上海市羅店中學2024屆數學高二第二學期期末經典試題含解析

上海市羅店中學2024屆數學高二第二學期期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對四組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r32．已知函數與的圖象如圖所示，則函數（）A．在區(qū)間上是減函數 B．在區(qū)間上是減函數C．在區(qū)間上減函數 D．在區(qū)間上是減函數3．若圓和圓相切，則等于()A．6 B．7 C．8 D．94．下列有關統計知識的四個命題正確的是（）A．衡量兩變量之間線性相關關系的相關系數越接近，說明兩變量間線性關系越密切B．在回歸分析中，可以用卡方來刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差C．線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點D．線性回歸方程中，變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位5．復數=A． B． C． D．6．已知函數，若方程有三個實數根，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．7．函數的最大值為（）A． B． C． D．8．以下幾個命題中：①線性回歸直線方程恒過樣本中心；②用相關指數可以刻畫回歸的效果，值越小說明模型的擬合效果越好；③隨機誤差是引起預報值和真實值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差；④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關指數等于相關系數的平方.其中真命題的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．為虛數單位，復數的共軛復數是（）A． B． C． D．10．今年全國高考,某校有3000人參加考試，其數學考試成績(，試卷滿分150分),統計結果顯示數學考試成績高于130分的人數為100，則該校此次數學考試成績高于100分且低于130分的學生人數約為（）A．1300 B．1350 C．1400 D．145011．在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．（2，4]12．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題p：不等式|x－1|>m的解集是R，命題q：f(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數，若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則實數m的取值范圍是________．14．函數的定義域為________.15．若隨機變量，且，則______.16．已知函數，則_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）設的最大值為，求的最小值；（2）在（1）的條件下，若，且，求的最大值.18．（12分）某公司生產一種產品，每年投入固定成本萬元.此外，每生產件這種產品還需要增加投入萬元.經測算，市場對該產品的年需求量為件，且當出售的這種產品的數量為（單位：百件）時，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產品的年產量為（單位：百件），試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量的函數；（2）當該公司的年產量為多少時，當年所得利潤最大？最大為多少？19．（12分）已知的角、、所對的邊分別是、、，設向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積.20．（12分）已知展開式中的倒數第三項的系數為45，求：（1）含的項；（2）系數最大的項．21．（12分）已知函數在處取得極值.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若關于的不等式至少有三個不同的整數解，求實數的取值范圍.22．（10分）選修4-4：坐標系與參數方程以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線的參數方程為（為參數），設點，直線與曲線相交于兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據正相關和負相關以及相關系數的知識，選出正確選項.【題目詳解】由散點圖可知圖(1)與圖(3)是正相關，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負相關，故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故選:A.【題目點撥】本小題主要考查散點圖，考查相關系數、正相關和負相關的理解，屬于基礎題.2、B【解題分析】分析：求出函數的導數，結合圖象求出函數的遞增區(qū)間即可．詳解：，

由圖象得：時，，

故在遞增，

故選：B．點睛：本題考查了函數的單調性問題，考查數形結合思想，考查導數的應用，是一道中檔題．3、C【解題分析】

根據的圓標準方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據兩圓內切、外切的條件,分別求得的值并驗證即可得結果.【題目詳解】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．【題目點撥】本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關系，屬于基礎題.兩圓半徑為，兩圓心間的距離為，比較與及與的大小，即可得到兩圓的位置關系.4、A【解題分析】分析：利用“卡方”的意義、相關指數的意義及回歸分析的適用范圍，逐一分析四個答案的真假，可得答案．詳解：A.衡量兩變量之間線性相關關系的相關系數越接近，說明兩變量間線性關系越密切，正確；B.在回歸分析中，可以用卡方來刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差，錯誤對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越大，“與有關系”可信程度越大;故B錯誤；C.線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點，錯誤，回歸直線可能不經過其樣本數據點中的任何一個點；D.線性回歸方程中，變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位，錯誤，由回歸方程可知變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位.故選A.點睛：本題考查回歸分析的意義以及注意的問題．是對回歸分析的思想、方法小結．要結合實例進行掌握.5、A【解題分析】

根據復數的除法運算得到結果.【題目詳解】復數=故答案為：A.【題目點撥】本題考查了復數的運算法則,考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.6、B【解題分析】

先將方程有三個實數根，轉化為與的圖象交點問題，得到的范圍，再用表示，令，利用導數法求的取值范圍即可.【題目詳解】已知函數，其圖象如圖所示：因為方程有三個實數根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得極小值.又，所以的取值范圍是：.即的取值范圍為.故選：B【題目點撥】本題主要考查函數與方程，導數與函數的單調性、極值最值，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于難題.7、B【解題分析】分析：直接利用柯西不等式求函數的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當且僅當即x=時取最大值）故答案為B.點睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數形式：設均為實數，則，其中等號當且僅當時成立.8、C【解題分析】

由線性回歸直線恒過樣本中心可判斷①，由相關指數的值的大小與擬合效果的關系可判斷②，由隨機誤差和方差的關系可判斷③，由相關指數和相關系數的關系可判斷④.【題目詳解】①線性回歸直線方程恒過樣本中心,所以正確.②用相關指數可以刻畫回歸的效果，值越大說明模型的擬合效果越好，所以錯誤.③隨機誤差是引起預報值和真實值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差；所以正確.④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關指數等于相關系數的平方,所以正確.所以①③④正確.故選：C【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程和相關指數刻畫回歸效果、以及與相關系數的變形，屬于基礎題.9、B【解題分析】分析：直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可．詳解：則復數的共軛復數是.故選C.點睛：本題考查復數的除法的運算法則的應用，復數的基本概念，是基礎題．10、C【解題分析】

根據正態(tài)分布的對稱性計算，即【題目詳解】100分是數學期望，由題意成績高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總人數為3000－200＝2800，因此成績高于100分低于130分的人數為．故選C．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布，解題關鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對稱性，即若，則，．11、A【解題分析】

由，取的中點E，翻折前，連接，則，，翻折后，在圖2中，此時，及，進而得到，由此可求解得取值范圍，得到答案.【題目詳解】由題意得，取的中點E，翻折前，在圖1中，連接，則，翻折后，在圖2中，此時，因為，所以平面，所以，又為的中點，所以，所以，在中，可得①；②；③，由①②③，可得.如圖3，翻折后，當與在一個平面上，與交于，且，又，所以，所以，此時，綜上可得的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題主要考查了平面圖形的翻折問題，以及空間幾何體的結構特征的應用，其中解答中認真審題，合理利用折疊前后圖形的線面位置關系是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12、B【解題分析】本小題主要考查雙曲線的幾何性質、第二定義、余弦定理，以及轉化的數學思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力.不妨設點P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x軸的距離為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、[0,2)【解題分析】命題p：m<0，命題q：m<2.∵p與q一真一假，∴或解得0≤m<2.答案：[0,2).14、【解題分析】的定義域是,,故得到函數定義域為取交集，故答案為.15、4【解題分析】

由隨機變量，且，可得的值，計算出,可得的值.【題目詳解】解：由隨機變量，且，可得，，，.故答案為：4.【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差，熟悉二項分布的期望和方差的性質是解題的關鍵.16、【解題分析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根據定積分法則計算即可．詳解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案為.點睛：這個題目考查了積分的應用，注意積分并不等于面積，解決積分問題的常見方法有：面積法，當被積函數為正時積分和面積相等，當被積函數為負時積分等于面積的相反數；應用公式直接找原函數的方法；利用被積函數的奇偶性得結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)2【解題分析】

運用不等式性質求出最小值根據不等式求最大值【題目詳解】（1）∵，∴（當且僅當時取“=”號）∴（2）∵（當且僅當時取“=”號），（當且僅當時取“=”號），（當且僅當時取“=”號），∴（當且僅當時取“=”號）∴（當且僅當時取“=”號）∴的最大值為2.【題目點撥】本題考查了根據絕對值的應用求出不等式的解集，運用不等式性質求解是本題關鍵，注意題目中的轉化。18、(1);(2)當年產量為件時，所得利潤最大.【解題分析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤關于年產量的函數解析式；（2）分別利用二次函數的性質以及函數的單調性，求得兩段函數值的取值范圍，從而可得結果.詳解：（1）由題意得：；（2）當時，函數對稱軸為，故當時，；當時，函數單調遞減，故，所以當年產量為件時，所得利潤最大.點睛：本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數的解析式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數，構造分段函數時，做到分段合理、不重不漏，分段函數的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).19、（1）見解析（2）【解題分析】

⑴因為，所以，即,其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因為，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.20、(1)210x3(2)【解題分析】

（1）由已知得：，即，∴，解得（舍）或，由通項公式得：，令，得，∴含有的項是.（2）∵此展開式共有11項，∴二項式系數（即項的系數）最大項是第6項，∴21、（1）單調遞增區(qū)間為.（2）【解題分析】

（1）根據函數極值點定義可知，由此構造方程求得，得到；令即可求得函數的單調遞增區(qū)間；（2）將原問題轉化為至少有三個不