黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中2024屆數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典試題含解析

黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)二中2024屆數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點在同一個圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等2．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)3．已知各棱長均相等的正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小分別為，則（）A． B．C． D．前三個答案都不對4．隨機變量服從正態(tài)分布，且.已知，則函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20005．設圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．26．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．7．用秦九韶算法求次多項式，當時，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（）A． B． C． D．8．過雙曲線的右焦點作圓的切線（切點為），交軸于點.若為線段的中點，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．9．已知，則中（）A．至少有一個不小于1 B．至少有一個不大于1C．都不大于1 D．都不小于110．若函數(shù)，設，，，則，，的大小關系A． B．C． D．11．設函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．12．某煤氣站對外輸送煤氣時，用1至5號五個閥門控制，且必須遵守以下操作規(guī)則：①若開啟3號，則必須同時開啟4號并且關閉2號；②若開啟2號或4號，則關閉1號；③禁止同時關閉5號和1號.則閥門的不同開閉方式種數(shù)為（）A．7 B．8 C．11 D．14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是橢圓上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是______．14．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．15．若，則________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個極值點，，且，則實數(shù)的取值范圍為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在邊長為的正三角形中，、依次是、的中點，，，，、、為垂足，若將繞旋轉(zhuǎn)，求陰影部分形成的幾何體的表面積與體積.18．（12分）在平面直角坐標系xoy中，已知直線的參數(shù)方程為，直線與拋物線相交于A,B兩點，求線段AB的長．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．20．（12分）在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論．21．（12分）如圖所示，四邊形為菱形，且，，，且，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的正弦值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，焦距為。（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點都在圓的圓上，其實為圓與坐標軸交點．漸近線方程都為，由于實軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，2、A【解題分析】

對函數(shù)求導，研究導函數(shù)的正負,求使得導函數(shù)小于零的自變量的范圍，進而得到單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(0，1).故答案為A.【題目點撥】這個題目考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)求導，導函數(shù)大于0，解得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；導函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間；注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間的形式.3、C【解題分析】

通過作出圖形，分別找出正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側(cè)面與底面所成角，通過計算余弦值比較大小即可知道角度大小關系.【題目詳解】如圖，正三棱錐，正四棱錐，正五棱錐，設各棱長都為2，在正三棱錐中，取AC中點D，連接PD,BD，可知即為側(cè)面與底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于是，而由于為銳角，所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查面面角的相關計算，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，空間想象能力，計算能力，難度中等.4、C【解題分析】圖象不經(jīng)過第二象限，，隨機變量服從正態(tài)分布，且，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為，故選C.5、C【解題分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【題目詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C【題目點撥】本題主要考查直線和圓的位置關系，考查弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、D【解題分析】

試題分析：由，，可知7、D【解題分析】求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即..….這樣,求n次多項式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．∴對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法故選D.8、B【解題分析】

在中，為線段的中點，又，得到等腰三角形，利用邊的關系得到離心率.【題目詳解】在中，為線段的中點，又，則為等腰直角三角形.故答案選B【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，屬于?？碱}型.9、B【解題分析】

用反證法證明，假設同時大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設不成立，所以不能同時大于，所以至少有一個不大于，故選【題目點撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學命題，把要證的結(jié)論進行否定，在此基礎上推出矛盾，是解題的關鍵，同時還運用了基本不等式，本題較為綜合10、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得，進而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應用，涉及對數(shù)的運算，屬于基礎題．11、A【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，lnx2）與動點N（A，2A）之間距離的平方，動點M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲線上點M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（）≤，則f（）=，此時N恰好為垂足，由，解得考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用12、A【解題分析】

分兩類解決，第一類：若開啟3號，然后對2號和4號開啟其中一個即可判斷出1號和5號情況，第二類：若關閉3號，關閉2號關閉4號，對1號進行討論，即可判斷5號,由此可計算出結(jié)果.【題目詳解】解：依題意，第一類：若開啟3號，則開啟4號并且關閉2號，此時關閉1號，開啟5號，此時有1種方法；第二類：若關閉3號，①開啟2號關閉4號或關閉2號開啟4號或開啟2號開啟4號時，則關閉1號，開啟5號，此時有種3方法；②關閉2號關閉4號，則開啟1號關閉5號或開啟1號開啟5號或關閉1號，開啟5號，此時有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.【題目點撥】本題考查分類加法計數(shù)原理，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用余弦定理求出，再求△F1PF2的面積.【題目詳解】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，∴.【題目點撥】本題主要考查橢圓的定義和余弦定理，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14、390【解題分析】

用2色涂格子有種方法,

用3色涂格子,第一步選色有,第二步涂色,共有種,

所以涂色方法種方法,

故總共有390種方法.

故答案為:39015、【解題分析】

利用二倍角公式直接計算得到答案.【題目詳解】.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換，意在考查學生的計算能力.16、【解題分析】

對函數(shù)求導，函數(shù)有兩個極值點，，則，化簡得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出，結(jié)合將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.【題目詳解】所以，令，所以令，則令，則所以在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以令，則恒成立所以在上單調(diào)遞增，即【題目點撥】已知函數(shù)有零點，求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法:直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式;再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值城問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、表面積為，體積為.【解題分析】

旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，根據(jù)數(shù)據(jù)利用面積和體積公式，可求其表面積與體積．【題目詳解】由題意知，旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，且圓錐的底面半徑為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓錐的底面、側(cè)面，圓柱的側(cè)面．圓錐的底面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，故所求幾何體的表面積為.陰影部分形成的幾何體的體積為.【題目點撥】本題考查組合體的表面積和體積的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18、【解題分析】

直線的普通方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得，∴.19、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）求導，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當時，，.設函數(shù)，則.當時，；當時，.故當時，，且僅當時，，從而，且僅當時，.所以在單調(diào)遞增.又，故當時，；當時，.（2）（i）若，由（1）知，當時，，這與是的極大值點矛盾.（ii）若，設函數(shù).由于當時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點..如果，則當，且時，，故不是的極大值點.如果，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點.如果，則.則當時，；當時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.點睛：本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當時構(gòu)造函數(shù)時關鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．20、；證明見解析【解題分析】

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個性質(zhì)，按題設數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設四面體中，以棱長為2的棱為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C），于是問題轉(zhuǎn)化為對棱長分別為（I）（II）（III）的四面體來計算體積的最大值（或估計）.【題目詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個性質(zhì)，按題設數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設四面體中，以棱長為2為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C）.對情形（I）（A）與（B），四邊形沿AB折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，∴體積為；對情形（II）（A）與（C）四邊形沿AB折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，∵，∴為鈍角，與平面斜交，∴；對情形（III），（B）與（C），這樣的四面體也有兩個，體積也相等，記為，.∴最大體積為.【題目點撥】本題考查四面體的體積，解題關鍵是找到以棱長為2的棱為突破點，分析以它為邊的兩個三角形的邊長可能有哪些情形，然后一一求出它們的體積（可估計體積大?。?，再比較.難度較大.21、（1）見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的正弦值為.【解題分析】試題分析:（1）先證得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理得出結(jié)論;(2)建立合適的空間直角坐標系,分別求出平面AEF和平面ABE的法向量,利用二面角的公式求解即可.試題解析:（1）∵平面,∴平面,又平面,∴平面平面.（2）設與的交點為,建立如圖所示的空間直角坐標系,則，∴設平面的法向量為，則，即，令，則，∴.設平面的法向量為，則，即，令，則，∴.∴，∴，∴平面與平面所成銳二面角的正弦值為.22、(1)(2)【解題分析】

（1）由，，又由，解得，即可求得橢圓的方程；（2）設出過焦點的直線方程代入橢圓