新課標(biāo)人教A版數(shù)學(xué)選修2-3全套教（學(xué)）案

./第一章計數(shù)原理1．1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；情感、態(tài)度與價值觀：引導(dǎo)學(xué)生形成"自主學(xué)習(xí)"與"合作學(xué)習(xí)"等良好的學(xué)習(xí)方式教學(xué)重點：分類計數(shù)原理<加法原理>與分步計數(shù)原理<乘法原理>教學(xué)難點：分類計數(shù)原理<加法原理>與分步計數(shù)原理<乘法原理>的準確理解授課類型：新授課課時安排：2課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：引入課題先看下面的問題：①從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長,有多少種不同的選法？②把我們的同學(xué)排成一排,共有多少種不同的排法？要解決這些問題,就要運用有關(guān)排列、組合知識.排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計數(shù)方法.總的來說,就是研究按某一規(guī)則做某事時,一共有多少種不同的做法.

在運用排列、組合方法時,經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.這節(jié)課,我們從具體例子出發(fā)來學(xué)習(xí)這兩個原理.1分類加法計數(shù)原理〔1提出問題問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號,總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1.2：從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車.如果一天中火車有3班,汽車有2班.那么一天中,乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？〔2發(fā)現(xiàn)新知分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.〔3知識應(yīng)用例1.在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所,而且只能選擇一個專業(yè),又由于兩所大學(xué)沒有共同的強項專業(yè),因此符合分類加法計數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所．在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法,在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的,因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理,這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4=9〔種.變式：若還有C大學(xué),其中強項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么,這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,在第3類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有類不同方案,在每一類中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情,有n類辦法,在第1類辦法中有種不同的方法,在第2類辦法中有種不同的方法……在第n類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理針對的是"分類"問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法相互獨立,各類中的各種方法也相對獨立,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.2分步乘法計數(shù)原理〔1提出問題問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字,以,,…,,,…的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個不同的號碼？用列舉法可以列出所有可能的號碼：我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼,而且它們各不相同,因此共有6×9=54個不同的號碼．探究：你能說說這個問題的特征嗎？〔2發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.〔3知識應(yīng)用例2.設(shè)某班有男生30名,女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表,可以分兩個步驟．第l步選男生．第2步選女生．解：第1步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第2步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有30×24=720種不同的選法．探究：如果完成一件事需要三個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,做第3步有種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要個步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情,需要分成n個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法……做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計數(shù)原理：分步計數(shù)原理針對的是"分步"問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事,只有當(dāng)各個步驟都完成后,才算完成這件事.3．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是"分類"問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法相互獨立,各類中的各種方法也相對獨立,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事,是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是"分步"問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事,只有當(dāng)各個步驟都完成后,才算完成這件事,是合作完成.3綜合應(yīng)用例3.書架的第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書,有多少種不同的取法？②從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法？③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法？[分析]①要完成的事是"取一本書",由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事,因此是分類問題,應(yīng)用分類計數(shù)原理.②要完成的事是"從書架的第1、2、3層中各取一本書",由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分,只有第1、2、3層都取后,才能完成這件事,因此是分步問題,應(yīng)用分步計數(shù)原理.③要完成的事是"取2本不同學(xué)科的書",先要考慮的是取哪兩個學(xué)科的書,如取計算機和文藝書各1本,再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這件事的一部分,應(yīng)用分步計數(shù)原理,上述每一種選法都完成后,這件事才能完成,因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計數(shù)原理.解：<1>從書架上任取1本書,有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書,有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書,有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書,有2種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同取法的種數(shù)是=4+3+2=9;<2從書架的第1,2,3層各取1本書,可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書,有4種方法；第2步從第2層取1本文藝書,有3種方法；第3步從第3層取1本體育書,有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同取法的種數(shù)是=4×3×2=24.〔3.例4.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法？解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上,可以分兩個步驟完成：第1步,從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上,有3種選法；第2步,從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上,有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.6種掛法可以表示如下：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是"分類"問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事,分步乘法計數(shù)原理針對的是"分步"問題,各個步驟中的方法互相依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事．教學(xué)反思：課堂小結(jié)1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理,是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù),也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,并加區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是"分類"問題,其中各種方法相對獨立,用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是"分步"問題,各個步驟中的方法相互依存,只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準,其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類,并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法,即"不重不漏".分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準,其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟,這件事才算完成.1．2．1排列教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解排列數(shù)的意義,掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會"化歸"的數(shù)學(xué)思想,并能運用排列數(shù)公式進行計算.過程與方法：能運用所學(xué)的排列知識,正確地解決的實際問題情感、態(tài)度與價值觀：能運用所學(xué)的排列知識,正確地解決的實際問題.教學(xué)重點：排列、排列數(shù)的概念教學(xué)難點：排列數(shù)公式的推導(dǎo)授課類型：新授課課時安排：2課時教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：分類計數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個劃分,依分類計數(shù)原理解題,首先明確要做的這件事是什么,其次分類時要根據(jù)問題的特點確定分類的標(biāo)準,最后在確定的標(biāo)準下進行分類.分類要注意不重復(fù)、不遺漏,保證每類辦法都能完成這件事.分步計數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準分成幾個步驟,必須且只需連續(xù)完成這幾個步驟后才算完成這件事,每步中的任何一種方法都不能完成這件事.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的地位是有區(qū)別的,分類計數(shù)原理更具有一般性,解決復(fù)雜問題時往往需要先分類,每類中再分成幾步.在排列、組合教學(xué)的起始階段,不能嫌羅嗦,教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴格按原理去分析問題.只有這樣才能使學(xué)生認識深刻、理解到位、思路清晰,才會做到分類有據(jù)、分步有方,為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ),也是解決排列、組合問題的主要依據(jù),并且還常需要直接運用它們?nèi)ソ鉀Q問題,這兩個原理貫穿排列、組合學(xué)習(xí)過程的始終.搞好排列、組合問題的教學(xué)從這兩個原理入手帶有根本性.排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一組,并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題,與順序無關(guān)是組合問題,順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別,從定義上來說是簡單的,但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑,分不清到底與順序有無關(guān)系.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計數(shù)原理：做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種不同的方法,……,在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情,完成它需要分成n個步驟,做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法,……,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事有種不同的方法分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對的是"分類"問題,其中各種方法相互獨立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是"分步"問題,各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟,只有各個步驟都完成才算做完這件事應(yīng)用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成,"類"間互相獨立,"步"間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制二、講解新課：1問題：問題1．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動,其中一名同學(xué)參加上午的活動,一名同學(xué)參加下午的活動,有多少種不同的方法？分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué),按照參加上午的活動在前,參加下午活動在后的順序排列,一共有多少種不同的排法的問題,共有6種不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙,其中被取的對象叫做元素解決這一問題可分兩個步驟：第1步,確定參加上午活動的同學(xué),從3人中任選1人,有3種方法；第2步,確定參加下午活動的同學(xué),當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后,參加下午活動的同學(xué)只能從余下的2人中去選,于是有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,在3名同學(xué)中選出2名,按照參加上午活動在前,參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有3×2=6種,如圖1.2一1所示．圖1.2一1把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題可敘述為：從3個不同的元素a,b,.中任取2個,然后按照一定的順序排成一列,一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb,共有3×2=6種．問題2．從1,2,3,4這4個數(shù)字中,每次取出3個排成一個三位數(shù),共可得到多少個不同的三位數(shù)？分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù),在4個字母中任取1個,有4種方法；第二步確定中間的數(shù),從余下的3個數(shù)中取,有3種方法；第三步確定右邊的數(shù),從余下的2個數(shù)中取,有2種方法由分步計數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法,用樹型圖排出,并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法顯然,從4個數(shù)字中,每次取出3個,按"百""十""個"位的順序排成一列,就得到一個三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)．可以分三個步驟來解決這個問題：第1步,確定百位上的數(shù)字,在1,2,3,4這4個數(shù)字中任取1個,有4種方法；第2步,確定十位上的數(shù)字,當(dāng)百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取,有3種方法；第3步,確定個位上的數(shù)字,當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后,個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取,有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從1,2,3,4這4個不同的數(shù)字中,每次取出3個數(shù)字,按"百""十""個"位的順序排成一列,共有4×3×2=24種不同的排法,因而共可得到24個不同的三位數(shù),如圖1.2一2所示．由此可寫出所有的三位數(shù)：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.同樣,問題2可以歸結(jié)為：從4個不同的元素a,b,c,d中任取3個,然后按照一定的順序排成一列,共有多少種不同的排列方法？所有不同排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有4×3×2=24種.樹形圖如下abｃｄｂｃｄａｃｄａｂｄａｂｃ2．排列的概念：從個不同元素中,任取〔個元素〔這里的被取元素各不相同按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列說明：〔1排列的定義包括兩個方面：①取出元素,②按一定的順序排列；〔2兩個排列相同的條件：①元素完全相同,②元素的排列順序也相同3．排列數(shù)的定義：從個不同元素中,任取〔個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù),用符號表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同："一個排列"是指：從個不同元素中,任取個元素按照一定的順序排成一列,不是數(shù)；"排列數(shù)"是指從個不同元素中,任取〔個元素的所有排列的個數(shù),是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù),而不表示具體的排列4．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由的意義：假定有排好順序的2個空位,從個元素中任取2個元素去填空,一個空位填一個元素,每一種填法就得到一個排列,反過來,任一個排列總可以由這樣的一種填法得到,因此,所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法,∴=由此,求可以按依次填3個空位來考慮,∴=,求以按依次填個空位來考慮,排列數(shù)公式：〔說明：〔1公式特征：第一個因數(shù)是,后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是,共有個因數(shù)；〔2全排列：當(dāng)時即個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：〔叫做n的階乘另外,我們規(guī)定0!=1.鞏固練習(xí)：書本20頁１,２,３,4,5,6課外作業(yè)：第27頁習(xí)題1.2A組1,2,3,4,5教學(xué)反思：排列的特征：一個是"取出元素"；二是"按照一定順序排列","一定順序"就是與位置有關(guān),這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志.根據(jù)排列的定義,兩個排列相同,且僅當(dāng)兩個排列的元素完全相同,而且元素的排列順序也相同.了解排列數(shù)的意義,掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會"化歸"的數(shù)學(xué)思想,并能運用排列數(shù)公式進行計算.對于較復(fù)雜的問題,一般都有兩個方向的列式途徑,一個是"正面湊",一個是"反過來剔"．前者指,按照要求,一點點選出符合要求的方案；后者指,先按全局性的要求,選出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數(shù)的意義,掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會"化歸"的數(shù)學(xué)思想,并能運用排列數(shù)公式進行計算.1．2．2組合教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解組合的意義,能寫出一些簡單問題的所有組合.明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別,能判斷一個問題是排列問題還是組合問題.過程與方法：了解組合數(shù)的意義,理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系,掌握組合數(shù)公式,能運用組合數(shù)公式進行計算.情感、態(tài)度與價值觀：能運用組合要領(lǐng)分析簡單的實際問題,提高分析問題的能力.教學(xué)重點：組合的概念和組合數(shù)公式教學(xué)難點：組合的概念和組合數(shù)公式授課類型：新授課課時安排：2課時教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一組,并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題,與順序無關(guān)是組合問題,順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別,從定義上來說是簡單的,但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑,分不清到底與順序有無關(guān)系.指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度,學(xué)的真諦在于悟,只有學(xué)生真正理解了,才能舉一反三、融會貫通.

能列舉出某種方法時,讓學(xué)生通過交換元素位置的辦法加以鑒別.

學(xué)生易于辨別組合、全排列問題,而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時,可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后,按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來,選出元素后再去考慮是否要對元素進行排隊,即第一步僅從組合的角度考慮,第二步則考慮元素是否需全排列,如果不需要,是組合問題；否則是排列問題.

排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景,解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程,用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、具體情景的出發(fā),正確領(lǐng)會問題的實質(zhì),抽象出"按部就班"的處理問題的過程.據(jù)筆者觀察,有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感到抽象,不知如何思考,并不是因為數(shù)學(xué)知識跟不上,而是因為平時做事、考慮問題就缺乏條理性,或解題思路是自己主觀想象的做法〔很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法.要解決這個問題,需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實際情況,怎么做事就怎么分析,若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?模擬做事的過程,則更能說明問題.久而久之,學(xué)生的邏輯思維能力將會大大提高.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計數(shù)原理：做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種不同的方法,……,在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情,完成它需要分成n個步驟,做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法,……,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事有種不同的方法3．排列的概念：從個不同元素中,任取〔個元素〔這里的被取元素各不相同按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列4．排列數(shù)的定義：從個不同元素中,任取〔個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù),用符號表示5．排列數(shù)公式：〔6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘規(guī)定．7．排列數(shù)的另一個計算公式：=8.提出問題：示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動,其中1名同學(xué)參加上午的活動,1名同學(xué)參加下午的活動,有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項活動,有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué),而且還要按照一定的順序"排列",而示例2只要求選出2名同學(xué),是與順序無關(guān)的引出課題：組合．二、講解新課：1組合的概念：一般地,從個不同元素中取出個元素并成一組,叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合說明：⑴不同元素；⑵"只取不排"——無序性；⑶相同組合：元素相同例1．判斷下列問題是組合還是排列〔1在北京、上海、XX三個民航站之間的直達航線上,有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？〔2高中部11個班進行籃球單循環(huán)比賽,需要進行多少場比賽？〔3從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù),有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動,有多少種不同的選法？〔410個人互相通信一次,共寫了多少封信？〔510個人互通電話一次,共多少個電話？問題：〔11、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？〔2什么樣的兩個組合就叫相同的組合2．組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示．3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：〔1從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列,而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)可以求得,故我們可以考察一下和的關(guān)系,如下：組合排列由此可知,每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列,因此,求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù),可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合,共有個；②對每一個組合的3個不同元素進行全排列,各有種方法．由分步計數(shù)原理得：＝,所以,．〔2推廣：一般地,求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù),根據(jù)分步計數(shù)原理得：＝．名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點不同點〔3組合數(shù)的公式：或規(guī)定:.三、小結(jié)：組合的意義與組合數(shù)公式；解決實際問題時首先要看是否與順序有關(guān),從而確定是排列問題還是組合問題,必要時要利用分類和分步計數(shù)原理學(xué)生探究過程：〔完成如下表格名稱排列組合定義種數(shù)符號計算公式關(guān)系性質(zhì)四、課后作業(yè)：五、板書設(shè)計〔略六、教學(xué)反思：排列組合問題聯(lián)系實際生動有趣,題型多樣新穎且貼近生活,解法靈活獨到但不易掌握,許多學(xué)生面對較難問題時一籌莫展、無計可施,尤其當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜、不易解決時,可考慮換位思考將其等價轉(zhuǎn)化,使問題變得簡單、明朗.教科書在研究組合數(shù)的兩個性質(zhì)①,②時,給出了組合數(shù)定義的解釋證明,即構(gòu)造一個組合問題的模型,把等式兩邊看成同一個組合問題的兩種計算方法,由組合個數(shù)相等證出要證明的組合等式.這種構(gòu)造法證明構(gòu)思精巧,把枯燥的公式還原為有趣的實例,能極大地激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.本文試給幾例以說明.教學(xué)反思：1注意區(qū)別"恰好"與"至少"從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種2特殊元素〔或位置優(yōu)先安排將5列車停在5條不同的軌道上,其中a列車不停在第一軌道上,b列車不停在第二軌道上,那么不同的停放方法有種3"相鄰"用"捆綁","不鄰"就"插空"七人排成一排,甲、乙兩人必須相鄰,且甲、乙都不與丙相鄰,則不同的排法有多少種4、混合問題,先"組"后"排"對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試,至區(qū)分出所有次品為止,若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？5、分清排列、組合、等分的算法區(qū)別<1>今有10件不同獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?<2>今有10件不同獎品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?<3>今有10件不同獎品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?6、分類組合,隔板處理從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?1．3．1二項式定理教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：進一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式過程與方法：能解決二項展開式有關(guān)的簡單問題情感、態(tài)度與價值觀：教學(xué)過程中,要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果,而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法.教學(xué)重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用教學(xué)難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用授課類型：新授課課時安排：3課時教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：二項式定理是初中乘法公式的推廣,是排列組合知識的具體運用,是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．這部分知識具有較高應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值．中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：定理本身,通項公式,楊輝三角,二項式系數(shù)的性質(zhì)等．通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識,同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧；進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．二項式定理本身是教學(xué)重點,因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ)．通項公式,楊輝三角,特殊化方法等意義重大而深遠,所以也應(yīng)該是重點．二項式定理的證明是一個教學(xué)難點．這是因為,證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法．在教學(xué)中,努力把表現(xiàn)的機會讓給學(xué)生,以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機會,以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識,以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：⑴；⑵⑶的各項都是次式,即展開式應(yīng)有下面形式的各項：,,,,,展開式各項的系數(shù)：上面?zhèn)€括號中,每個都不取的情況有種,即種,的系數(shù)是；恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,有都取的情況有種,的系數(shù)是,∴．二、講解新課：二項式定理：⑴的展開式的各項都是次式,即展開式應(yīng)有下面形式的各項：,,…,,…,,⑵展開式各項的系數(shù)：每個都不取的情況有種,即種,的系數(shù)是；恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,……,恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,……,有都取的情況有種,的系數(shù)是,∴,這個公式所表示的定理叫二項式定理,右邊的多項式叫的二項展開式,⑶它有項,各項的系數(shù)叫二項式系數(shù),⑷叫二項展開式的通項,用表示,即通項．⑸二項式定理中,設(shè),則三、小結(jié)：二項式定理的探索思路:觀察——歸納——猜想——證明；二項式定理及通項公式的特點四、課后作業(yè)：P36習(xí)題1.3A組1.2.3.4五、板書設(shè)計〔略六、教學(xué)反思：<a+b>ｎ=這個公式表示的定理叫做二項式定理,公式右邊的多項式叫做<a+b>ｎ的,其中〔r=0,1,2,……,n叫做,叫做二項展開式的通項,它是展開式的第項,展開式共有個項.掌握二項式定理和二項展開式的通項公式,并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.培養(yǎng)歸納猜想,抽象概括,演繹證明等理性思維能力.教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機結(jié)合起來,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體,教學(xué)過程中,要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果,而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法.二項式定理是指這樣一個展開式的公式.它是<a+b>2=a2+2ab+b2,<a+b>3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式,在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多,而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ),根據(jù)二項式定理的展開,才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn－1,同時=e≈2.718281…也正是由二項式定理的展開規(guī)律所確定,而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重,概率中的正態(tài)分布,復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達.且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f<x>=f<x0>+<x－x0>2+…<x－x0>n+<θ∈<0,1>>以及由此建立的冪級數(shù)理論,更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中.怎樣使二項式定理的教學(xué)生動有趣正因為二項式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少,所以教材上教法就顯得呆板,單調(diào),課本上先給出一個<a+b>4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明,因為證明寫得很長,上課時的板書幾乎占了整個黑板,所以課必然上得累贅,學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細看,記也感到吃力,又怎能發(fā)揮主體作用？怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論,或讀,議、講,練,或目標(biāo)教學(xué),還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力,因為這些方法都無法改變算式的冗長,證法的呆板,課堂上的新情境與學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實.而MM教育方式即數(shù)學(xué)方法論的教育方式卻能根據(jù)習(xí)題理論注意到充分利用數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技術(shù)把所要證明或計算的形式變換得十分簡潔,心理學(xué)家皮亞杰一再強調(diào)"認識起因于主各體之間的相互作用"［1］只有客體的形式與學(xué)生主體認知結(jié)構(gòu)中的圖式取得某種一致的時候,才能完成認識的主動建構(gòu),也就是學(xué)生獲得真正的理解.MM教育方式遵循"興趣與能力的同步發(fā)展規(guī)律"和"教,學(xué),研互相促進的規(guī)律"［2］在教學(xué)中追求簡易,重視直觀,并巧妙地在應(yīng)用抽象使問題變得十分有趣,學(xué)生學(xué)得生動主動,充分發(fā)揮其課堂上的主體作用.1．3．2"楊輝三角"與二項式系數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握二項式系數(shù)的四個性質(zhì).過程與方法：培養(yǎng)觀察發(fā)現(xiàn),抽象概括及分析解決問題的能力.情感、態(tài)度與價值觀：要啟發(fā)學(xué)生認真分析書本圖1－5－1提供的信息,從特殊到一般,歸納猜想,合情推理得到二項式系數(shù)的性質(zhì)再給出嚴格的證明.教學(xué)重點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題教學(xué)難點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題授課類型：新授課課時安排：2課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．二項式定理及其特例：〔1,〔2.2．二項展開式的通項公式：3．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時,要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性二、講解新課：1二項式系數(shù)表〔楊輝三角展開式的二項式系數(shù),當(dāng)依次取…時,2．二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項式系數(shù)是,,,…,．可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是,例當(dāng)時,其圖象是個孤立的點〔如圖〔1對稱性．與首末兩端"等距離"的兩個二項式系數(shù)相等〔∵．直線是圖象的對稱軸．〔2增減性與最大值．∵,∴相對于的增減情況由決定,,當(dāng)是偶數(shù)時,中間一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時,中間兩項,取得最大值．〔3各二項式系數(shù)和：∵,令,則三、講解范例：例1．在的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和證明：在展開式中,令,則,即,∴,即在的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．說明：由性質(zhì)〔3及例1知.例2．已知,求：〔1；〔2；〔3.解：〔1當(dāng)時,,展開式右邊為∴,當(dāng)時,,∴,〔2令,①令,②①②得：,∴.〔3由展開式知：均為負,均為正,∴由〔2中①+②得：,∴,∴例3.求<1+x>+<1+x>2+…+<1+x>10展開式中x3的系數(shù)解：=,∴原式中實為這分子中的,則所求系數(shù)為例4.在<x2+3x+2>5的展開式中,求x的系數(shù)解：∵∴在<x+1>5展開式中,常數(shù)項為1,含x的項為,在<2+x>5展開式中,常數(shù)項為25=32,含x的項為∴展開式中含x的項為,∴此展開式中x的系數(shù)為240例5.已知的展開式中,第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為14；3,求展開式的常數(shù)項解：依題意∴3n<n-1><n-2><n-3>/4!=4n<n-1>/2!n=10設(shè)第r+1項為常數(shù)項,又令,此所求常數(shù)項為180例6．設(shè),當(dāng)時,求的值解：令得：,∴,點評：對于,令即可得各項系數(shù)的和的值；令即,可得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項和的關(guān)系例7．求證：．證〔法一倒序相加：設(shè)①又∵②∵,∴,由①+②得：,∴,即．〔法二：左邊各組合數(shù)的通項為,∴．例8．在的展開式中,求:①二項式系數(shù)的和;②各項系數(shù)的和;③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;④奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和;⑤的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和.分析:因為二項式系數(shù)特指組合數(shù),故在①,③中只需求組合數(shù)的和,而與二項式中的系數(shù)無關(guān).解：設(shè)<*>,各項系數(shù)和即為,奇數(shù)項系數(shù)和為,偶數(shù)項系數(shù)和為,的奇次項系數(shù)和為,的偶次項系數(shù)和.由于<*>是恒等式,故可用"賦值法"求出相關(guān)的系數(shù)和.①二項式系數(shù)和為.②令,各項系數(shù)和為.③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為,偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為.④設(shè),令,得到…<1>,令,<或,>得…<2><1>+<2>得,∴奇數(shù)項的系數(shù)和為;<1>-<2>得,∴偶數(shù)項的系數(shù)和為.⑤的奇次項系數(shù)和為;的偶次項系數(shù)和為.點評:要把"二項式系數(shù)的和"與"各項系數(shù)和","奇<偶>數(shù)項系數(shù)和與奇<偶>次項系數(shù)和"嚴格地區(qū)別開來,"賦值法"是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一.例9．已知的展開式的系數(shù)和比的展開式的系數(shù)和大992,求的展開式中:①二項式系數(shù)最大的項;②系數(shù)的絕對值最大的項.解：由題意,解得.①的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大,即.②設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大,則∴,得,即∴,∴,故系數(shù)的絕對值最大的是第4項例10．已知：的展開式中,各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大．〔1求展開式中二項式系數(shù)最大的項；〔2求展開式中系數(shù)最大的項解：令,則展開式中各項系數(shù)和為,又展開式中二項式系數(shù)和為,∴,．〔1∵,展開式共項,二項式系數(shù)最大的項為第三、四兩項,∴,,〔2設(shè)展開式中第項系數(shù)最大,則,∴,∴,即展開式中第項系數(shù)最大,．例11．已知,求證：當(dāng)為偶數(shù)時,能被整除分析：由二項式定理的逆用化簡,再把變形,化為含有因數(shù)的多項式∵,∴,∵為偶數(shù),∴設(shè)〔,∴〔,當(dāng)=時,顯然能被整除,當(dāng)時,〔式能被整除,所以,當(dāng)為偶數(shù)時,能被整除三、小結(jié)：二項式定理體現(xiàn)了二項式的正整數(shù)冪的展開式的指數(shù)、項數(shù)、二項式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系,涉及到二項展開式中的項和系數(shù)的綜合問題,只需運用通項公式和二項式系數(shù)的性質(zhì)對條件進行逐個節(jié)破,對于與組合數(shù)有關(guān)的和的問題,賦值法是常用且重要的方法,同時注意二項式定理的逆用四、課后作業(yè)：P36習(xí)題1.3A組5.6.7.8B組1.21．已知展開式中的各項系數(shù)的和等于的展開式的常數(shù)項,而展開式的系數(shù)的最大的項等于,求的值答案：2．設(shè)求：①②．答案：①；②3．求值：．答案：4．設(shè),試求的展開式中：〔1所有項的系數(shù)和；〔2所有偶次項的系數(shù)和及所有奇次項的系數(shù)和答案：〔1；〔2所有偶次項的系數(shù)和為；所有奇次項的系數(shù)和為五、板書設(shè)計〔略六、教學(xué)反思：二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù),它有三條性質(zhì),要理解和掌握好,同時要注意"系數(shù)"與"二項式系數(shù)"的區(qū)別,不能混淆,只有二項式系數(shù)最大的才是中間項,而系數(shù)最大的不一定是中間項,尤其要理解和掌握"取特值"法,它是解決有關(guān)二項展開式系數(shù)的問題的重要手段.二項式定理概念的引入,我們已經(jīng)學(xué)過<a+b>2=a2+2ab+b2,<a+b>3=a3+3a2b+3ab2+b3,那么對一般情況；<a+b>n展開后應(yīng)有什么規(guī)律,這里n∈N選擇實驗歸納的研究方式,對<a+b>n一般形式的研究與求數(shù)列{an}的通項公式有些類似,大家想想,求an時我們用了什么方法,學(xué)生：先寫出前n項,再觀察規(guī)律,猜測其表達式,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明,老師：大家說得很正確,現(xiàn)在我們用同樣的方式來研究<a+b>4的展開,因<a+b>4=<a+b>3<a+b>,我們可以用<a+b>3展開的結(jié)論計算<a+b>4<由學(xué)生板演完成,體會計算規(guī)律>然后老師把計算過程總結(jié)為如下形式：<a+b>4=<a+b>3<a+b>=<a3+3a2b+3ab2+b3><a+b>=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab對計算的化算：對<a+b>n展開式中的項,字母指數(shù)的變化規(guī)律是十分明顯的,大家能說出它們的規(guī)律嗎？學(xué)生：a的指數(shù)從n逐次降到0,b的指數(shù)從0逐次升到n,老師：大家說的很對,這樣一來展開式的項數(shù)就是從0到n的<n+1>項了,但唯獨系數(shù)規(guī)律還是"猶抱琵琶半遮面"使我們難以發(fā)現(xiàn),但我們?nèi)钥捎脕肀硎?它這樣一來<a+b>n的展開形式就可寫成<a+b>n=現(xiàn)在的問題就是要找的表達形式.為此我們要采用抽象分析法來化簡計算第二章隨機變量及其分布2．1．1離散型隨機變量教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：1.理解隨機變量的意義；2.學(xué)會區(qū)分離散型與非離散型隨機變量,并能舉出離散性隨機變量的例子；3.理解隨機變量所表示試驗結(jié)果的含義,并恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量.能力目標(biāo)：發(fā)展抽象、概括能力,提高實際解決問題的能力.情感目標(biāo)：學(xué)會合作探討,體驗成功,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點：隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的意義教學(xué)難點：隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的意義授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：本章是在初中"統(tǒng)計初步"和高中必修課"概率"的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)隨機變量和統(tǒng)計的一些知識．學(xué)習(xí)這些知識后,我們將能解決類似引言中的一些實際問題教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：展示教科書章頭提出的兩個實際問題<有條件的學(xué)校可用計算機制作好課件輔助教學(xué)>,激發(fā)學(xué)生的求知欲某人射擊一次,可能出現(xiàn)命中0環(huán),命中1環(huán),…,命中10環(huán)等結(jié)果,即可能出現(xiàn)的結(jié)果可能由0,1,……10這11個數(shù)表示；某次產(chǎn)品檢驗,在可能含有次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件,那么其中含有的次品可能是0件,1件,2件,3件,4件,即可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由0,1,2,3,4這5個數(shù)表示在這些隨機試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以用一個數(shù)來表示．這個數(shù)在隨機試驗前是否是預(yù)先確定的?在不同的隨機試驗中,結(jié)果是否不變?觀察,概括出它們的共同特點二、講解新課：思考1：擲一枚骰子,出現(xiàn)的點數(shù)可以用數(shù)字1,2,3,4,5,6來表示．那么擲一枚硬幣的結(jié)果是否也可以用數(shù)字來表示呢？擲一枚硬幣,可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果．雖然這個隨機試驗的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì),但我們可以用數(shù)1和0分別表示正面向上和反面向上〔圖2.1一1>.在擲骰子和擲硬幣的隨機試驗中,我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系,使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下,數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．定義1：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量〔randomvariable>．隨機變量常用字母X,Y,,,…表示．思考2：隨機變量和函數(shù)有類似的地方嗎？隨機變量和函數(shù)都是一種映射,隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù),函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)．在這兩種映射之間,試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域,隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．我們把隨機變量的取值范圍叫做隨機變量的值域．例如,在含有10件次品的100件產(chǎn)品中,任意抽取4件,可能含有的次品件數(shù)X將隨著抽取結(jié)果的變化而變化,是一個隨機變量,其值域是｛0,1,2,3,4}.利用隨機變量可以表達一些事件．例如{X=0｝表示"抽出0件次品",{X=4｝表示"抽出4件次品"等．你能說出｛X<3｝在這里表示什么事件嗎？"抽出3件以上次品"又如何用X表示呢？定義2：所有取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量<discreterandomvariable>.離散型隨機變量的例子很多．例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X是一個離散型隨機變量,它的所有可能取值為0,1,…,10；某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y也是一個離散型隨機變量,它的所有可能取值為0,1,2,….思考3：電燈的壽命X是離散型隨機變量嗎？電燈泡的壽命X的可能取值是任何一個非負實數(shù),而所有非負實數(shù)不能一一列出,所以X不是離散型隨機變量．在研究隨機現(xiàn)象時,需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機變量．例如,如果我們僅關(guān)心電燈泡的使用壽命是否超過1000小時,那么就可以定義如下的隨機變量：與電燈泡的壽命X相比較,隨機變量Y的構(gòu)造更簡單,它只取兩個不同的值0和1,是一個離散型隨機變量,研究起來更加容易．連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量如某林場樹木最高達30米,則林場樹木的高度是一個隨機變量,它可以取〔0,30]內(nèi)的一切值4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出,而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出注意：〔1有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì),但可以用數(shù)量來表達如投擲一枚硬幣,=0,表示正面向上,=1,表示反面向上〔2若是隨機變量,是常數(shù),則也是隨機變量三、講解范例：例1．寫出下列隨機變量可能取的值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果<1>一袋中裝有5只同樣大小的白球,編號為1,2,3,4,5現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球,被取出的球的最大號碼數(shù)ξ；<2>某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η解：<1>ξ可取3,4,5ξ=3,表示取出的3個球的編號為1,2,3；ξ=4,表示取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ=5,表示取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3或3,4,5 〔2η可取0,1,…,n,…η=i,表示被呼叫i次,其中i=0,1,2,…例2．拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ,試問："ξ>4”答：因為一枚骰子的點數(shù)可以是1,2,3,4,5,6六種結(jié)果之一,由已知得-5≤ξ≤5,也就是說"ξ>4”就是"ξ=5”所以,"ξ>4”例3某城市出租汽車的起步價為10元,行駛路程不超出4km,則按10元的標(biāo)準收租車費若行駛路程超出4km,則按每超出lkm加收2元計費<超出不足1km的部分按lkm計>．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機常駕車在機場與此賓館之間接送旅客,由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程<這個城市規(guī)定,每停車5分鐘按lkm路程計費>,這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量,他收旅客的租車費可也是一個隨機變量<1>求租車費η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；<Ⅱ>已知某旅客實付租車費38元,而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?解：<1>依題意得η=2<ξ-4>+10,即η=2ξ+2<Ⅱ>由38=2ξ+2,得ξ=18,5×〔18-15=15．所以,出租車在途中因故停車累計最多15分鐘．四、小結(jié)：隨機變量離散型、隨機變量連續(xù)型隨機變量的概念隨機變量ξ是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù),即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一個實數(shù)；隨機變量ξ的線性組合η=aξ+b<其中a、b是常數(shù)>也是隨機變量五、課后作業(yè)：六、板書設(shè)計〔略七、教學(xué)反思：1、怎樣防止所謂新課程理念流于形式,如何合理選擇值得討論的問題,實現(xiàn)學(xué)生實質(zhì)意義的參與.2、防止過于追求教學(xué)的情境化傾向,怎樣把握一個度.2．1．2離散型隨機變量的分布列教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：會求出某些簡單的離散型隨機變量的概率分布.過程與方法：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.情感、態(tài)度與價值觀：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.教學(xué)重點：離散型隨機變量的分布列的概念教學(xué)難點：求簡單的離散型隨機變量的分布列授課類型：新授課課時安排：2課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示2.離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量3．連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出,而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出若是隨機變量,是常數(shù),則也是隨機變量并且不改變其屬性〔離散型、連續(xù)型請同學(xué)們閱讀課本P5-6的內(nèi)容,說明什么是隨機變量的分布列？二、講解新課：1.分布列:設(shè)離散型隨機變量ξ可能取得值為x1,x2,…,x3,…,ξ取每一個值xi〔i=1,2,…的概率為,則稱表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機變量ξ的概率分布,簡稱ξ的分布列2.分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:,并且不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：⑴Pi≥0,i＝1,2,…；⑵P1+P2+…=1．對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和即3.兩點分布列:例1.在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中,令如果針尖向上的概率為,試寫出隨機變量X的分布列．解：根據(jù)分布列的性質(zhì),針尖向下的概率是〔>．于是,隨機變量X的分布列是ξ01P像上面這樣的分布列稱為兩點分布列．兩點分布列的應(yīng)用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等,都可以用兩點分布列來研究．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列,就稱X服從兩點分布<two一pointdistribution>,而稱=P<X=1為成功概率．兩點分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫伯努利〔Bernoulli>試驗,所以還稱這種分布為伯努利分布．,,,．4.超幾何分布列：例2．在含有5件次品的100件產(chǎn)品中,任取3件,試求：<1>取到的次品數(shù)X的分布列；〔2至少取到1件次品的概率．解：<1>由于從100件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為,從100件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為,那么從100件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件次品的概率為.所以隨機變量X的分布列是X0123P<2>根據(jù)隨機變量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率P<X≥1>=P<X=1>+P<X=2>+P<X=3>≈0.13806+0.00588+0.00006=0.14400.一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品數(shù),則事件{X=k｝發(fā)生的概率為,其中,且．稱分布列X01…P…為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量X服從超幾何分布.例3．在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎游戲,在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球,這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球,至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率．解：設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中N=30,M=10,n=5．于是中獎的概率P<X≥3>=P<X=3>+P<X=4十P<X=5>=≈0.191.思考：如果要將這個游戲的中獎率控制在55%左右,那么應(yīng)該如何設(shè)計中獎規(guī)則？例4.已知一批產(chǎn)品共件,其中件是次品,從中任取件,試求這件產(chǎn)品中所含次品件數(shù)的分布律.

解顯然,取得的次品數(shù)只能是不大于與最小者的非負整數(shù),即的可能取值為：0,1,…,,由古典概型知

此時稱服從參數(shù)為的超幾何分布.

注超幾何分布的上述模型中,"任取件"應(yīng)理解為"不放回地一次取一件,連續(xù)取件".如果是有放回地抽取,就變成了重貝努利試驗,這時概率分布就是二項分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是不放回地抽樣,還是有放回地抽樣.若產(chǎn)品總數(shù)很大時,那么不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣.因此,當(dāng)時,超幾何分布的極限分布就是二項分布,即有如下定理.定理如果當(dāng)時,,那么當(dāng)時〔不變,則

.

由于普阿松分布又是二項分布的極限分布,于是有：超幾何分布二項分布普阿松分布.例5．一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球,已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍,黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球,若取出紅球得1分,取出黃球得0分,取出綠球得－1分,試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列．分析：欲寫出ξ的分布列,要先求出ξ的所有取值,以及ξ取每一值時的概率．解：設(shè)黃球的個數(shù)為n,由題意知綠球個數(shù)為2n,紅球個數(shù)為4n,盒中的總數(shù)為7n．∴,,．所以從該盒中隨機取出一球所得分數(shù)ξ的分布列為ξ10－1P說明：在寫出ξ的分布列后,要及時檢查所有的概率之和是否為1．例6．某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手"射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”分析："射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件"ξ＝7"、"ξ＝8"、"ξ＝9"、"ξ＝10"的和,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手"射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列,有P<ξ=7>＝0.09,P<ξ=8>＝0.28,P<ξ=9>＝0.29,P<ξ=10>＝0.22.所求的概率為P<ξ≥7>＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88四、課堂練習(xí)：某一射手射擊所得環(huán)數(shù)分布列為45678910P0．020．040．060．090．280．290．22求此射手"射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率解："射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件"=7”,"=8”,"=9”,"=10”P〔≥7=P〔=7+P〔=8+P〔=9+P〔=10=0.88注：求離散型隨機變量的概率分布的步驟:〔1確定隨機變量的所有可能的值xi〔2求出各取值的概率p<=xi>=pi〔3畫出表格五、小結(jié)：⑴根據(jù)隨機變量的概率分步〔分步列,可以求隨機事件的概率；⑵兩點分布是一種常見的離散型隨機變量的分布,它是概率論中最重要的幾種分布之一<3>離散型隨機變量的超幾何分布六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計〔略八、課后記：預(yù)習(xí)提綱：⑴什么叫做離散型隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望？它反映了離散型隨機變量的什么特征？⑵離散型隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望有什么性質(zhì)？2．2．1條件概率教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：通過對具體情景的分析,了解條件概率的定義.過程與方法：掌握一些簡單的條件概率的計算.情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析,會進行簡單的應(yīng)用.教學(xué)重點：條件概率定義的理解教學(xué)難點：概率計算公式的應(yīng)用授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)設(shè)想：引導(dǎo)學(xué)生形成"自主學(xué)習(xí)"與"合作學(xué)習(xí)"等良好的學(xué)習(xí)方式.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：探究:三張獎券中只有一張能中獎,現(xiàn)分別由三名同學(xué)無放回地抽取,問最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是否比前兩名同學(xué)小.若抽到中獎獎券用"Y"表示,沒有抽到用"",表示,那么三名同學(xué)的抽獎結(jié)果共有三種可能：Y,Y和Y．用B表示事件"最后一名同學(xué)抽到中獎獎券",則B僅包含一個基本事件Y．由古典概型計算公式可知,最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率為.思考:如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券,那么最后一名同學(xué)抽到獎券的概率又是多少？因為已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券,所以可能出現(xiàn)的基本事件只有Y和Y．而"最后一名同學(xué)抽到中獎獎券"包含的基本事件仍是Y.由古典概型計算公式可知．最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率為,不妨記為P〔B|A>,其中A表示事件"第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券".已知第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果為什么會影響最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率呢？在這個問題中,知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券,等價于知道事件A一定會發(fā)生,導(dǎo)致可能出現(xiàn)的基本事件必然在事件A中,從而影響事件B發(fā)生的概率,使得P<B|A≠P<B>.思考:對于上面的事件A和事件B,P<B|A與它們的概率有什么關(guān)系呢？用表示三名同學(xué)可能抽取的結(jié)果全體,則它由三個基本事件組成,即=｛Y,Y,Y｝．既然已知事件A必然發(fā)生,那么只需在A={Y,Y}的范圍內(nèi)考慮問題,即只有兩個基本事件Y和Y．在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生,等價于事件A和事件B同時發(fā)生,即AB發(fā)生．而事件AB中僅含一個基本事件Y,因此==. 其中n<A和n<AB分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件個數(shù)．另一方面,根據(jù)古典概型的計算公式,其中n〔表示中包含的基本事件個數(shù)．所以,=.因此,可以通過事件A和事件AB的概率來表示P〔B|A>.條件概率1.定義設(shè)A和B為兩個事件,P<A>>0,那么,在"A已發(fā)生"的條件下,B發(fā)生的條件概率〔conditionalprobability>.讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．定義為. 由這個定義可知,對任意兩個事件A、B,若,則有. 并稱上式微概率的乘法公式.2.P〔·|B的性質(zhì)：〔1非負性：對任意的Af.；〔2規(guī)范性：P〔|B=1；〔3可列可加性：如果是兩個互斥事件,則.更一般地,對任意的一列兩兩部相容的事件〔I=1,2…,有P=.例1.在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題,求：<l第1次抽到理科題的概率；<2第1次和第2次都抽到理科題的概率；<3在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率．解：設(shè)第1次抽到理科題為事件A,第2次抽到理科題為事件B,則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.<1從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為n〔==20.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,n<A==12．于是.<2因為n<AB>＝=6,所以.<3解法1由〔1><2可得,在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概.解法2因為n<AB=6,n<A=12,所以.例2.一張儲蓄卡的密碼共位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求：<1任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對的概率；<2如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率．解：設(shè)第i次按對密碼為事件<i=1,2>,則表示不超過2次就按對密碼．<1因為事件與事件互斥,由概率的加法公式得.<2用B表示最后一位按偶數(shù)的事件,則.鞏固練習(xí)：課本55頁練習(xí)1、2課外作業(yè)：第60頁習(xí)題2.21,2,3教學(xué)反思：1.通過對具體情景的分析,了解條件概率的定義.2.掌握一些簡單的條件概率的計算.3.通過對實例的分析,會進行簡單的應(yīng)用.2．2．2事件的相互獨立性教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解兩個事件相互獨立的概念.過程與方法：能進行一些與事件獨立有關(guān)的概率的計算.情感、態(tài)度與價值觀：通過對實例的分析,會進行簡單的應(yīng)用.教學(xué)重點：獨立事件同時發(fā)生的概率教學(xué)難點：有關(guān)獨立事件發(fā)生的概率計算授課類型：新授課課時安排：2課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1事件的定義：隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；必然事件：在一定條件下必然發(fā)生的事件；不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件2．隨機事件的概率：一般地,在大量重復(fù)進行同一試驗時,事件發(fā)生的頻率總是接近某個常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率,記作．3.概率的確定方法：通過進行大量的重復(fù)試驗,用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；4．概率的性質(zhì)：必然事件的概率為,不可能事件的概率為,隨機事件的概率為,必然事件和不可能事件看作隨機事件的兩個極端情形5基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果〔事件稱為一個基本事件6．等可能性事件：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每個基本事件的概率都是,這種事件叫等可能性事件7．等可能性事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個,而且所有結(jié)果都是等可能的,如果事件包含個結(jié)果,那么事件的概率8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意義:對于事件A和事件B是可以進行加法運算的10互斥事件:不可能同時發(fā)生的兩個事件．一般地：如果事件中的任何兩個都是互斥的,那么就說事件彼此互斥11．對立事件:必然有一個發(fā)生的互斥事件．12．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥,那么＝探究:<1>甲、乙兩人各擲一枚硬幣,都是正面朝上的概率是多少？事件：甲擲一枚硬幣,正面朝上；事件：乙擲一枚硬幣,正面朝上<2>甲壇子里有3個白球,2個黑球,乙壇子里有2個白球,2個黑球,從這兩個壇子里分別摸出1個球,它們都是白球的概率是多少？事件：從甲壇子里摸出1個球,得到白球；事件：從乙壇子里摸出1個球,得到白球問題<1>、<2>中事件、是否互斥？〔不互斥可以同時發(fā)生嗎？〔可以問題<1>、<2>中事件〔或是否發(fā)生對事件〔或發(fā)生的概率有無影響？〔無影響思考:三張獎券中只有一張能中獎,現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取,事件A為"第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券",事件B為"最后一名同學(xué)抽到中獎獎券".事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎?顯然,有放回地抽取獎券時,最后一名同學(xué)也是從原來的三張獎券中任抽一張,因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對最后一名同學(xué)的抽獎結(jié)果沒有影響,即事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率．于是P〔B|A=P<B,P〔AB=P<A>P<B|A=P〔AP<B>.二、講解新課：1．相互獨立事件的定義：設(shè)A,B為兩個事件,如果P<AB>=P<A>P<B>,則稱事件A與事件B相互獨立〔mutuallyindependent>.若與是相互獨立事件,則與,與,與也相互獨立2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：問題2中,"從這兩個壇子里分別摸出1個球,它們都是白球"是一個事件,它的發(fā)生,就是事件,同時發(fā)生,記作．〔簡稱積事件從甲壇子里摸出1個球,有5種等可能的結(jié)果；從乙壇子里摸出1個球,有4種等可能的結(jié)果于是從這兩個壇子里分別摸出1個球,共有種等可能的結(jié)果同時摸出白球的結(jié)果有種所以從這兩個壇子里分別摸出1個球,它們都是白球的概率．另一方面,從甲壇子里摸出1個球,得到白球的概率,從乙壇子里摸出1個球,得到白球的概率．顯然．這就是說,兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積一般地,如果事件相互獨立,那么這個事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積,即．3．對于事件A與B及它們的和事件與積事件有下面的關(guān)系：三、講解范例：例1.某商場推出二次開獎活動,凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券．獎券上有一個兌獎號碼,可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動．如果兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05,求兩次抽獎中以下事件的概率：<1>都抽到某一指定號碼；<2>恰有一次抽到某一指定號碼；<3>至少有一次抽到某一指定號碼．解：<1>記"第一次抽獎抽到某一指定號碼"為事件A,"第二次抽獎抽到某一指定號碼"為事件B,則"兩次抽獎都抽到某一指定號碼"就是事件AB．由于兩次抽獎結(jié)果互不影響,因此A與B相互獨立．于是由獨立性可得,兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率P<AB>=P<A>P<B>=0.05×0.05=0.0025.<2>"兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼"可以用〔AU〔B表示．由于事件A與B互斥,根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義,所求的概率為P<A十P〔B=P〔AP〔+P〔P〔B>=0.05×<1-0.05>+<1-0.05>×0.05=0.095.<3>"兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼"可以用〔AB>U<AU〔B表示．由于事件AB,A和B兩兩互斥,根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義,所求的概率為P<AB>+P〔A+P〔B>=0.0025+0.095=0.0975.例2.甲、乙二射擊運動員分別對一目標(biāo)射擊次,甲射中的概率為,乙射中的概率為,求：〔1人都射中目標(biāo)的概率；〔2人中恰有人射中目標(biāo)的概率；〔3人至少有人射中目標(biāo)的概率；〔4人至多有人射中目標(biāo)的概率？解：記"甲射擊次,擊中目標(biāo)"為事件,"乙射擊次,擊中目標(biāo)"為事件,則與,與,與,與為相互獨立事件,〔1人都射中的概率為：,∴人都射中目標(biāo)的概率是．〔2"人各射擊次,恰有人射中目標(biāo)"包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中〔事件發(fā)生,另一種是甲未擊中、乙擊中〔事件發(fā)生根據(jù)題意,事件與互斥,根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式,所求的概率為：∴人中恰有人射中目標(biāo)的概率是．〔3〔法1：2人至少有1人射中包括"2人都中"和"2人有1人不中"2種情況,其概率為．〔法2："2人至少有一個擊中"與"2人都未擊中"為對立事件,2個都未擊中目標(biāo)的概率是,∴"兩人至少有1人擊中目標(biāo)"的概率為．〔4〔法1："至多有1人擊中目標(biāo)"包括"有1人擊中"和"2人都未擊中",故所求概率為：．〔法2："至多有1人擊中目標(biāo)"的對立事件是"2人都擊中目標(biāo)",故所求概率為例3.在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān),只要其中有1個開關(guān)能夠閉合,線路就能正常工作假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率解：分別記這段時間內(nèi)開關(guān),,能夠閉合為事件,,．由題意,這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式,這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概率是∴這段時間內(nèi)至少有1個開關(guān)能夠閉合,,從而使線路能正常工作的概率是．答：在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是．變式題1：如圖添加第四個開關(guān)與其它三個開關(guān)串聯(lián),在某段時間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率〔變式題2：如圖兩個開關(guān)串聯(lián)再與第三個開關(guān)并聯(lián),在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率方法一：方法二：分析要使這段時間內(nèi)線路正常工作只要排除開且與至少有1個開的情況例4.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機的概率為0.2．〔1假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域,求敵機進入這個區(qū)域后未被擊中的概率；〔2要使敵機一旦進入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中,需至少布置幾門高炮？分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機,故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率解:〔1設(shè)敵機被第k門高炮擊中的事件為<k=1,2,3,4,5>,那么5門高炮都未擊中敵機的事件為．∵事件,,,,相互獨立,∴敵機未被擊中的概率為=∴敵機未被擊中的概率為．〔2至少需要布置門高炮才能有0.9以上的概率被擊中,仿〔1可得：敵機被擊中的概率為1-∴令,∴兩邊取常用對數(shù),得∵,∴∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機點評：上面例1和例2的解法,都是解應(yīng)用題的逆向思考方法采用這種方法在解決帶有詞語"至多"、"至少"的問題時的運用,常常能使問題的解答變得簡便四、小結(jié)：兩個事件相