江蘇省無錫市天一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末檢測(cè)試題含解析

江蘇省無錫市天一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從中任取2個(gè)球，則這2個(gè)球中有白球的概率是A． B． C． D．2．已知集合，，則＝（）A． B． C． D．3．設(shè).若函數(shù)，的定義域是.則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，都是增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)B．若，都是減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)C．若，都是奇函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)D．若，都是偶函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù)4．從1，2，3，4，5中不放回地依次選取2個(gè)數(shù)，記事件“第一次取到的是奇數(shù)”，事件“第二次取到的是奇數(shù)”，則（）A． B． C． D．5．（）A．1 B． C． D．6．已知某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．3 D．9．若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡一定不可能是（）A．除兩點(diǎn)外的圓 B．除兩點(diǎn)外的橢圓C．除兩點(diǎn)外的雙曲線 D．除兩點(diǎn)外的拋物線10．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值11．某大學(xué)中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為5:4:3:1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本，則應(yīng)抽二年級(jí)的學(xué)生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人12．有一個(gè)奇數(shù)列，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)；第二組含二個(gè)數(shù)；第三組含有三個(gè)數(shù)；第四組數(shù)有試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與組的編號(hào)數(shù)有什么關(guān)系（）A．等于 B．等于 C．等于 D．等于二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為了了解家庭月收入（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄（單位：千元）的關(guān)系，從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，據(jù)此估計(jì)該家庭的月儲(chǔ)蓄為__________千元.14．已知直線過點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則原點(diǎn)到直線的距離為______．15．在極坐標(biāo)系中，直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為__________．16．已知函數(shù)，，若方程有個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“中國人均讀書4.3本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書），比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計(jì)在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某校20名同學(xué)的數(shù)學(xué)和英語成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩⑦@20名同學(xué)的兩顆成績(jī)繪制成散點(diǎn)圖如圖：根據(jù)該校以為的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)與英語成績(jī)線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)椋⒄Z平均成績(jī)，考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號(hào)為的同學(xué)與學(xué)號(hào)為的同學(xué)（分別對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖中的）在英語考試中作弊，故將兩位同學(xué)的兩科成績(jī)?nèi)∠?取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與英語成績(jī)的平均數(shù)；取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求數(shù)學(xué)成績(jī)x與英語成績(jī)y的線性回歸直線方程，并據(jù)此估計(jì)本次英語考試學(xué)號(hào)為8的同學(xué)如果沒有作弊的英語成績(jī).（結(jié)果保留整數(shù)）附：位同學(xué)的兩科成績(jī)的參考數(shù)據(jù)：參考公式：20．（12分）一個(gè)袋子裝有大小形狀完全相同的9個(gè)球，其中5個(gè)紅球編號(hào)分別為1,2,3,4,5；4個(gè)白球編號(hào)分別為1,2,3,4，從袋中任意取出3個(gè)球．（I）求取出的3個(gè)球編號(hào)都不相同的概率；（II）記為取出的3個(gè)球中編號(hào)的最小值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)若曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為6，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）如圖，在正三棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)為底面中心.（1）求正三棱錐的體積；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先計(jì)算從中任取2個(gè)球的基本事件總數(shù)，然后計(jì)算這2個(gè)球中有白球包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2個(gè)球中有白球的概率．【題目詳解】解：一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，將4紅球編號(hào)為1，2，3，4；2個(gè)白球編號(hào)為5，1．從中任取2個(gè)球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個(gè)球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個(gè)，這2個(gè)球中有白球的概率是．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

先計(jì)算集合N，再計(jì)算得到答案.【題目詳解】故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.3、C【解題分析】

根據(jù)題意得出，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，綜合即可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意可知，，則，據(jù)此依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)、都是增函數(shù)，可得圖象均為上升，則函數(shù)為增函數(shù)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)、都是減函數(shù)，可得它們的圖象都是下降的，則函數(shù)為減函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若函數(shù)、都是奇函數(shù)，則函數(shù)不一定是奇函數(shù)，如，，可得函數(shù)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若函數(shù)、都是偶函數(shù)，可得它們的圖象都關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，D選項(xiàng)正確．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，解題時(shí)要理解題中函數(shù)的定義，考查判斷這些基本性質(zhì)時(shí)，可以從定義出發(fā)來理解，也可以借助圖象來理解，考查分析問題的能力，屬于難題．4、A【解題分析】分析：利用條件概率公式求.詳解：由條件概率得=故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)條件概率的公式:=.5、D【解題分析】

根據(jù)微積分基本原理計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、B【解題分析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【題目詳解】由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．【題目點(diǎn)撥】隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機(jī)變量在這一區(qū)間上概率．7、A【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；據(jù)此分3種情況討論，計(jì)算可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由加法原理，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=6種安排方法，甲在星期三有A22=2種安排方法，總共有12+6+2=20種；故選A．8、D【解題分析】分析：作出三視圖的直觀圖，然后根據(jù)組合體計(jì)算體積即可.詳解：如圖所示：由一個(gè)三棱柱截取G-DEF三棱錐后所剩下的圖形，故該幾何體的體積為：，故答案為選D.點(diǎn)睛：考查三視圖還原為直觀圖后求解體積的計(jì)算，對(duì)直觀圖的準(zhǔn)確還原是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.9、D【解題分析】

根據(jù)題意可分別表示出動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的連線的斜率,根據(jù)其之積為常數(shù)，求得和的關(guān)系式，對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論，分別討論且和時(shí)，可推斷出點(diǎn)的軌跡.【題目詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為常數(shù)，所以，整理得，當(dāng)時(shí)，方程的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，且方程的軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，或的指數(shù)必有一個(gè)是1,故點(diǎn)的軌跡一定不可能是拋物線，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直接法求軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法①求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的.10、D【解題分析】

則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減11、C【解題分析】

要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本,

則應(yīng)抽二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為:

(人).

故答案為80.12、B【解題分析】第組有個(gè)數(shù)，第組有個(gè)數(shù)，所以前組的數(shù)字個(gè)數(shù)是，那么前組的數(shù)字和是，所以前組的數(shù)字個(gè)數(shù)是，那么前組的數(shù)字和是，那么第組的數(shù)字和是，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

直接代入即得答案.【題目詳解】由于，代入，于是得到，故答案為1.7.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程的理解，難度很小.14、【解題分析】

求出直線的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出原點(diǎn)到直線的距離.【題目詳解】由于直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，因此，原點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離的計(jì)算，同時(shí)也考查了直線方向向量的應(yīng)用，解題時(shí)要根據(jù)題中條件得出直線的斜率，并寫出直線的方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解題分析】分析：把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得它到直線的距離即可．詳解：把直線的方程化為直角坐標(biāo)方程得，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得．點(diǎn)睛：本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、.【解題分析】

根據(jù)和的圖象，可得當(dāng)且僅當(dāng)有四解時(shí)，符合題意．令，此時(shí)，，，，根據(jù)判別式可列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求的取值范圍.【題目詳解】解：，，可得在遞增，在遞減，則的圖象如下：當(dāng)時(shí)，圖象如圖，此時(shí)無解，不符合題意當(dāng)時(shí)，圖象如圖，此時(shí)無解，不符合題意當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：令，當(dāng)時(shí)，方程只有一解，當(dāng)且僅當(dāng)有四解時(shí)，符合題意．此時(shí)四解，，，．則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)30;(2)54,55;(3)的分布列如下：012數(shù)學(xué)期望【解題分析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在[40，70）的頻率為（0.020+0.030+0.025）×10，進(jìn)而得出40

名讀書者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．（2）40

名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．計(jì)算頻率為處所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)即可得出中位數(shù)．（3）年齡在[20，30）的讀書者有2人，年齡在[30，40）的讀書者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超幾何分布列計(jì)算公式即可得出．試題解析：（1）由頻率分布直方圖知年齡在的頻率為，所以40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)為.（2）40名讀書者年齡的平均數(shù)為.設(shè)中位數(shù)為，則解得，即40名讀書者年齡的中位數(shù)為55.（3）年齡在的讀書者有人，年齡在的讀書者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012數(shù)學(xué)期望.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算直線對(duì)應(yīng)向量，根據(jù)向量夾角公式得到答案.（2）分別計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角計(jì)算二面角余弦值.【題目詳解】（1）如圖，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,異面直線與所成角的余弦值為.（2）平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得,，不妨取則，,,二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，求異面直線夾角和二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19、90分；分.【解題分析】

計(jì)算出剩下名學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語成績(jī)之和，于是求得平均分；可先計(jì)算出，再利用公式可計(jì)算出線性回歸方程，代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)成績(jī)，即得答案.【題目詳解】由題名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和為，英語成績(jī)之和為取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之和為其余名學(xué)生的英語成績(jī)之和為其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分，英語平均分都為；不妨設(shè)取消的兩名同學(xué)的兩科成績(jī)分別為數(shù)學(xué)成績(jī)與英語成績(jī)的線性回歸方程代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)成績(jī)，得本次英語考試學(xué)號(hào)為的同學(xué)如果沒有作弊，他的英語成績(jī)估計(jì)為分.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)及方差，線性回歸方程的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及運(yùn)算技巧，難度中等.20、（I）（II）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)A表示“取出的3個(gè)球的編號(hào)為連續(xù)的自然數(shù)”，取出3球的方法有84種，連續(xù)自然數(shù)的方法：123和234均為種，341為種，由此能求出結(jié)果．（Ⅱ）X的取值為2，3，4，1．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望試題解析：（I）設(shè)“取出的3個(gè)球編號(hào)都不相