09湖北省武漢市（武漢六中）部分重點中學(xué)2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖北省部分重點中學(xué)2024屆高三第二次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，那么陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖確定陰影部分表示的集合，結(jié)合A的補(bǔ)集，即可求得答案.【詳解】由題意知陰影部分表示的集合為，由集合，，可得或，則，故選：A2已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.3 B. C.7 D.13【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，令，且，結(jié)合復(fù)數(shù)乘方運算求參數(shù)，即可得模.【詳解】由題設(shè)，令，且，則所以，故，故.故選：B3.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐以及圓柱的體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，高為，故圓錐的體積為，圓柱的底面半徑也為，母線長也即高為4，則圓柱的體積為，故幾何體的體積為，故選：C4.在平面直角坐標(biāo)系中為原點，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由投影向量的定義及數(shù)量積、模長的坐標(biāo)表示求向量在向量上的投影向量.【詳解】由題設(shè)，向量在向量上的投影向量為.故選：B5.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式求目標(biāo)式的值.【詳解】，.故選：A6.設(shè)，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)有，根據(jù)條件概率公式有，結(jié)合，即可得答案.【詳解】由，則，故，而，則，又，所以.故選：D7.已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，由題意可知：對任意恒成立，且，可得，解得，并代入檢驗即可.【詳解】令，則，由題意可知：對任意恒成立，且，可得，解得，若，令，則，則在上遞增，可得，即對任意恒成立，則在上遞增，可得，綜上所述：符合題意，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線兩條漸近線于，兩點，為雙曲線的右焦點且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)是中點，且，根據(jù)求得，再由得到直線傾斜角為，則直線傾斜角為，結(jié)合倍角正切公式求，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線為，如下圖，若是中點，且，，則，可得，所以，則，而，則，所以，若直線傾斜角為，則直線傾斜角為，由，則，故，所以雙曲線的離心率為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：若是中點，應(yīng)用點差法求得，即，由得直線傾斜角為，則直線傾斜角為為關(guān)鍵.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B.若隨機(jī)變量，滿足，則C.若隨機(jī)變量，且，則D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)【答案】CD【解析】【分析】A應(yīng)用百分位數(shù)求法判斷；B由方差性質(zhì)判斷；C根據(jù)正態(tài)分布對稱性求概率判斷；D由獨立檢驗的基本思想判斷結(jié)論.【詳解】A：由，故第80百分位數(shù)為，錯；B：由方差的性質(zhì)知：，錯；C：由正態(tài)分布性質(zhì)，隨機(jī)變量的正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所以，對；D：由題設(shè)，結(jié)合獨立檢驗的基本思想，在小概率情況下與有關(guān)，對.故選：CD10.下列命題正確的是（）A.若、均為等比數(shù)列且公比相等，則也是等比數(shù)列B.若為等比數(shù)列，其前項和為，則，，成等比數(shù)列C.若為等比數(shù)列，其前項和為，則，，成等比數(shù)列D.若數(shù)列的前項和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件【答案】BD【解析】【分析】A令即可判斷，B、C由等比數(shù)列定義，結(jié)合特殊值為偶數(shù)，判斷；D由充分、必要性定義，結(jié)合特殊數(shù)列判斷.【詳解】A：若且、公比相等，則，顯然不滿足等比數(shù)列，錯；B：若的公比為，而，，，所以，，是公比為的等比數(shù)列，對；C：同B分析，，，，若偶數(shù)，時，顯然各項均為0，不為等比數(shù)列，錯；D：當(dāng)，則且，易知為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)為遞增數(shù)列，則且，顯然為滿足，但不恒成立，必要性不成立，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，對.故選：BD11.已知，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先得到，A選項，由基本不等式“1”的妙用求解；B選項，根據(jù)得到；C選項，由A選項得到；D選項，先計算出，利用基本不等式得到D正確.【詳解】，故，故，A選項，由于，故，A正確；B選項，因為，所以，B正確；C選項，由A選項知，，故由基本不等式得，C錯誤；D選項，，且，故，D正確.故選：ABD12.已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點為平面內(nèi)一點，且，點為平面內(nèi)一點，，下列說法正確的是（）A.存在使得直線與所成角為B.不存在使得平面平面C.若，則以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為D.三棱錐外接球體積最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A根據(jù)已知得到是與底面所成角，且，由在面內(nèi)即可判斷直線與所成角范圍；B由線面垂直的性質(zhì)及判定證面，再由題設(shè)有要在直線上得到矛盾；C通過展開圖確定球體與側(cè)面交線長度，加上底面交線長即可判斷；D首先化為求棱錐外接球問題，并確定在面的軌跡為圓，再根據(jù)對稱性取四分之一圓弧，研究在圓弧上移動時的變化范圍，結(jié)合的外接圓半徑且棱錐外接球半徑確定其最小值，即可判斷.【詳解】由平面，底面是正方形，，可得，且是與底面所成角，即，則，同理是與底面所成角，故，由題意，在面內(nèi)，故直線與所成角不小于，A錯；平面，平面，則，又，，面，則面，要平面平面，要在直線上，而，顯然不存在，B對；由題設(shè)，將側(cè)面展開如下圖，球與側(cè)面的交線是以為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，如下，由，則，，所以，根據(jù)對稱性有，故，所以長為，又球與底面交線是以為圓心，為半徑的四分之一圓，故長度為，綜上，球面與四棱錐各面的交線長為，C對；由題設(shè)，三棱錐外接球也是棱錐外接球，又為平面內(nèi)一點，，且面，則面面，，面面，面，故面，易知在面的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（去掉與直線的交點），根據(jù)圓的對稱性，不妨取下圖示的四分之一圓弧，則在該圓弧上，當(dāng)接近與面重合時趨向，當(dāng)面時最小且為銳角，，而的外接圓半徑，正方形的外心為交點，且到面的距離為，所以棱錐外接球半徑，要使該球體體積最小，只需最小，僅當(dāng)時，此時，故外接球最小體積為，D對.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：C項注意通過展開圖求球體與側(cè)面的交線長為關(guān)鍵；D項化為求棱錐外接球半徑最小值為關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，的系數(shù)為______．【答案】-20【解析】【分析】由二項式定理，展開式的通項公式求出指定項的系數(shù).【詳解】展開式的通項公式，令，解得：，則，所以的系數(shù)為-20.故答案為：-2014.與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點的距離為的圓的方程為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)題意列關(guān)于的方程，求出它們的值，進(jìn)而求得半徑，即可得答案.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于所求圓與直線和直線都相切，故，化簡為，而，則，又圓心到原點的距離為，即，解得，即圓心坐標(biāo)為，則半徑為，故圓的方程為，故答案為：15.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)奇偶性、單調(diào)性定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷性質(zhì)，再由性質(zhì)得即可求范圍.【詳解】由題設(shè)，定義域為，，即為偶函數(shù)，在上，令，且，則，由，故，即函數(shù)在上遞增，而在定義域上遞增，故在上遞增，所以，可得，故，可得.故答案為：16.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則_________；若，則的最大值為_________．【答案】①.4②.【解析】【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)求，且，應(yīng)用作差法判斷的單調(diào)性，即可求最大值.【詳解】由題設(shè)，則中與8互質(zhì)的數(shù)有，共4個數(shù)，故，在中，與互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共個，即，所以，則，當(dāng)時，當(dāng)時，即，所以的最大值為.故答案為：4，四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角，，的對邊分別為，，，若，邊的中線長為2．（1）求角；（2）求邊的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系，和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可求角；（2）由題設(shè)，應(yīng)用數(shù)量積的運算律、基本不等式求得，再應(yīng)用余弦定理求邊的最小值．【小問1詳解】因，所以，則，故，因為，，，所以，又，所以．【小問2詳解】因為邊的中線長為2，所以，兩側(cè)平方可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，可得，所以的最小值為．18.已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將，代入構(gòu)造方程組解得，，可得數(shù)列的通項公式；（2）假設(shè)存在，，成等比數(shù)列，由，，成等差數(shù)列可得，且，解得，與已知矛盾，因此不存在這樣的3項.【小問1詳解】由題意知當(dāng)時，①當(dāng)時，②聯(lián)立①②，解得，；所以數(shù)列的通項公式．【小問2詳解】由（1）知，，所以，可得；設(shè)數(shù)列中存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，所以，即；又因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，即；又，所以與已知矛盾；所以在數(shù)列中不存在3項，，成等比數(shù)列．19.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為6的等邊三角形，，，，分別是線段，的中點，平面平面．（1）求證：平面；（2）若點為線段上的中點，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，，再由面面垂直的性質(zhì)有，最后利用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）由題設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值.【小問1詳解】連接，四邊形是菱形，則，又，分別為，的中點所以，故，又為等邊三角形，為的中點，則平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故又，，，平面，可得平面.【小問2詳解】，，為等邊三角形，是的中點，則，由（1）得平面，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，所以，由（1）得是平面的一個法向量，，即平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知橢圓的左焦點為，且過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點，為橢圓的左頂點，若直線、與直線分別交于、兩點，與軸的交點為，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．【答案】（1）（2）為定值．【解析】【分析】（1）由橢圓所過的點及焦點坐標(biāo)求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，寫出直線的方程，進(jìn)而求縱坐標(biāo)，同理求縱坐標(biāo)，由化簡即可得結(jié)果.【小問1詳解】由題知，橢圓的右焦點為，且過點，結(jié)合橢圓定義，所以，所以．又，所以，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，，由，得，易知，所以，，直線方程為，令得，，同理可得，所以，為定值．21.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為．（1）求的概率分布列并求；（2）求證：（且）為等比數(shù)列，并求出（且）．【答案】（1）分布列見解析；；（2）證明見解析；（且）.【解析】【分析】（1）確定的可能取值，求出每個值相應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望；（2）求出、、的表達(dá)式，結(jié)合期望公式可求得的遞推式，結(jié)合構(gòu)造等比數(shù)列，即可證明結(jié)論，進(jìn)而求得期望.【小問1詳解】可能取0，1，2，3，則；；；，故的分布列為：0123；【小問2詳解】由題可知，，，又，，（且），，故（且）為等比數(shù)列，，（且）.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題將概率問題和數(shù)列問題綜合在一起考查，比較新穎，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于要明確n次交換后黑球的個數(shù)的概率與上一次之間的遞推關(guān)系，特別是第二問，要求出概率的表達(dá)式，進(jìn)而求出期望的遞推式，構(gòu)造數(shù)列，解決問題.22.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）函數(shù)有兩個極值點，，其中，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造求導(dǎo)，再構(gòu)