(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)10.8《二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布》(原卷版)

§10.8二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布考試要求1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理一、二項(xiàng)分布1．伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1﹣p)n﹣k，k＝0,1,2，…，n.3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1﹣p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1﹣p)．二、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N＋M}，三、正態(tài)分布1．定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·SKIPIF1<0，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．3．3σ原則(1)P(μ﹣σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ﹣3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.常用結(jié)論1．兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形．2．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理．3．在實(shí)際應(yīng)用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗(yàn)可視為n重伯努利試驗(yàn)，進(jìn)而判定是否服從二項(xiàng)分布．4．超幾何分布有時(shí)也記為X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．()(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．()(3)n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．()(4)正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的．()教材改編題1．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，則D(X)等于()A．1.8B．6C．2.1D．4.22．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝2)＝________.3．某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(110,102)．已知P(100<X≤110)＝0.34，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有________人．題型一二項(xiàng)分布例1在一次國(guó)際大型體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中3個(gè)項(xiàng)目的比賽．已知該運(yùn)動(dòng)員在這3個(gè)項(xiàng)目中，每個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是eq\f(2,3)，那么在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)上：(1)求該運(yùn)動(dòng)員至少能打破2項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；(2)若該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為X，求X的分布列及均值．教師備選出租車司機(jī)從飯店到火車站途中經(jīng)過(guò)六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率；(2)求這位司機(jī)在途中遇到紅燈數(shù)X的均值與方差．思維升華判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生．跟蹤訓(xùn)練1某公司為了解會(huì)員對(duì)售后服務(wù)(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度，從下半年的會(huì)員中隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)會(huì)員，得到會(huì)員對(duì)售后服務(wù)滿意度評(píng)分的雷達(dá)圖如圖所示．規(guī)定評(píng)分不低于80分為滿意，否則為不滿意．(1)求這20個(gè)會(huì)員對(duì)售后服務(wù)滿意的頻率；(2)以(1)中的頻率作為所有會(huì)員對(duì)該公司售后服務(wù)滿意的概率，假設(shè)每個(gè)會(huì)員的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，現(xiàn)從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取3個(gè)會(huì)員．①求只有1個(gè)會(huì)員對(duì)售后服務(wù)不滿意的概率；②記這3個(gè)會(huì)員中對(duì)售后服務(wù)滿意的會(huì)員的個(gè)數(shù)為X，求X的均值與標(biāo)準(zhǔn)差(標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果精確到0.1)．題型二超幾何分布例22021年5月30日清晨5時(shí)01分，天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船在成功發(fā)射約8小時(shí)后，中國(guó)航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船與中國(guó)空間站天和核心艙順利實(shí)現(xiàn)了快速交會(huì)對(duì)接．據(jù)航天科技集團(tuán)五院的專家介紹，此次天舟貨運(yùn)飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太空中生活3個(gè)月，這將創(chuàng)造中國(guó)航天員駐留太空時(shí)長(zhǎng)新的記錄．如果首次執(zhí)行空間站的任務(wù)由3名航天員承擔(dān)，在3名女性航天員(甲、乙、丙)和4名男性航天員(丁、戊、己、庚)共7名航天員中產(chǎn)生．(1)求所選的3名航天員既有男航天員又有女航天員的概率；(2)求所選的3名航天員中女航天員人數(shù)X的分布列及均值．教師備選為慶祝建軍節(jié)的到來(lái)，某校舉行“強(qiáng)國(guó)強(qiáng)軍”知識(shí)競(jìng)賽．該校某班經(jīng)過(guò)層層篩選，還有最后一個(gè)參賽名額要在A，B兩名學(xué)生中產(chǎn)生，該班委設(shè)計(jì)了一個(gè)選拔方案：A，B兩名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答．已知這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生A能正確回答其中的4個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生B能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為eq\f(2,3).A，B兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立的．(1)分別求A，B兩名學(xué)生恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；(2)設(shè)A答對(duì)的題數(shù)為X，B答對(duì)的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理由．思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．跟蹤訓(xùn)練2陽(yáng)澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產(chǎn)于江蘇蘇州，蟹身青殼白肚，體大膘肥，肉質(zhì)膏膩，營(yíng)養(yǎng)豐富，深受消費(fèi)者喜愛(ài)．某水產(chǎn)品超市購(gòu)進(jìn)一批重量為100千克的陽(yáng)澄湖大閘蟹，隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量，得到的結(jié)果如下表所示：規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量(單位：克)[160，180)[180，200)[200，220)[220，240)[240，260)[260，280]數(shù)量(單位：只)32152073(1)若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，試估計(jì)該批大閘蟹有多少只？(所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù))(2)某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購(gòu)買了4只，記重量在區(qū)間[260,280]上的大閘蟹數(shù)量為X，求X的分布列和均值．題型三正態(tài)分布例3(1)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9，10.2)與落在(10,10.3)的概率相等(2)在某市高三的一次模擬考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，則P(90≤ξ≤120)＝________.教師備選1．為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試．若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(100,17.52)．已知成績(jī)?cè)?17.5分以上(不含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)低于82.5分的概率為_(kāi)_______；如果成績(jī)大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有________人．(若X～N(μ，σ2)，則P(μ﹣σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)2．對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理值的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差εn～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,n)))，為使誤差εn在(﹣0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量________次．(若X～N(μ，σ)，則P(|X﹣μ|<2σ)＝0.9545)思維升華解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.跟蹤訓(xùn)練3(1)若隨機(jī)變量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(0<Y<2)＝p，則P(Y>4)等于()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8(2)已知隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，有下列四個(gè)命題：甲：P(ξ<a﹣1)>P(ξ>a＋2)；乙：P(ξ>a)＝0.5；丙：P(ξ≤a)＝0.5；?。篜(a<ξ<a＋1)<P(a＋1<ξ<a＋2)．如果只有一個(gè)假命題，則該命題為()A．甲B．乙C．丙D．丁課時(shí)精練1．已知隨機(jī)變量ξ～B(12，p)，且E(2ξ﹣3)＝5，則D(3ξ)等于()A.eq\f(8,3)B．8C．12D．242．一個(gè)袋中裝有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，小明從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球，則小明得分大于6分的概率是()A.eq\f(13,35)B.eq\f(14,35)C.eq\f(18,35)D.eq\f(22,35)3．袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的六個(gè)相同小球，現(xiàn)有一款摸球游戲，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，記下號(hào)碼并放回，如果三個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)，若有4人參與摸球游戲，則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是()A.eq\f(36,625)B.eq\f(128,625)C.eq\f(216,625)D.eq\f(336,625)4．如圖，在網(wǎng)格狀小地圖中，一機(jī)器人從A(0,0)點(diǎn)出發(fā)，每秒向上或向右行走1格到相應(yīng)頂點(diǎn)，已知向上的概率是eq\f(2,3)，向右的概率是eq\f(1,3)，則6秒后到達(dá)B(4,2)點(diǎn)的概率為()A.eq\f(16,729)B.eq\f(80,243)C.eq\f(4,729)D.eq\f(20,243)5．(多選)已知兩種不同型號(hào)的電子元件(分別記為X，Y)的使用壽命均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是()參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ﹣σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ﹣2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．P(μ1﹣σ1<X<μ1＋2σ1)≈0.8186 B．P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)C．P(X≤σ2)<P(X≤σ1) D．對(duì)于任意的正數(shù)t，有P(X≤t)>P(Y≤t)6．(多選)袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則()A．X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3))) B．P(X＝2)＝eq\f(8,81)C．E(X)＝eq\f(8,3) D．D(X)＝eq\f(8,9)7．甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為eq\f(5,6)和eq\f(1,5)，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為_(kāi)_______，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為_(kāi)_______．8．一袋中有除顏色不同，其他都相同的2個(gè)白球，2個(gè)黃球，1個(gè)紅球，從中任意取出3個(gè)球，有黃球的概率是________，若ξ表示取到黃球的個(gè)數(shù)，則E(ξ)＝________.9．“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國(guó)民間的古老游戲，其規(guī)則：用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、布，兩個(gè)玩家同時(shí)出示各自手勢(shì)1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”．雙方出示的手勢(shì)相同時(shí)，不分勝負(fù)．假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時(shí)出示三種手勢(shì)是等可能的．(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X，假設(shè)每次游戲的結(jié)果互不影響，求X的分布列和方差．10．面對(duì)新一輪科技和產(chǎn)業(yè)革命帶來(lái)的創(chuàng)新機(jī)遇，某企業(yè)對(duì)現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行更新?lián)Q代，購(gòu)進(jìn)一批新機(jī)床．設(shè)機(jī)床生產(chǎn)的零件的直徑為X(單位：mm)．(1)現(xiàn)有舊機(jī)床生產(chǎn)的零件10個(gè)，其中直徑大于124mm的有3個(gè)．若從中隨機(jī)抽取4個(gè)，記ξ表示取出的零件中直徑大于124mm的零件的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(2)若新機(jī)床生產(chǎn)的零件直徑X～N(120,4)，從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個(gè)，求至少有一個(gè)零件直徑大于124mm的概率．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(|X﹣μ|≤σ)≈0.6827，P(|X﹣μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X﹣μ|≤3σ)≈0.9973，0.9772510≈0.7944,0.954510≈0.6277.11．(多選)某漁業(yè)養(yǎng)殖場(chǎng)新進(jìn)1000尾魚(yú)苗，測(cè)量其體長(zhǎng)(單位：毫米)，將所得數(shù)據(jù)分成6組，其分組及頻數(shù)情況如下表：分組(單位：毫米)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]頻數(shù)100100m350150n已知在按以上6個(gè)分組作出的頻率分布直方圖中，[95,100]分組對(duì)應(yīng)小矩形的高為0.01，則下列說(shuō)法正確的是()A．m＝250B．魚(yú)苗體長(zhǎng)在[90,100]上的頻率為0.16C．魚(yú)苗體長(zhǎng)的中位數(shù)一定落在區(qū)間[85,90)內(nèi)D．從這批魚(yú)苗中有放回地連續(xù)抽取50次，每次一條，則所抽取魚(yú)苗體長(zhǎng)落在區(qū)間[80,90)上的次數(shù)的均值為3012．(多選)某人參加一次測(cè)試，在備選的10道題中，他能答對(duì)其中的5道．現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，規(guī)定至少答對(duì)2題才算合格．則下列選項(xiàng)正確的是()A．答對(duì)0題和答對(duì)3題的概率相同，都為eq\f(1,8)B．答對(duì)1題的概率為eq\f(3,8)C．答對(duì)2題的概率為eq\f(5,12)D．合格的概率為eq\f(1,2)13．已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0<x<a)的最小值為()A．9B.eq\f(9,2)C．4D．614．一試驗(yàn)田中的某種作物一株生長(zhǎng)的果實(shí)個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布N