2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A．150種 B．180種 C．300種 D．345種2．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．283．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．4．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種6．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A．-240 B．-160 C．240 D．1607．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．8．已知經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線AB與直線l垂直，則直線l的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．150°9．針對時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人10．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸方程為，據(jù)此預(yù)測：當(dāng)時(shí)，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．711．平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（）A． B． C． D．12．已知雙曲線：1，左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．11 C．12 D．16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經(jīng)、北緯，開羅的位置約為東經(jīng)、北緯，兩個(gè)城市之間的距離為______．（結(jié)果精確到1千米）14．雙曲線H的漸近線為x+2y＝1與x﹣2y＝1．若H經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），則雙曲線H的方程為_____．15．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的值是_______.16．函數(shù)在上的減區(qū)間為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益（單位：萬元）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的.廣告投入/萬元12345銷售收益/萬元23257（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度；（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到上表：表中的數(shù)據(jù)顯示與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）若廣告投入萬元時(shí)，實(shí)際銷售收益為萬元，求殘差.附：，18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的極值.19．（12分）已知函數(shù)的最大值為4.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的最小值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，面，且，為中點(diǎn)．（1）證明：//平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù)的最小正周期為.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）已知的內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別為，，，若，且，，求的面積.22．（10分）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且DE＝，平面ABCD⊥平面ADE，∠ADE＝30°（1）求證：AE⊥平面CDE；（2）求AB與平面BCE所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：分兩類（1）甲組中選出一名女生有種選法；（2）乙組中選出一名女生有種選法．故共有345種選法考點(diǎn)：排列組合2、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點(diǎn)：排列組合.3、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識(shí)圖，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據(jù)加法原理可得結(jié)論．解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種．故選B．6、C【解題分析】

求得二項(xiàng)式的通項(xiàng)，令，代入即可求解展開式的常數(shù)項(xiàng)，即可求解.【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)∴，∴，故．選A．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點(diǎn)所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．8、B【解題分析】

首先求直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直，求直線的斜率，以及傾斜角.【題目詳解】，，，直線l的傾斜角是.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩直線垂直的關(guān)系，以及傾斜角和斜率的基本問題，屬于簡單題型.9、B【解題分析】

設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計(jì)算K2【題目詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生1656x女生1316x總計(jì)xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.10、B【解題分析】

先計(jì)算數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入回歸方程得到，再代入計(jì)算對應(yīng)值.【題目詳解】數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為代入回歸方程當(dāng)時(shí)，y的值為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計(jì)算數(shù)據(jù)中心點(diǎn)代入方程是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、D【解題分析】

,,,與的夾角等于與的夾角,,,解得,故選D.【考點(diǎn)定位】向量的夾角及向量的坐標(biāo)運(yùn)算.12、B【解題分析】

根據(jù)雙曲線的定義，得到，再根據(jù)對稱性得到最小值，從而得到的最小值.【題目詳解】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以得到，根據(jù)對稱性可得當(dāng)為雙曲線的通徑時(shí)，最小.此時(shí)，所以的最小值為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義求線段和的最小值，雙曲線的通徑，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、千米【解題分析】

設(shè)上海為點(diǎn),開羅為點(diǎn).求兩個(gè)城市之間的距離,即求兩城市在地球上的球面距離.由題意可知上海和開羅都在北緯的位置,即在同一緯度的圓上,計(jì)算出此圓的半徑,即可求.在三角形由余弦定理可求得,結(jié)合扇形弧長公式,即可求得兩個(gè)城市之間的距離.【題目詳解】設(shè)上海為點(diǎn),開羅為點(diǎn),地球半徑為根據(jù)緯度定義,設(shè)北緯所在圓的半徑為,可得:上海的位置約為東經(jīng),開羅的位置約為東經(jīng),故在北緯所在圓上的圓心角為:.在中得中,根據(jù)余弦定理可得:根據(jù)扇形弧長公式可得:劣弧故答案為:千米.【題目點(diǎn)撥】本題由經(jīng)度,緯度求球面上兩點(diǎn)距離,根據(jù)題意畫出空間圖形,理解經(jīng)度和緯度的定義是解本題關(guān)鍵,考查空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

設(shè)共漸近線的雙曲線系方程后，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案.【題目詳解】依題意可設(shè)所求雙曲線方程為，因?yàn)镠經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），所以，即，所以雙曲線的方程為，即.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了用共漸近線的雙曲線系方程求雙曲線方程，設(shè)出共共漸近線的雙曲線系方程是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由冪函數(shù)的定義，把代入可求解.【題目詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，，，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的定義.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)冪函數(shù)在上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)和，且在上單調(diào)遞增；(4)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減；(5)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．16、【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為,結(jié)合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得:,解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為:再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).(3).【解題分析】分析：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可得，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）利用平均數(shù)公式求出平均數(shù)、利用樣本中心的性質(zhì)結(jié)合公司可求得回歸系數(shù)，從而可寫出線性回歸方程；（Ⅲ）計(jì)算當(dāng)時(shí)，銷售收益預(yù)測值，再求殘差值.詳解：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可知，故.（Ⅱ）由題意，可知，，，，根據(jù)公式，可求得，，所以關(guān)于的回歸方程為.（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，銷售收益預(yù)測值（萬元），又實(shí)際銷售收益為萬元，所以殘差點(diǎn)睛：求回歸直線方程的步驟：①確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢.18、（Ⅰ）（Ⅱ）的極大值為，的極小值為【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.詳解：（Ⅰ），，.故切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，化簡得，所以切線方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，得或.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：1+0-0+極大值極小值綜上，的極大值為，的極小值為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)求函數(shù)的極值的一般步驟:先求定義域,再求導(dǎo)，再解方程（注意和求交集），最后列表確定極值.19、（1）；（2）.【解題分析】【試題分析】(1)利用絕對值不等式,消去,可求得實(shí)數(shù)的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結(jié)合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”）∴的最小值為4.20、（1）見解析；（2）見解析；（3）【解題分析】

（1）連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，證明EO//PB，由線線平行證明線面平行即可；（2）通過證明CD平面PAD來證明平面平面；（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的方法求二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，∴EO//PB．EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB//平面AEC．（2）證明：PA⊥平面ABCD．平面ABCD，∴．又在正方形ABCD中且，∴CD平面PAD．又平面PCD，∴平面平面．（3）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．設(shè)平面AEC的法向量為,,,則,即∴令,則.∴,二面角的余弦值為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行，面面垂直的判定定理，考查用空間向量求二面角，也考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用周期公式求出ω，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)f（x）的值域；（2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面積．【題目詳解】解：（1）的最小正周期是，得，當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，∴，的面積【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．22、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，可直接得出結(jié)論成立；