表面的幾何意義：（1）當(dāng)一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)在屈服表面里面時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)。（2）P點(diǎn)在表面上即處于塑性狀態(tài)。（3）對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不能在圓柱面之外。（4）當(dāng)物體承受三向等拉或等壓的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，即ON線上，不管其絕對(duì)值多大，都不可能發(fā)生塑性。主應(yīng)力空間中的屈服表面屈雷斯加六角柱面密塞斯圓柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL而對(duì)于Tresca有相同的處理，得到一個(gè)內(nèi)接于Mises屈服圓柱面的正六棱柱面，我們稱之為T(mén)resca屈服表面。61屈雷斯加六角柱面密塞斯圓柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL實(shí)際上，前面我們所討論的屈服軌跡是當(dāng)σ3=0，即屈服表面與σ1oσ2

的交線。屈服軌跡中的十二個(gè)特征點(diǎn)在屈服表面上就成了圓柱面的母線。其中通過(guò)A、C、E、G、I、K六點(diǎn)的母線就是六棱柱面的棱邊，它們都與坐標(biāo)軸相交。這六條母線上的點(diǎn)實(shí)際上都代表疊加了不同靜水壓力σ0的單向屈服應(yīng)力狀態(tài)。例如：A，G點(diǎn)的母線為（σ0±σ1，σ0，σ0）。特殊情況與面相交。這時(shí)，σ0=0，（±σ1，0，0），其共同的特點(diǎn)是兩個(gè)主應(yīng)力相等。62Tresca屈服表面Mises屈服表面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL63結(jié)論：

1、當(dāng)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有兩個(gè)相同的主應(yīng)力時(shí)，Mises屈服準(zhǔn)則與Tresca屈服準(zhǔn)則一致。

2、平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)（一個(gè)主應(yīng)力是另兩個(gè)的平均值）兩準(zhǔn)則相差最大，為15.5%

3、純剪狀態(tài)時(shí)，兩準(zhǔn)則差別最大，達(dá)15.5%。64三、π平面上的屈服軌跡π平面：在主應(yīng)力空間中，過(guò)原點(diǎn)并垂直于等傾線的平面稱π平面。屈雷斯加六角柱面密塞斯圓柱面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL65目的：更清楚的表示出屈服準(zhǔn)則的性質(zhì)?！噙^(guò)原點(diǎn)并垂直于等傾線即d=0時(shí)∵垂直于ON的任意平面的方程式為：為π平面方程π平面上球應(yīng)力等于0，即σm=0π平面方程：66故可代表應(yīng)力偏張量金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則AB為Ⅰ區(qū)：DABC（2）將平面分成6個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)間內(nèi)主應(yīng)力的大小互不相同（1）

圓的半徑σ1σ2σ367B點(diǎn)：兩準(zhǔn)則相同。C、D兩點(diǎn)，在角平分線上，為純剪狀態(tài)，兩準(zhǔn)則相差最大，達(dá)15.5%。對(duì)于Ⅰ區(qū)：A點(diǎn)：兩準(zhǔn)則相同AB為Ⅰ區(qū)DABC684-6中間應(yīng)力的影響Tresca準(zhǔn)則與Mises屈服準(zhǔn)則最主要的差別在于中間主應(yīng)力σ2是否有影響。假設(shè)主應(yīng)力σ1≧σ2≧σ3

，這時(shí)Tresca準(zhǔn)則寫(xiě)成:這時(shí)，我們可以看到中間主應(yīng)力σ2

在σ2=σ1

到σ2=σ3

之間任意變化而不影響材料的屈服。而在Mises準(zhǔn)則中σ2

是有影響的。69為了評(píng)價(jià)σ2

的影響，先應(yīng)找到一個(gè)能表征σ2變化的參數(shù)。該參數(shù)稱羅德應(yīng)力參數(shù)。aaa70=圖三向應(yīng)力莫爾圓即：上式的第一式表示用兩小莫爾圓半徑之差比大莫爾圓半徑；第二式分子是三向應(yīng)力莫爾圓中σ2到大圓圓心的距離。一、羅德應(yīng)力參數(shù)作三向應(yīng)力莫爾圓71當(dāng)σ2在σ1至σ3之間變化時(shí)，μσ在+1—-1之間變化

=上式也可表示為：μσ稱為L(zhǎng)ode(羅德參數(shù)）……(a)因此，μσ實(shí)際上表示了σ2

在莫爾圓中的相對(duì)位置變化。72代入Mises方程設(shè)—中間主應(yīng)力影響系數(shù)，其變化范圍為：1～1.155

化簡(jiǎn)得：則—與T準(zhǔn)則統(tǒng)一表達(dá)式，僅差應(yīng)力修正系數(shù)。由a式，可用μσ表示中間主應(yīng)力σ2

，即得：73兩準(zhǔn)則統(tǒng)一表達(dá)式對(duì)于Tresca屈服準(zhǔn)則，β≡1。Mises屈服準(zhǔn)則，β=1～1.155

2013.4.174Tresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則Lode參數(shù)75

當(dāng)σ2=σ1時(shí)，μσ=1，β=1，單向應(yīng)力狀態(tài)，疊加球張量。

當(dāng)σ2=σ3時(shí)，μσ=﹣1，β=1，單向應(yīng)力狀態(tài)，疊加球張量。

當(dāng)σ2=（σ1+σ3）/2時(shí)，μσ=0，，平面應(yīng)變狀態(tài)。

β的取值范圍1～1.155。二、β值的確定μσ和β的關(guān)系76中間主應(yīng)力μσβ應(yīng)力狀態(tài)σ2=σ1σ2=（σ1+σ3）/2σ2=σ310-111.1551圓柱體應(yīng)力狀態(tài)（單向應(yīng)力疊加靜水應(yīng)力）、兩準(zhǔn)則重合平面應(yīng)變狀態(tài)、兩準(zhǔn)則差別最大圓柱體應(yīng)力狀態(tài)（單向應(yīng)力疊加靜水應(yīng)力）、兩準(zhǔn)則重合表4-1中間主應(yīng)力對(duì)屈服準(zhǔn)則的影響（μσ與β的變化范圍）結(jié)論：從上表可以看出：中間主應(yīng)力對(duì)屈服準(zhǔn)則的影響

在單拉、壓及軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)，β=1，兩準(zhǔn)則重合

在純切狀態(tài)和平面應(yīng)變狀態(tài)，兩者差別最大：為15.5%77金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則對(duì)于Mises準(zhǔn)則：K=（0.5﹣0.577）σs對(duì)于Tresca準(zhǔn)則：K=0.5σs于是，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則可統(tǒng)一表達(dá)為：若用K表示屈服時(shí)的最大剪應(yīng)力：78設(shè)

則Mises準(zhǔn)則：

即

或

金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則1、平面應(yīng)力平面問(wèn)題和軸對(duì)稱問(wèn)題中，一些應(yīng)力分量或零或?yàn)槌?shù)，故屈服準(zhǔn)則可得到某些簡(jiǎn)化。4-7平面問(wèn)題和軸對(duì)稱問(wèn)題中的屈服準(zhǔn)則的簡(jiǎn)化79Tresca準(zhǔn)則為普通表達(dá)式：80或Mises準(zhǔn)則金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則2、平面應(yīng)變81Tresca準(zhǔn)則∵∴或又∵σ1>

σ3>

σ282Mises準(zhǔn)則，特殊情況下則為或金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則3、軸對(duì)稱狀態(tài)或83Tresca準(zhǔn)則仍為普通表達(dá)式：8485在第二章提到：塑性成形時(shí)材料的變形抗力與應(yīng)力狀態(tài)有著密切的關(guān)系?？捎们?zhǔn)則來(lái)解釋。設(shè)有兩個(gè)同材質(zhì)的單元體，其應(yīng)力狀態(tài)分別為三向壓縮和兩壓一拉（見(jiàn)圖3-26）。圖3-26三向同號(hào)和異號(hào)應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準(zhǔn)則86

根據(jù)屈服準(zhǔn)則可知，為了使該單元體發(fā)生塑性變形，對(duì)于三向壓力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：即：87對(duì)于而兩壓一拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：

即：

顯然，第一種情況下σ1的絕對(duì)值（即變形抗力）要比第二種情況下的大。88

還可以這樣理解：為了使滑移發(fā)生，滑移面上的剪應(yīng)力應(yīng)達(dá)到臨界值。在同號(hào)主應(yīng)力狀態(tài)下，各主應(yīng)力在滑移面上所引起的剪應(yīng)力分量總要相互抵消一部分；在異號(hào)主應(yīng)力狀態(tài)下卻是相互疊加的。因此，對(duì)于第一種情況，需要施加更大的外力（即增大σ1），方能使該面上剪應(yīng)力達(dá)到臨界值而發(fā)生滑移。894-8屈服準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證人類對(duì)屈服準(zhǔn)則的認(rèn)識(shí)曾有一段有趣的過(guò)程。

1864年Tresca提出最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則后，當(dāng)時(shí)已被普遍接受，但是當(dāng)在主應(yīng)力順序不知道時(shí)，使用是很困難的，又由于屈服軌跡是有角點(diǎn)的，不是一條光滑的曲線，在數(shù)學(xué)處理上較為困難，而且沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力對(duì)屈服準(zhǔn)則的影響90901913年，數(shù)學(xué)家Mises考慮Tresca準(zhǔn)則的六個(gè)頂點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)得到的，是有依據(jù)的，它為了數(shù)學(xué)處理方便用一個(gè)圓來(lái)代替六邊形，但是無(wú)法從物理角度來(lái)解釋，直到1924年，法國(guó)人漢蓋（Hencky）才用變形能的角度解釋了這一屈服準(zhǔn)則。直到1926年羅德

(Lode)

經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證實(shí)了Mises準(zhǔn)則與實(shí)驗(yàn)更加吻合。由此可以看出科學(xué)的抽象與假設(shè)在科學(xué)發(fā)展中的意義。9192939496直到1926年羅德

(Lode)證實(shí)了Mises準(zhǔn)則是準(zhǔn)確的。兩準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證比較是羅代在1926年首次用金屬銅、鐵，鎳的薄壁管的復(fù)合載荷（例如：拉伸與扭轉(zhuǎn)，拉伸與彎曲，拉伸與內(nèi)壓的復(fù)合等），下面，我們介紹兩種常用實(shí)驗(yàn)。即拉伸與內(nèi)壓的復(fù)合和薄壁管承受拉扭復(fù)合載荷的實(shí)驗(yàn)。97一、羅代實(shí)驗(yàn)（拉伸與內(nèi)壓的復(fù)合）若取縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為μσ，P2rtz97μσ和β的關(guān)系可以得到圖3-45兩曲線，其中1

線-Mises準(zhǔn)則，2

線-Tresca準(zhǔn)則。實(shí)驗(yàn)中采用不同的軸向拉力P與內(nèi)壓p，可得出各種應(yīng)力狀態(tài)下的μσ值及屈服點(diǎn)應(yīng)力按Tresca準(zhǔn)則為一水平線，即：按Mises準(zhǔn)則為一曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Mises準(zhǔn)則比較符合。

98P2rtz驗(yàn)證步驟：1分析應(yīng)力狀態(tài)，求兩準(zhǔn)則的屈服軌跡方程。薄壁管復(fù)合拉扭可視為平面應(yīng)力狀態(tài)，承受均勻拉應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ，利用莫爾圓求出σ1、σ2

、σ3

。二、泰勒實(shí)驗(yàn)（薄壁管承受拉扭復(fù)合載荷的實(shí)驗(yàn)）100100Tresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則101101代入Tresca準(zhǔn)則得：即為一橢圓方程.將σ1

、σ2

、σ3代入Mises準(zhǔn)則得：1022、分別作出兩準(zhǔn)則的幾何圖形（1/4圖形）

金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則即為Mises準(zhǔn)則橢圓方程.Tresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則104Taylor-Quinney實(shí)驗(yàn)結(jié)果鋼銅鋁0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021Taylor及Quinney實(shí)驗(yàn)資料(1931)1-Mises準(zhǔn)則2-Tresca準(zhǔn)則比較理論曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：

實(shí)驗(yàn)點(diǎn)更接近Mises準(zhǔn)則

實(shí)驗(yàn)點(diǎn)一般都落在兩屈服軌跡之間1053、確定屈服應(yīng)力σs

1）先施加一定的扭矩

2）施加拉力P，使材料屈服

3）加拉力后連續(xù)記錄載荷、扭角、及伸長(zhǎng)

4）換算成σ、γ、ε

5）由σ、γ、ε、τ求出等效應(yīng)力，等效應(yīng)變

6）做出—

曲線，確定出σs

7）將實(shí)驗(yàn)確定的σ/σs及τ/σs值記錄在在理論上的σ/σs及τ/σs圖。4、重復(fù)以上步驟，計(jì)下許多屈服點(diǎn)。

實(shí)驗(yàn)方法與步驟材料2011.4.14，第八周，3、4節(jié)106結(jié)論：1實(shí)驗(yàn)點(diǎn)一般都落在兩屈服軌跡之間。2實(shí)驗(yàn)說(shuō)明一般韌性材料（如銅、鎳、鋁、中碳鋼、鋁合金、銅合金等）與Mises條件符合較好。Tresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則1074—8應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則

以上我們所討論的Mises和Tresca屈服準(zhǔn)則都屬于各向同性理想材料。實(shí)際在塑性材料變形時(shí)，許多材料都屬于硬化材料。對(duì)于硬化材料，屈服軌跡的變化是很復(fù)雜的，目前的幾種假說(shuō)都還不能完美的得到實(shí)驗(yàn)說(shuō)明。常用的一種假說(shuō)是“各向同性硬化假說(shuō)”108

例如Mises和Tresca準(zhǔn)則的后續(xù)屈服邊界就是一系列的同心圓或正六邊形。屈服準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式：Y-為一變量（真實(shí)應(yīng)力或流動(dòng)應(yīng)力，也稱為后續(xù)屈服應(yīng)力），隨變形的增加而增大，與材料的性質(zhì)有關(guān)。109初始屈服服從上述屈服準(zhǔn)則硬化后，屈服準(zhǔn)則發(fā)生變化（變形過(guò)程每一刻都在變化）其軌跡或表面稱為后繼屈服表面或后續(xù)屈服軌跡。

初始屈服軌跡后繼屈服軌跡各向同性應(yīng)變硬化材料的后繼屈服軌跡各向同性硬化，即等向強(qiáng)化：1)：材料硬化后仍保持各向同性2）應(yīng)變硬化后屈服軌跡的中心位置和形狀不變110

如果初始屈服應(yīng)力為σs

，當(dāng)材料被加載后超過(guò)初始屈服應(yīng)力σs，產(chǎn)生塑性變形。這時(shí)卸載后再加載，則當(dāng)應(yīng)力達(dá)到σs時(shí)，材料并不屈服。例如加載到D點(diǎn)卸載后再加載，加載到B點(diǎn)并不屈服，只有加載到D點(diǎn)才屈服。硬化材料的特點(diǎn)：鋼材、銅材的拉拔就利用了材料硬化的特性。某些冷擠壓工藝的中間去應(yīng)力退火就是為了消除材料的硬化。111為加載，表示應(yīng)力狀態(tài)由初始屈服表面向外移動(dòng)，發(fā)生了塑性變形。為卸載，表示應(yīng)力狀態(tài)從屈服表面向內(nèi)移動(dòng)，產(chǎn)生彈性卸載。對(duì)于應(yīng)變硬化材料，應(yīng)力狀態(tài)有三種情況：當(dāng)當(dāng)當(dāng)表示應(yīng)力狀態(tài)保持在從屈服表面上移動(dòng)，對(duì)于應(yīng)變硬化材料，既不會(huì)產(chǎn)生塑性流動(dòng)，也不會(huì)發(fā)生彈性卸載，稱為中性變載（理想塑性材料為加載）。112對(duì)于理想塑性材料:塑性流動(dòng)繼續(xù)進(jìn)行，仍為加載不存在（不成立）為卸載，表示應(yīng)力狀態(tài)從屈服表面向內(nèi)移動(dòng)，產(chǎn)生彈性卸載。113例題：一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓p的作用（如圖），試分別求此圓筒內(nèi)壁開(kāi)始屈服及整個(gè)壁厚進(jìn)入屈服時(shí)的內(nèi)壓p（設(shè)材料單向拉伸時(shí)的屈服力為σs

）。解：先求應(yīng)力分量。根據(jù)平衡條件及投影原理可求得應(yīng)力分量為（在內(nèi)表面）（在外表面：自由表面）……(a)……(b)P2rtzPl—為薄壁圓筒的長(zhǎng)度當(dāng)外表面屈服時(shí)1141）由米塞斯屈服準(zhǔn)則即所以可求得……(c)……(d)P2rtz1152）由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則即所以可求得:116用同樣的方法可以求出內(nèi)表面開(kāi)始屈服時(shí)的p值此時(shí)1）按米塞斯屈服準(zhǔn)則2）按屈雷斯加屈服準(zhǔn)則P2rtzP117例題：一兩端封閉的薄壁圓筒（如圖），半徑為r=300mm，受內(nèi)壓p=35MP.求：設(shè)材料單向拉伸時(shí)的屈服力為σs=700MP,根據(jù)屈雷斯加屈服準(zhǔn)則，為確保薄壁圓筒處于彈性變形狀態(tài)，最小壁厚t為多少？P2rtzP118解：先求應(yīng)力分量。根據(jù)平衡條件及投影原理可求得應(yīng)力分量為（在內(nèi)表面）（在外表面：自由表面）……(a)……(b)P2rtzPl—為薄壁圓筒的長(zhǎng)度當(dāng)外表面屈服時(shí)119由屈雷斯加屈服準(zhǔn)則即所以可求得:t=15mm1201、已知下列應(yīng)力分量

，試求主應(yīng)力，并指出應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)。1212、一薄壁管，內(nèi)徑ф=80mm，壁厚4mm，承受內(nèi)壓P，材料的屈服應(yīng)力為σs=200MPa，現(xiàn)忽略管壁上的徑向應(yīng)力（即設(shè)σρ=0）。試用Tresca屈服準(zhǔn)則求出下列情況下管子屈服時(shí)的P：（1）管子兩端自由；（2）管子兩端封閉；（3）管子兩端加100KN的壓力。1223、某理想塑性材料的屈服應(yīng)力為σs=100（MPa），試分別用屈雷斯加及米塞斯準(zhǔn)則判斷下列應(yīng)力狀態(tài)處于什么狀態(tài)（是否存在、彈性或塑性）。（1）（2）（3）（4）（MPa）1235、已知薄壁圓球，半徑為r0，厚度為t0，受內(nèi)壓P的作用。當(dāng)薄壁球按屈雷斯加屈服準(zhǔn)則進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，P值為多少？4、一薄壁管承受拉扭的復(fù)合載荷作用而屈服，管壁受均勻的拉應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，試寫(xiě)出這種情況下的屈雷斯加和米塞斯屈服準(zhǔn)則表達(dá)式。124解：將各應(yīng)力分量代入應(yīng)力張量不變量公式（3-14），可解得1、已知下列應(yīng)力分量

，試求主應(yīng)力，并指出應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)。125將解得的J1、J2、J3代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程式（3-15），得

解得：

為單向應(yīng)力狀態(tài)126127將解得的J1、J2、J3代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程式（3-15），得

解得：

為純剪切應(yīng)力狀態(tài)128P2rtz2、一薄壁管，內(nèi)徑ф=80mm，壁厚4mm，承受內(nèi)壓P，材料的屈服應(yīng)力為σs=200MPa，現(xiàn)忽略管壁上的徑向應(yīng)力（即設(shè)σρ=0）。試用Tresca屈服準(zhǔn)則求出下列情況下管子屈服時(shí)的P：（1）管子兩端自由；（2）管子兩端封閉；（3）管子兩端加100KN的壓力。129P圓筒的內(nèi)表面首先產(chǎn)生屈服，然后向外層擴(kuò)展，當(dāng)外表面產(chǎn)生屈服時(shí)，整個(gè)圓筒就開(kāi)始塑性變形。解：先求應(yīng)力分量。130（1）管子兩端自由；由Tresca屈服準(zhǔn)則Pz131（2）管子兩端封閉；由Tresca屈服準(zhǔn)則P2rtzP132（3）管子兩端加100KN的壓力。Pz∴1333、某理想塑性材料的屈服應(yīng)力為σs=100（MPa），試分別用屈雷斯加及米塞斯準(zhǔn)則判斷下列應(yīng)力狀態(tài)處于什么狀態(tài)（是否存在、彈性或塑性）。（1）（2）（3）（4）（MPa）134解（1）屈雷斯加準(zhǔn)則米塞斯準(zhǔn)則

塑性塑性135（2）彈性彈性屈雷斯加準(zhǔn)則米塞斯準(zhǔn)則

136（3）米塞斯準(zhǔn)則

屈雷斯加準(zhǔn)則137（4）屈雷斯加準(zhǔn)則不存在不存在米塞斯準(zhǔn)則

1384、一薄壁管承受拉扭的復(fù)合載荷作用而屈服，管壁受均勻的拉應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，試寫(xiě)出這種情況下的屈雷斯加和米塞斯屈服準(zhǔn)則表達(dá)式。薄壁管受軸向拉力和扭矩作用PPMM139σ3σσ1τOB(s,-τ)ττOxyssA(0,τ)圓心解：利用應(yīng)力莫爾圓求出主應(yīng)力140屈雷斯加準(zhǔn)則：米塞斯準(zhǔn)則：代入兩準(zhǔn)則141實(shí)際上，上述兩準(zhǔn)則是兩橢圓方程。鋼銅鋁0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021Taylor及Quinney實(shí)驗(yàn)資料(1931)1-Mises準(zhǔn)則2-Tresca準(zhǔn)則1425、已知薄壁圓球，半徑為r，厚度為t，受內(nèi)壓P的作用。當(dāng)薄壁球按屈雷斯加屈服準(zhǔn)則進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，P值為多少？2r0圓外壁得P1431445、已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試寫(xiě)出其應(yīng)力偏量并畫(huà)出主應(yīng)變簡(jiǎn)圖。(10分)145146例題3-3一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓p的作用（如圖），試分別求此圓筒內(nèi)壁開(kāi)始屈服及整個(gè)壁厚進(jìn)入屈服時(shí)的內(nèi)壓p（設(shè)材料單向拉伸時(shí)的屈服力為σs

）。

解

：

先求應(yīng)力分量。在筒壁選取一單元體，采用圓柱坐標(biāo)，單元體上的應(yīng)力分量

根據(jù)平衡條件可求得應(yīng)力分量為金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則l—為薄壁圓筒的長(zhǎng)度147σr沿壁厚為線性分布，

內(nèi)表面

在外表面圓筒的內(nèi)表面首先產(chǎn)生屈服，然后向外層擴(kuò)展，當(dāng)外表面產(chǎn)生屈服時(shí)，整個(gè)圓筒就開(kāi)始塑性變形。由Mises屈服準(zhǔn)則金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則148由Tresca屈服準(zhǔn)則2）在內(nèi)表面用同樣的方法也可以求出內(nèi)表面開(kāi)始屈服時(shí)的p值，此時(shí)金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則149按Mises準(zhǔn)則按Tresca屈服準(zhǔn)則金屬塑性成形原理屈服準(zhǔn)則150（3）管子兩端加100KN的壓力。z