人教A版2024年高一數(shù)學(xué)寒假提高講義 第06課 平面向量的概念（原卷版）

第第頁(yè)第06課平面向量的概念及加減運(yùn)算6.1.1向量的實(shí)際背景與概念6.1.2向量的幾何表示6.1.3相等向量與共線向量學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示.(重點(diǎn))2.理解共線向量、相等向量的概念.(難點(diǎn))3.正確區(qū)分向量平行與直線平行.(易混點(diǎn))1.從物理背景、幾何背景入手，從矢量概念引入向量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.類比實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示，給出向量的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).3.通過(guò)相等向量和平行向量的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).1.向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.2.向量的幾何表示(1)具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.(2)向量可以用有向線段eq\o(AB,\s\up14(→))來(lái)表示.向量eq\o(AB,\s\up14(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up14(→))的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up14(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如：eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→)).思考：(1)向量可以比較大小嗎？(2)有向線段就是向量嗎？[提示](1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.(2)有向線段只是表示向量的一個(gè)圖形工具，它不是向量.3.向量的有關(guān)概念零向量長(zhǎng)度為0的向量，記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，記作a∥b規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量向量a與b相等，記作a＝b1.正n邊形有n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，…，an，則這n個(gè)向量()A.都相等B.都共線C.都不共線D.模都相等2.有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速.其中可以看成是向量的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)3.已知|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝2，若∠ABC＝90°，則|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝________.4.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是________(填序號(hào)).(1)eq\o(AD,\s\up14(→))與eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(OB,\s\up14(→))與eq\o(OD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AC,\s\up14(→))與eq\o(BD,\s\up14(→))；(4)eq\o(AO,\s\up14(→))與eq\o(OC,\s\up14(→)).向量的有關(guān)概念【例1】判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)對(duì)于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b；(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.1.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等，不要忽略其方向.2.共線向量與平行向量(1)平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒(méi)有區(qū)別；(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度.1.給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若單位向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同；③起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；④向量eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上.其中正確命題的序號(hào)是________.向量的表示及應(yīng)用【例2】(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫出________個(gè)向量.(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：①eq\o(OA,\s\up14(→))，使|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；②eq\o(AB,\s\up14(→))，使|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；③eq\o(BC,\s\up14(→))，使|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.1.向量的兩種表示方法(1)幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn).(2)字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))，eq\o(EF,\s\up14(→))等.2.兩種向量表示方法的作用(1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ).(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算.2.某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了10eq\r(2)米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up14(→))的模.相等向量和共線向量[探究問(wèn)題]1.兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否都分別重合？[提示]不一定.因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄?，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無(wú)關(guān).2.若eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))的方向關(guān)系兩個(gè)方面考慮有哪些情況？[提示]分四種情況(1)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))同向；(2)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))反向；(3)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))同向；(4)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))反向.【例3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c.(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量.相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些同向共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.提醒：與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量.1.向量是近代數(shù)學(xué)重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何和物理背景，它是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，注意向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系.2.從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度三個(gè)要素，因此它們是兩個(gè)不同的量.在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動(dòng)的.向量可以用有向線段表示，但并不能說(shuō)向量就是有向線段.3.共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念.兩個(gè)共線向量不一定要在一條直線上.當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量.4.注意兩個(gè)特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓.1.判斷正誤(1)長(zhǎng)度為0的向量都是零向量.()(2)零向量的方向都是相同的.()(3)單位向量的長(zhǎng)度都相等.()(4)單位向量都是同方向.()(5)任意向量與零向量都共線.()2.汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A.汽車的速度大于摩托車的速度B.汽車的位移大于摩托車的位移C.汽車走的路程大于摩托車走的路程D.以上都不對(duì)3.在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量.正確的命題是________.4.如圖所示，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，∠DAB＝60°，分別以A，B，C，D，O中的不同兩點(diǎn)為始點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，(1)寫出與eq\o(DA,\s\up14(→))平行的向量；(2)寫出與eq\o(DA,\s\up14(→))模相等的向量.6.2平面向量的運(yùn)算6.2.1向量的加法運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及運(yùn)算律.(難點(diǎn))2.掌握向量加法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行向量加法運(yùn)算.(重點(diǎn))3.能區(qū)分?jǐn)?shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別.(易混點(diǎn))1.教材從幾何角度給出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合了對(duì)應(yīng)的物理模型，提升直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.對(duì)比數(shù)的加法，給出了向量的加法運(yùn)算律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1.向量加法的定義定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2.向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up14(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))為鄰邊作?ABCD，則對(duì)角線上的向量eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b.思考：兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加嗎？[提示]不是，向量的相加滿足三角形法則，而模相加是數(shù)量的加法.3.向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1.下列各式不一定成立的是()A.a＋b＝b＋aB.0＋a＝aC.eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))D.|a＋b|＝|a|＋|b|2.eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up14(→))B.eq\o(CA,\s\up14(→))C.eq\o(CD,\s\up14(→))D.eq\o(DC,\s\up14(→))3.如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝________.4.小船以10eq\r(,3)km/h的速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為10km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小為________km/h.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則[探究問(wèn)題]1.求作兩個(gè)向量和的法則有哪些？這些法則的物理模型是什么？[提示](1)平行四邊形法則，對(duì)應(yīng)的物理模型是力的合成等.(2)三角形法則，對(duì)應(yīng)的物理模型是位移的合成等.2.設(shè)A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面內(nèi)的點(diǎn)，則一般情況下，eq\o(A1A2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An的運(yùn)算結(jié)果是什么？[提示]將三角形法則進(jìn)行推廣可知eq\o(A1A2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up14(→)).【例1】(1)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個(gè)向量)：①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＝________；②eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝________；③eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝________.(2)①如圖甲所示，求作向量和a＋b；②如圖乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲乙1.向量求和的注意點(diǎn)(1)三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用.(2)兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量.(3)平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用.2.利用三角形法則時(shí)，要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點(diǎn)指向終點(diǎn)”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點(diǎn)”，其和向量為共起點(diǎn)的“對(duì)角線”向量.提醒：(1)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用【例2】(1)化簡(jiǎn)：①eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))；②eq\o(DB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))；③eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FA,\s\up14(→)).(2)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：①eq\o(DG,\s\up14(→))＋eq\o(EA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))；②eq\o(EG,\s\up14(→))＋eq\o(CG,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(EB,\s\up14(→)).向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.(2)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.1.向量(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→)))＋(eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(BM,\s\up14(→)))＋eq\o(OP,\s\up14(→))化簡(jiǎn)后等于()A.eq\o(BC,\s\up14(→))B.eq\o(AB,\s\up14(→))C.eq\o(AC,\s\up14(→))D.eq\o(AM,\s\up14(→))向量加法的實(shí)際應(yīng)用[思路探究][解]如圖所示，設(shè)eq\o(CE,\s\up14(→))，eq\o(CF,\s\up14(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up14(→))表示，則eq\o(CE,\s\up14(→))＋eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\o(CG,\s\up14(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|eq\o(CE,\s\up14(→))|＝|eq\o(CG,\s\up14(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up14(→))|＝|eq\o(CG,\s\up14(→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.∴A處所受的力的大小為5eq\r(3)N，B處所受的力的大小為5N.利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟2.在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的，當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)，常選用三角形法則；當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則.2.向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行.3.使用向量加法的三角形法則時(shí)要特別注意“首尾相接”.和向量的特征是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不能寫成0.1.判斷正誤(1)任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.()(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加.()(3)任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線.()(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.()2.對(duì)于任意一個(gè)四邊形ABCD，下列式子不能化簡(jiǎn)為eq\o(BC,\s\up14(→))的是()A.eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))B.eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))C.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))D.eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))3.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.4.如圖所示，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))；(2)eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→)).6.2.2向量的減法運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解相反向量的含義，能用相反向量說(shuō)出向量減法的意義.(難點(diǎn))2.掌握向量減法的運(yùn)算及其幾何意義，能熟練地進(jìn)行向量的加減運(yùn)算.(重點(diǎn))3.能將向量的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算.(易混點(diǎn))1.類比數(shù)的運(yùn)算，自然引入向量的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，順利給出向量減法的三角形法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.通過(guò)對(duì)向量的加法的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力.1.相反向量(1)定義：與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.(2)性質(zhì)：①－(－a)＝a.②對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝0.③若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.2.向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(BA,\s\up14(→))＝a－b，如圖所示.思考：在什么條件下，|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]當(dāng)a，b至少有一者為0或a，b非零且反向時(shí)成立.1.非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是()A.m＝nB.m＝－nC.|m|＝|n|D.方向相反2.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))B.eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))C.eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))D.eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))3.化簡(jiǎn)eq\o(OP,\s\up14(→))－eq\o(QP,\s\up14(→))＋eq\o(PS,\s\up14(→))＋eq\o(SP,\s\up14(→))的結(jié)果等于()A.eq\o(QP,\s\up14(→))B.eq\o(OQ,\s\up14(→))C.eq\o(SP,\s\up14(→))D.eq\o(SQ,\s\up14(→))4.如圖，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))，則eq\o(AC,\s\up14(→))＝________，eq\o(BD,\s\up14(→))＝________.向量減法的幾何意義【例1】(1)如圖所示，四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up14(→))＝()A.a－b＋cB.b－(a＋c)C.a＋b＋cD.b－a＋c(2)如圖所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量.1.如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.向量減法的運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用【例2】(1)如圖所示，①用a，b表示eq\o(DB,\s\up14(→))；②用b，c表示eq\o(EC,\s\up14(→)).(2)化簡(jiǎn)下列各向量的表達(dá)式：①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))；②(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→)))；③(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OA,\s\up14(→)))－(eq\o(DC,\s\up14(→))－eq\o(DO,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))).1.向量減法運(yùn)算的常用方法2.向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式(1)首尾相連且為和.(2)起點(diǎn)相同且為差.解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)注意逆向應(yīng)用.3.與圖形相關(guān)的向量運(yùn)算化簡(jiǎn)首先要利用向量加減的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，其次要分析圖形的性質(zhì)，通過(guò)圖形中向量的相等、平行等關(guān)系輔助化簡(jiǎn)運(yùn)算.2.化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：(1)eq\o(OM,\s\up14(→))－eq\o(ON,\s\up14(→))＋eq\o(MP,\s\up14(→))－eq\o(NA,\s\up14(→))；(2)(eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BM,\s\up14(→)))＋(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→))).向量減法幾何意義的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1.以向量加法的平行四邊形法則為基礎(chǔ)，能否構(gòu)造一個(gè)圖形將a＋b和a－b放在這個(gè)圖形中？[提示]如圖所示，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，則a＋b＝eq\o(AC,\s\up14(→))，a－b＝eq\o(DB,\s\up14(→)).2.已知向量a，b，那么|a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？[提示]它們之間的關(guān)系為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)當(dāng)a，b有一個(gè)為零向量時(shí)，不等式顯然成立.(2)當(dāng)a，b不共線時(shí)，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OB,\s\up14(→))，如圖①所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可證||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.(3)當(dāng)a，b非零且共線時(shí)，①當(dāng)向量a與b同向時(shí)，作法同上，如圖②所示，此時(shí)|a＋b|＝|a|＋|b|.②當(dāng)向量a，b反向時(shí)，不妨設(shè)|a|>|b|，作法同上，如圖③所示，此時(shí)|a＋b|＝|a|－|b|.綜上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【例3】(1)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，若|eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))|，則四邊形ABCD是()A.菱形B.矩形C.正方形D.不確定(2)已知|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝9，求|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍.1.將本例(2)的條件改為“|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝5”，求|eq\o(BD,\s\up14(→))|的取值范圍.2.在本例(2)條件不變的條件下，求：|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍.3.本例(2)中條件“|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝9”改為“|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝9”，求|eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍.1.用向量法解決平面幾何問(wèn)題的步驟(1)將平面幾何問(wèn)題中的量抽象成向量.(2)化歸為向量問(wèn)題，進(jìn)行向量運(yùn)算.(3)將向量問(wèn)題還原為平面幾何問(wèn)題.2.用向量法證明四邊形為平行四邊形的方法和解題關(guān)鍵(1)利用向量證明線段平行且相等，從而證明四邊形為平行四邊形，只需證明對(duì)應(yīng)有向線段所表示的向量相等即可.(2)根據(jù)圖形靈活應(yīng)用向量的運(yùn)算法則，找到向量之間的關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.1.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).2.在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”.解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆.3.以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，則兩條對(duì)角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up14(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up14(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并掌握.1.判斷正誤(1)0－a＝－a；()(2)－(－a)＝a；()(3)a＋(－a)＝0；()(4)a＋0＝a；()(5)a－b＝a＋(－b)；()(6)a＋(－a)＝0.()2.化簡(jiǎn)eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(DB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝________.3.若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.4.若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b所在直線的夾角.平面向量的概念及加減運(yùn)算隨堂檢測(cè)1.若|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AD,\s\up16(→))|且eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形2.已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列等式中不正確的是()A.eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(FA,\s\up16(→))B.eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(EF,\s\up16(→))＝0C.eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(EC,\s\up16(→))D.eq\o(DA,\s\up16(→))＋